ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 45.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию и постройте ее график:

а) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$;

б) $f(x) = -\frac{2}{x^2 + 4}$

а) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$;

$f'(x) = \frac{(1)'(x^2 + 1) — 1(x^2 + 1)’}{(x^2 + 1)^2} = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) — 2x}{(x^2 + 1)^2} = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2};$

Область определения функции:

$$x^2 + 1 \neq 0, \text{ отсюда } x^2 \neq -1;$$ $$D(f) = (-\infty; +\infty);$$

Исследуем функцию на четность:

$$f(-x) = \frac{1}{(-x)^2 + 1} = \frac{1}{x^2 + 1} = f(x) \quad \text{— четная};$$

Горизонтальная асимптота:

$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{0}{1 + 0} = 0;$$

Промежутки монотонности:

$$-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \geq 0;$$ $$-2x \geq 0, \text{ отсюда } x \leq 0;$$

Возрастает на $(-∞; 0]$ и убывает на $[0; +∞)$;

Стационарные точки:

$$y_{\text{max}} = f(0) = \frac{1}{0^2 + 1} = \frac{1}{1} = 1;$$

Координаты точек:

$$\begin{array}{c|c|c|c} x & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 0,5 & 0,2 & 0,1 \\ \end{array}$$

График функции:

б) $f(x) = -\frac{2}{x^2 + 4}$;

$f'(x) = \frac{(-2)'(x^2 + 4) + 2(x^2 + 4)’}{(x^2 + 4)^2} = \frac{0 \cdot (x^2 + 4) + 2 \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 4)^2};$

Область определения функции:

$$x^2 + 4 \neq 0, \text{ отсюда } x^2 \neq -2;$$ $$D(f) = (-\infty; +\infty);$$

Исследуем функцию на четность:

$$f(-x) = \frac{-2}{(-x)^2 + 4} = \frac{-2}{x^2 + 4} = f(x) \quad \text{— четная};$$

Горизонтальная асимптота:

$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{-2}{x^2 + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{2}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{-0}{1 + 0} = 0;$$

Промежутки монотонности:

$$\frac{4x}{(x^2 + 4)^2} \geq 0;$$ $$4x \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 0;$$

Возрастает на $[0; +∞)$ и убывает на $(-∞; 0]$;

Стационарные точки:

$$y_{\text{min}} = f(0) = \frac{-2}{0^2 + 4} = -\frac{2}{4} = -0,5;$$

Координаты точек:

$$\begin{array}{c|c|c|c} x & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & -0,4 & -0,25 & -0,15 \\ \end{array}$$

График функции:

а) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$

Нахождение производной функции:

Функция $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ является дробной функцией, в которой числитель постоянный (1), а знаменатель $x^2 + 1$ зависит от $x$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования дроби:

$$f'(x) = \frac{(1)'(x^2 + 1) — 1(x^2 + 1)’}{(x^2 + 1)^2}$$

где:

$(1)’ = 0$,

$(x^2 + 1)’ = 2x$.

Подставляем в формулу:

$$f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) — 2x}{(x^2 + 1)^2} = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}.$$

Ответ: производная функции $f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$.

Область определения функции:

Область определения функции — это множество значений $x$, для которых функция $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ определена.

Деноминатор функции $x^2 + 1$ всегда больше нуля для всех значений $x$, потому что $x^2 \geq 0$ и $x^2 + 1 \geq 1$. Следовательно, деление на ноль невозможно.

Таким образом, область определения:

$$D(f) = (-\infty; +\infty).$$

Исследуем функцию на четность:

Функция будет четной, если выполняется условие: $f(-x) = f(x)$.

Подставим $-x$ вместо $x$ в выражение функции:

$$f(-x) = \frac{1}{(-x)^2 + 1} = \frac{1}{x^2 + 1} = f(x).$$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция $f(x)$ является четной.

Горизонтальная асимптота:

Для нахождения горизонтальной асимптоты исследуем поведение функции при $x \to \infty$.

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2 + 1}.$$

При $x \to \infty$, $x^2$ становится очень большим, поэтому $x^2 + 1 \to \infty$. Следовательно:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2 + 1} = 0.$$

Таким образом, горизонтальная асимптота $y = 0$.

Промежутки монотонности:

Для того чтобы определить промежутки монотонности, необходимо исследовать знак производной $f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$.

$f'(x) \geq 0$ означает, что функция возрастает.

