ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 44 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнения методом введения новой переменной:

а) $x^2+2x-2\sqrt{x^2+2x}=3$;

б) $x^2+6x+24=10\sqrt{x^2+6x}$;

в) $\sqrt{2-x}+\frac{4}{\sqrt{2-x}+3}=2$;

г) $\frac{3}{\sqrt{x+1}+1}+2\sqrt{x+1}=5$

а) $x^2+2x-2\sqrt{x^2+2x}=3$;

Пусть $y=\sqrt{x^2+2x}$, тогда:
$y^2-2y=3;$
$y^2-2y-3=0;$
$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16,\text{тогда:}$
$y_1=\frac{2-4}{2}=-1\text{и}{y}_2=\frac{2+4}{2}=3;$

Первое значение:
$\sqrt{x^2+2x}=-1\text{— нет корней;}$

Второе значение:
$\sqrt{x^2+2x}=3;$
$x^2+2x=9;$
$x^2+2x-9=0;$
$D=2^2+4\cdot 9=4+36=40=4\cdot 10,\text{тогда:}$
$x=\frac{-2\pm \sqrt{40}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{10}}{2}=-1\pm \sqrt{10};$

Ответ: $-1-\sqrt{10};\sqrt{10}-1$.

б) $x^2+6x+24=10\sqrt{x^2+6x}$;

Пусть $y=\sqrt{x^2+6x}$, тогда:
$y^2+24=10y;$
$y^2-10y+24=0;$
$D={10}^2-4\cdot 24=100-96=4,\text{тогда:}$
$y_1=\frac{10-2}{2}=4\text{и}{y}_2=\frac{10+2}{2}=6;$

Первое значение:
$\sqrt{x^2+6x}=4;$
$x^2+6x=16;$
$x^2+6x-16=0;$
$D=6^2+4\cdot 16=36+64=100,\text{тогда:}$
$x_1=\frac{-6-10}{2}=-8\text{и}{x}_2=\frac{-6+10}{2}=2;$

Второе значение:
$\sqrt{x^2+6x}=6;$
$x^2+6x=36;$
$x^2+6x-36=0;$
$D=6^2+4\cdot 36=36+144=180=36\cdot 5,\text{тогда:}$
$x=\frac{-6\pm \sqrt{180}}{2}=\frac{-6\pm 6\sqrt{5}}{2}=-3\pm 3\sqrt{5};$

Ответ: $-8;-3-3\sqrt{5};3\sqrt{5}-3;2$.

в) $\sqrt{2-x}+\frac{4}{\sqrt{2-x}+3}=2$;

Пусть $y=\sqrt{2-x}$, тогда:
$y+\frac{4}{y+3}=2\mathrm{\mid }\cdot (y+3);$
$y(y+3)+4=2(y+3);$
$y^2+3y+4=2y+6;$
$y^2+y-2=0;$
$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9,\text{тогда:}$
$y_1=\frac{-1-3}{2}=-2\text{и}{y}_2=\frac{-1+3}{2}=1;$

Первое значение:
$\sqrt{2-x}=-2\text{— нет корней;}$

Второе значение:
$\sqrt{2-x}=1;$
$2-x=1;$
$-x=-1,\text{отсюда }x=1;$

Ответ: $x=1$.

г) $\frac{3}{\sqrt{x+1}+1}+2\sqrt{x+1}=5$;

Пусть $y=\sqrt{x+1}$, тогда:
$\frac{3}{y+1}+2y=5\mathrm{\mid }\cdot (y+1);$
$3+2y(y+1)=5(y+1);$
$3+2y^2+2y=5y+5;$
$2y^2-3y-2=0;$
$D=3^2+4\cdot 2\cdot 2=9+16=25,\text{тогда:}$
$y_1=\frac{3-5}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-0.5;$
$y_2=\frac{3+5}{2\cdot 2}=\frac{8}{4}=2;$

Первое значение:
$\sqrt{x+1}=-0.5\text{— нет корней;}$

Второе значение:
$\sqrt{x+1}=2;$
$x+1=4,\text{отсюда }x=3;$

Ответ: $x=3$.

а) Решить: $x^2+2x-2\sqrt{x^2+2x}=3$

Шаг 1. Введем замену переменной:
Пусть

$$y=\sqrt{x^2+2x}$$

Так как подкоренное выражение $x^2+2x$ должно быть неотрицательным, имеем:

$$x^2+2x\ge 0\Rightarrow x(x+2)\ge 0\Rightarrow x\le -2\text{или}x\ge 0$$

Шаг 2. Подставим $y$ в исходное уравнение:

$$x^2+2x-2\sqrt{x^2+2x}=3\Rightarrow y^2-2y=3$$

Шаг 3. Переносим все в одну сторону:

$$y^2-2y-3=0$$

Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

$$D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16$$

Находим корни:

$$y_1=\frac{2-\sqrt{16}}{2}=\frac{2-4}{2}=-1$$$$y_2=\frac{2+\sqrt{16}}{2}=\frac{2+4}{2}=3$$

Шаг 4. Проверим, какие значения допустимы для $y$.

Поскольку $y=\sqrt{x^2+2x}\ge 0$, значение $y=-1$ — не подходит (отрицательный корень невозможен).

