ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 45.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сколько корней имеет заданное уравнение при указанных ограничениях на параметр а:

а) $x^3 — 3x^2 = a$ и $-4 < a < 0$;

б) $-x^3 + 3x^2 — 2 = a$ и $a < -2$;

в) $3x^2 — x^3 = a$ и $0 < a < 4$;

г) $x^3 — 3x^2 + 2 = a$ и $a > 2$

а) $x^3 — 3x^2 = a$ и $-4 < a < 0$;

$f'(x) = (x^3)’ — 3(x^2)’ = 3x^2 — 3 \cdot 2x = 3x^2 — 6x;$

Промежутки монотонности:

$$3x^2 — 6x \geq 0;$$ $$3x(x — 2) \geq 0;$$ $$x \leq 0 \text{ или } x \geq 2;$$

Возрастает на $(-∞; 0] \cup [2; +∞)$ и убывает на $[0; 2]$;

Стационарные точки:

$$y_{max} = f(0) = 0^3 — 3 \cdot 0^2 = 0;$$ $$y_{min} = f(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 = 8 — 3 \cdot 4 = 8 — 12 = -4;$$

Координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -1 & 3 \\ \hline y & -4 & 0 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

Ответ: 3 корня.

б) $-x^3 + 3x^2 — 2 = a$ и $a < -2$;

$f'(x) = -(x^3)’ + 3(x^2)’ — (2)’ = -3x^2 + 3 \cdot 2x = 6x — 3x^2;$

Промежутки монотонности:

$$6x — 3x^2 \geq 0;$$ $$3x(2 — x) \geq 0;$$ $$0 \leq x \leq 2;$$

Возрастает на $[0; 2]$ и убывает на $(-∞; 0] \cup [2; +∞)$;

Стационарные точки:

$$y_{max} = f(2) = -2^3 + 3 \cdot 2^2 — 2 = -8 + 3 \cdot 4 — 2 = 12 — 10 = 2;$$ $$y_{min} = f(0) = -0^3 + 3 \cdot 0^2 — 2 = -2;$$

Координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -1 & 3 \\ \hline y & 2 & -2 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

Ответ: 1 корень.

в) $3x^2 — x^3 = a$ и $0 < a < 4$;

$f'(x) = 3(x^2)’ — (x^3)’ = 3 \cdot 2x — 3x^2 = 6x — 3x^2;$

Промежутки монотонности:

$$6x — 3x^2 \geq 0;$$ $$3x(2 — x) \geq 0;$$ $$0 \leq x \leq 2;$$

Возрастает на $[0; 2]$ и убывает на $(-∞; 0] \cup [2; +∞)$;

Стационарные точки:

$$y_{max} = f(2) = 3 \cdot 2^2 — 2^3 = 3 \cdot 4 — 8 = 12 — 8 = 4;$$ $$y_{min} = f(0) = 3 \cdot 0^2 — 0^3 = 0;$$

Координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -1 & 3 \\ \hline y & 4 & 0 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

Ответ: 3 корня.

г) $x^3 — 3x^2 + 2 = a$ и $a > 2$;

$f'(x) = (x^3)’ — 3(x^2)’ + (2)’ = 3x^2 — 3 \cdot 2x + 0 = 3x^2 — 6x;$

Промежутки монотонности:

$$3x^2 — 6x \geq 0;$$ $$3x(x — 2) \geq 0;$$ $$x \leq 0 \text{ или } x \geq 2;$$

Возрастает на $(-∞; 0] \cup [2; +∞)$ и убывает на $[0; 2]$;

Стационарные точки:

$$y_{max} = f(0) = 0^3 — 3 \cdot 0^2 + 2 = 2;$$ $$y_{min} = f(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 — 3 \cdot 4 + 2 = 10 — 12 = -2;$$

Координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -1 & 3 \\ \hline y & -4 & 0 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

Ответ: 1 корень.

а) $x^3 — 3x^2 = a$ и $-4 < a < 0$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Найдем производную функции $f(x) = x^3 — 3x^2$:

$$f'(x) = (x^3)’ — 3(x^2)’ = 3x^2 — 6x.$$

Шаг 2: Промежутки монотонности

Для нахождения промежутков монотонности решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$$3x^2 — 6x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 3x(x — 2) \geq 0.$$

Корни этого неравенства: $x = 0$ и $x = 2$.

Рассмотрим знаки на промежутках:

1. На промежутке $(-\infty, 0)$ знак произведения будет положительный.
2. На промежутке $(0, 2)$ знак произведения будет отрицательный.
3. На промежутке $(2, +\infty)$ знак произведения снова будет положительный.

Таким образом:

• Функция возрастает на $(-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$.
• Функция убывает на $[0; 2]$.

Шаг 3: Стационарные точки

Для нахождения стационарных точек подставим значения $x = 0$ и $x = 2$ в исходную функцию $f(x) = x^3 — 3x^2$:

• $f(0) = 0^3 — 3 \cdot 0^2 = 0$.
• $f(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 = 8 — 12 = -4$.

Итак, мы имеем:

• Максимум $f(0) = 0$.
• Минимум $f(2) = -4$.

Шаг 4: Координаты точек

Заданы значения $x = -1$ и $x = 3$. Подставим их в функцию:

• $f(-1) = (-1)^3 — 3(-1)^2 = -1 — 3 = -4$.
• $f(3) = 3^3 — 3 \cdot 3^2 = 27 — 27 = 0$.