$f'(x) \leq 0$ означает, что функция убывает.

Из выражения для производной видно, что числитель $-2x$ изменяет знак в зависимости от знака $x$, а знаменатель $(x^2 + 1)^2$ всегда положительный.

При $x > 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

При $x < 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$.

Стационарные точки:

Стационарные точки — это такие точки, в которых производная функции равна нулю:

$$f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} = 0.$$

Решим уравнение:

$$-2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0.$$

Подставляем $x = 0$ в исходную функцию:

$$f(0) = \frac{1}{0^2 + 1} = 1.$$

Таким образом, $x = 0$ — стационарная точка, причем это максимальная точка, так как функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$.

Координаты точек:

Для удобства построения графика можно вычислить значения функции в нескольких точках.

Для $x = 1$:

$$f(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2} = 0.5.$$

Для $x = 2$:

$$f(2) = \frac{1}{2^2 + 1} = \frac{1}{5} = 0.2.$$

Для $x = 3$:

$$f(3) = \frac{1}{3^2 + 1} = \frac{1}{10} = 0.1.$$

Таким образом, координаты точек:

$$\begin{array}{c|c|c|c} x & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 0,5 & 0,2 & 0,1 \\ \end{array}$$

б) $f(x) = -\frac{2}{x^2 + 4}$

Нахождение производной функции:

Для функции $f(x) = -\frac{2}{x^2 + 4}$ применим правило дифференцирования дроби:

$$f'(x) = \frac{(-2)'(x^2 + 4) + 2(x^2 + 4)’}{(x^2 + 4)^2}.$$

где:

$(-2)’ = 0$,

$(x^2 + 4)’ = 2x$.

Подставляем в формулу:

$$f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 4) + 2 \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 4)^2}.$$

Ответ: производная функции $f'(x) = \frac{4x}{(x^2 + 4)^2}$.

Область определения функции:

Функция $f(x) = -\frac{2}{x^2 + 4}$ определена для всех значений $x$, так как знаменатель $x^2 + 4$ всегда положителен и никогда не равен нулю.

Область определения:

$$D(f) = (-\infty; +\infty).$$

Исследуем функцию на четность:

Функция будет четной, если выполняется условие $f(-x) = f(x)$.

Подставим $-x$ вместо $x$ в выражение функции:

$$f(-x) = -\frac{2}{(-x)^2 + 4} = -\frac{2}{x^2 + 4} = f(x).$$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция $f(x)$ является четной.

Горизонтальная асимптота:

Для нахождения горизонтальной асимптоты исследуем поведение функции при $x \to \infty$:

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{-2}{x^2 + 4}.$$

При $x \to \infty$, $x^2 \to \infty$, и поэтому $x^2 + 4 \to \infty$. Следовательно:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{-2}{x^2 + 4} = 0.$$

Таким образом, горизонтальная асимптота $y = 0$.

Промежутки монотонности:

Для исследования монотонности анализируем знак производной $f'(x) = \frac{4x}{(x^2 + 4)^2}$.

$f'(x) \geq 0$ означает, что функция возрастает.

$f'(x) \leq 0$ означает, что функция убывает.

Числитель $4x$ изменяет знак в зависимости от знака $x$, а знаменатель $(x^2 + 4)^2$ всегда положителен.

При $x > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

При $x < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на $[0; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0]$.

Стационарные точки:

Для нахождения стационарных точек решим уравнение $f'(x) = 0$:

$$\frac{4x}{(x^2 + 4)^2} = 0.$$

Решение: $x = 0$.

Подставим $x = 0$ в исходную функцию:

$$f(0) = -\frac{2}{0^2 + 4} = -\frac{2}{4} = -0.5.$$

Таким образом, $x = 0$ — стационарная точка, и это минимальная точка, так как функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$.

Координаты точек:

Для $x = 1$:

$$f(1) = -\frac{2}{1^2 + 4} = -\frac{2}{5} = -0.4.$$

Для $x = 2$:

$$f(2) = -\frac{2}{2^2 + 4} = -\frac{2}{8} = -0.25.$$

Для $x = 3$:

$$f(3) = -\frac{2}{3^2 + 4} = -\frac{2}{13} \approx -0.15.$$

Координаты точек:

$$\begin{array}{c|c|c|c} x & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & -0,4 & -0,25 & -0,15 \\ \end{array}$$