Остаётся $y=3$, значит:

$$\sqrt{x^2+2x}=3\Rightarrow x^2+2x=9$$

Шаг 5. Решим уравнение:

$$x^2+2x-9=0$$

Вычислим дискриминант:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot (-9)=4+36=40$$

Находим корни:

$$x=\frac{-2\pm \sqrt{40}}{2}=\frac{-2\pm \sqrt{4\cdot 10}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{10}}{2}=-1\pm \sqrt{10}$$

Шаг 6. Проверим, входят ли корни в ОДЗ:

$$x\le -2\text{или}x\ge 0$$

Рассмотрим:

• $x=-1+\sqrt{10}\approx -1+3.16=2.16\Rightarrow x\ge 0$ — подходит
• $x=-1-\sqrt{10}\approx -1-3.16=-4.16\Rightarrow x\le -2$ — тоже подходит

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=-1\pm \sqrt{10}}}$$

б) Решить: $x^2+6x+24=10\sqrt{x^2+6x}$

Шаг 1. Обозначим:

$$y=\sqrt{x^2+6x}$$

Тогда $y\ge 0$, и:

$$y^2+24=10y\Rightarrow y^2-10y+24=0$$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение:

$$D=(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot 24=100-96=4$$$$y_1=\frac{10-\sqrt{4}}{2}=\frac{10-2}{2}=4$$$$y_2=\frac{10+\sqrt{4}}{2}=\frac{10+2}{2}=6$$

Шаг 3. Решим при $y=4$:

$$\sqrt{x^2+6x}=4\Rightarrow x^2+6x=16\Rightarrow x^2+6x-16=0$$$$D=36+64=100\Rightarrow x=\frac{-6\pm \sqrt{100}}{2}=\frac{-6\pm 10}{2}\Rightarrow x_1=-8,x_2=2$$

Шаг 4. При $y=6$:

$$x^2+6x=36\Rightarrow x^2+6x-36=0$$$$D=36+144=180=36\cdot 5\Rightarrow x=\frac{-6\pm \sqrt{180}}{2}=\frac{-6\pm 6\sqrt{5}}{2}=-3\pm 3\sqrt{5}$$

Шаг 5. Проверка ОДЗ:

Подкоренное выражение: $x^2+6x\ge 0$

Решим:

$$x(x+6)\ge 0\Rightarrow x\le -6\text{или}x\ge 0$$

Проверим все 4 корня:

• $x=-8\Rightarrow \le -6$ — подходит
• $x=2\Rightarrow \ge 0$ — подходит
• $x=-3-3\sqrt{5}\approx -9.7\Rightarrow \le -6$ — подходит
• $x=-3+3\sqrt{5}\approx 3.7\Rightarrow \ge 0$ — подходит

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=-8;-3-3\sqrt{5};2;3\sqrt{5}-3}}$$

в) Решить: $\sqrt{2-x}+\frac{4}{\sqrt{2-x}+3}=2$

Шаг 1. Обозначим:

$$y=\sqrt{2-x},y\ge 0$$

Тогда:

$$y+\frac{4}{y+3}=2$$

Шаг 2. Умножим обе части уравнения на $y+3$:

$$(y+3)(y+\frac{4}{y+3})=2(y+3)\Rightarrow y(y+3)+4=2(y+3)\Rightarrow y^2+3y+4=2y+6$$

Шаг 3. Переносим всё влево:

$$y^2+y-2=0\Rightarrow D=1+8=9\Rightarrow y_1=\frac{-1-3}{2}=-2,y_2=\frac{-1+3}{2}=1$$

Т.к. $y=\sqrt{2-x}\ge 0$, то $y=-2$ — недопустимо.

Шаг 4. Подставим $y=1$:

$$\sqrt{2-x}=1\Rightarrow 2-x=1\Rightarrow x=1$$

Проверка ОДЗ:

$$2-x\ge 0\Rightarrow x\le 2\Rightarrow x=1\text{ — подходит}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=1}}$$

г) Решить: $\frac{3}{\sqrt{x+1}+1}+2\sqrt{x+1}=5$

Шаг 1. Обозначим:

$$y=\sqrt{x+1},y\ge 0$$

Подставим:

$$\frac{3}{y+1}+2y=5$$

Шаг 2. Умножим обе части на $y+1$ (не равен 0, так как $y=\sqrt{x+1}\ge 0$):

$$3+2y(y+1)=5(y+1)\Rightarrow 3+2y^2+2y=5y+5$$

Шаг 3. Переносим всё в одну сторону:

$$2y^2-3y-2=0\Rightarrow D=(-3{)}^2+4\cdot 2\cdot 2=9+16=25$$

Найдём корни:

$$y_1=\frac{3-\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{3-5}{4}=-0.5\text{(не подходит, }y<0\text{)}$$$$y_2=\frac{3+\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{3+5}{4}=2$$

Шаг 4. Вернёмся к $x$:

$$\sqrt{x+1}=2\Rightarrow x+1=4\Rightarrow x=3$$

Проверка ОДЗ:

$$x+1\ge 0\Rightarrow x\ge -1\Rightarrow x=3\text{ — подходит}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=3}}$$