Таким образом, координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -1 & 3 \\ \hline y & -4 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 5: График функции

Ответ: 3 корня.

б) $-x^3 + 3x^2 — 2 = a$ и $a < -2$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Найдем производную функции $f(x) = -x^3 + 3x^2 — 2$:

$$f'(x) = -(x^3)’ + 3(x^2)’ — (2)’ = -3x^2 + 6x = 6x — 3x^2.$$

Шаг 2: Промежутки монотонности

Решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$$6x — 3x^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 3x(2 — x) \geq 0.$$

Корни этого неравенства: $x = 0$ и $x = 2$.

Рассмотрим знаки на промежутках:

• На промежутке $(-\infty, 0)$ знак произведения будет отрицательный.
• На промежутке $(0, 2)$ знак произведения будет положительный.
• На промежутке $(2, +\infty)$ знак произведения будет отрицательный.

Таким образом:

• Функция возрастает на $[0; 2]$.
• Функция убывает на $(-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$.

Шаг 3: Стационарные точки

Подставим значения $x = 0$ и $x = 2$ в функцию $f(x) = -x^3 + 3x^2 — 2$:

• $f(0) = -0^3 + 3 \cdot 0^2 — 2 = -2$.
• $f(2) = -2^3 + 3 \cdot 2^2 — 2 = -8 + 12 — 2 = 2$.

Итак, мы имеем:

• Максимум $f(2) = 2$.
• Минимум $f(0) = -2$.

Шаг 4: Координаты точек

Заданы значения $x = -1$ и $x = 3$. Подставим их в функцию:

• $f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1)^2 — 2 = 1 + 3 — 2 = 2$.
• $f(3) = -(3)^3 + 3 \cdot 3^2 — 2 = -27 + 27 — 2 = -2$.

Таким образом, координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -1 & 3 \\ \hline y & 2 & -2 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 5: График функции

Ответ: 1 корень.

в) $3x^2 — x^3 = a$ и $0 < a < 4$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Найдем производную функции $f(x) = 3x^2 — x^3$:

$$f'(x) = 3 \cdot 2x — 3x^2 = 6x — 3x^2.$$

Шаг 2: Промежутки монотонности

Решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$$6x — 3x^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 3x(2 — x) \geq 0.$$

Корни этого неравенства: $x = 0$ и $x = 2$.

Рассмотрим знаки на промежутках:

• На промежутке $(-\infty, 0)$ знак произведения будет отрицательный.
• На промежутке $(0, 2)$ знак произведения будет положительный.
• На промежутке $(2, +\infty)$ знак произведения будет отрицательный.

Таким образом:

• Функция возрастает на $[0; 2]$.
• Функция убывает на $(-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$.

Шаг 3: Стационарные точки

Подставим значения $x = 0$ и $x = 2$ в функцию $f(x) = 3x^2 — x^3$:

• $f(0) = 3 \cdot 0^2 — 0^3 = 0$.
• $f(2) = 3 \cdot 2^2 — 2^3 = 12 — 8 = 4$.

Итак, мы имеем:

• Максимум $f(2) = 4$.
• Минимум $f(0) = 0$.

Шаг 4: Координаты точек

Заданы значения $x = -1$ и $x = 3$. Подставим их в функцию:

• $f(-1) = 3 \cdot (-1)^2 — (-1)^3 = 3 + 1 = 4$.
• $f(3) = 3 \cdot 3^2 — 3^3 = 27 — 27 = 0$.

Таким образом, координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -1 & 3 \\ \hline y & 4 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 5: График функции

Ответ: 3 корня.

г) $x^3 — 3x^2 + 2 = a$ и $a > 2$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Найдем производную функции $f(x) = x^3 — 3x^2 + 2$:

$$f'(x) = (x^3)’ — 3(x^2)’ + (2)’ = 3x^2 — 6x.$$

Шаг 2: Промежутки монотонности

Решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$$3x^2 — 6x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 3x(x — 2) \geq 0.$$

Корни этого неравенства: $x = 0$ и $x = 2$.

Рассмотрим знаки на промежутках:

• На промежутке $(-\infty, 0)$ знак произведения будет положительный.
• На промежутке $(0, 2)$ знак произведения будет отрицательный.
• На промежутке $(2, +\infty)$ знак произведения будет положительный.

Таким образом:

• Функция возрастает на $(-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$.
• Функция убывает на $[0; 2]$.

Шаг 3: Стационарные точки

Подставим значения $x = 0$ и $x = 2$ в функцию $f(x) = x^3 — 3x^2 + 2$:

• $f(0) = 0^3 — 3 \cdot 0^2 + 2 = 2$.
• $f(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 — 12 + 2 = -2$.

Итак, мы имеем:

• Максимум $f(0) = 2$.
• Минимум $f(2) = -2$.

Шаг 4: Координаты точек

Заданы значения $x = -1$ и $x = 3$. Подставим их в функцию:

• $f(-1) = (-1)^3 — 3(-1)^2 + 2 = -1 — 3 + 2 = -2$.
• $f(3) = 3^3 — 3 \cdot 3^2 + 2 = 27 — 27 + 2 = 2$.

Таким образом, координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -1 & 3 \\ \hline y & -4 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 5: График функции

Ответ: 1 корень.