ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 45.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию и постройте ее график:

а) $f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + 2}$

б) $f(x)=\frac{x-2}{x^2+5}$

а) $f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + 2}$

Производная функции:

$$f'(x) = \frac{(2x + 1)'(x^2 + 2) — (2x + 1)(x^2 + 2)’}{(x^2 + 2)^2};$$ $$f'(x) = \frac{2(x^2 + 2) — (2x + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 2)^2} = \frac{2x^2 + 4 — 4x^2 — 2x}{(x^2 + 2)^2} = \frac{-2x^2 + 4 — 2x}{(x^2 + 2)^2};$$

Область определения функции:

$$x^2 + 2 \neq 0, \text{ отсюда } x^2 \neq -2;$$ $$D(f) = (-\infty; +\infty);$$

Исследуем функцию на четность:

$$f(-x) = \frac{2 \cdot (-x) + 1}{(-x)^2 + 2} = \frac{-2x + 1}{x^2 + 2} \quad \text{— нет};$$

Уравнения асимптот:

$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x^2 + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}} = \frac{0 + 0}{1 + 0} = 0;$$

Промежутки монотонности:

$$\frac{-2x^2 + 4 — 2x}{(x^2 + 2)^2} \geq 0;$$ $$2x^2 + 2x — 4 \leq 0;$$ $$2(x^2 + x — 2) \leq 0;$$ $$2(x — 1)(x + 2) \leq 0;$$ $$-2 \leq x \leq 1;$$

Возрастает на $[-2; 1]$ и убывает на $(-\infty; -2] \cup [1; +\infty)$;

Стационарные точки:

$$y_{\max} = f(1) = \frac{2 + 1}{1^2 + 2} = \frac{3}{3} = 1;$$ $$y_{\min} = f(-2) = \frac{-2 \cdot 2 + 1}{(-2)^2 + 2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2};$$

Координаты точек:

$$\begin{array}{c|c c c c c} x & -7 & -4 & 0 & 4 & 7 \\ \hline y & 0,25 & -0,4 & 0,5 & 0,5 & 0,3 \\ \end{array}$$

График функции:

б) $f(x) = \frac{x — 2}{x^2 + 5}$

Производная функции:

$$f'(x) = \frac{(x — 2)'(x^2 + 5) — (x — 2)(x^2 + 5)’}{(x^2 + 5)^2};$$ $$f'(x) = \frac{(x^2 + 5) — (x — 2) \cdot 2x}{(x^2 + 5)^2} = \frac{x^2 + 5 — 2x^2 + 4x}{(x^2 + 5)^2} = \frac{-x^2 + 4x + 5}{(x^2 + 5)^2};$$

Область определения функции:

$$x^2 + 5 \neq 0, \text{ отсюда } x^2 \neq -5;$$ $$D(f) = (-\infty; +\infty);$$

Исследуем функцию на четность:

$$f(-x) = \frac{-x — 2}{(-x)^2 + 5} = \frac{-x — 2}{x^2 + 5} \quad \text{— нет};$$

Уравнения асимптот:

$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x — 2}{x^2 + 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} — \frac{2}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^2}} = \frac{0 + 0}{1 + 0} = 0;$$

Промежутки монотонности:

$$\frac{-x^2 + 4x + 5}{(x^2 + 2)^2} \geq 0;$$ $$x^2 — 4x — 5 \leq 0;$$ $$(x + 1)(x — 5) \leq 0;$$ $$-1 \leq x \leq 5;$$

Возрастает на $[-1; 5]$ и убывает на $(-\infty; -1] \cup [5; +\infty)$;

Стационарные точки:

$$y_{\max} = f(5) = \frac{5 — 2}{5^2 + 5} = \frac{3}{25 + 5} = \frac{3}{30} = 0,1;$$ $$y_{\min} = f(-1) = \frac{-1 — 2}{(-1)^2 + 5} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2};$$

Координаты точек:

$$\begin{array}{c|c c c c} x & -5 & -3 & 2 & 6 \\ \hline y & -2,2 & -0,3 & 0 & 0,1 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

а) $f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + 2}$

1. Производная функции:

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + 2}$, воспользуемся правилом дифференцирования дроби (правило частного):

$$f'(x) = \frac{(u'(x)v(x) — u(x)v'(x))}{(v(x))^2}$$

где $u(x) = 2x + 1$ и $v(x) = x^2 + 2$.

Найдем производную числителя:

$$u'(x) = \frac{d}{dx}(2x + 1) = 2$$

Найдем производную знаменателя:

$$v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 2) = 2x$$

Теперь подставим эти значения в формулу для производной:

$$f'(x) = \frac{2(x^2 + 2) — (2x + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 2)^2}$$

Раскроем скобки и упростим:

$$f'(x) = \frac{2x^2 + 4 — (4x^2 + 2x)}{(x^2 + 2)^2} = \frac{2x^2 + 4 — 4x^2 — 2x}{(x^2 + 2)^2} = \frac{-2x^2 — 2x + 4}{(x^2 + 2)^2}$$

Таким образом, производная функции:

$$f'(x) = \frac{-2x^2 — 2x + 4}{(x^2 + 2)^2}$$

2. Область определения функции:

Чтобы найти область определения функции $f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + 2}$, нужно, чтобы знаменатель $x^2 + 2$ не был равен нулю. Рассмотрим:

$$x^2 + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = -2$$

Это уравнение не имеет действительных корней, поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, знаменатель никогда не равен нулю, и функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$.

Область определения:

$$D(f) = (-\infty; +\infty)$$

3. Исследуем функцию на четность:

Проверим, является ли функция четной. Для этого вычислим $f(-x)$ и сравним с $f(x)$.

$$f(-x) = \frac{2(-x) + 1}{(-x)^2 + 2} = \frac{-2x + 1}{x^2 + 2}$$

Таким образом:

$$f(-x) = \frac{-2x + 1}{x^2 + 2} \neq \frac{2x + 1}{x^2 + 2} = f(x)$$

Функция не является четной.

4. Уравнения асимптот:

• Вертикальная асимптота: Функция может иметь вертикальную асимптоту, если знаменатель равен нулю. Однако $x^2 + 2$ никогда не равен нулю, так как $x^2 + 2 \geq 2$. Следовательно, вертикальной асимптоты нет.
• Горизонтальная асимптота: Чтобы найти горизонтальную асимптоту, вычислим предел функции при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$:

  $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x^2 + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}} = \frac{0 + 0}{1 + 0} = 0$$

  Таким образом, горизонтальная асимптота: $y = 0$.

5. Промежутки монотонности:

Для нахождения промежутков монотонности исследуем знак производной $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{-2x^2 — 2x + 4}{(x^2 + 2)^2}$$

Нам нужно решить неравенство:

$$\frac{-2x^2 — 2x + 4}{(x^2 + 2)^2} \geq 0$$

Так как знаменатель всегда положителен (ведь $x^2 + 2 > 0$ для всех $x$), то знак функции зависит от числителя:

$$-2x^2 — 2x + 4 \geq 0$$

Умножим на $-1$ (не меняя знака неравенства):

$$2x^2 + 2x — 4 \leq 0$$

Теперь решим квадратное неравенство:

$$x^2 + x — 2 \leq 0$$

Решим уравнение $x^2 + x — 2 = 0$ с помощью дискриминанта:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Корни уравнения:

$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$

Таким образом, корни:

$$x_1 = 1, \quad x_2 = -2$$

Неравенство $x^2 + x — 2 \leq 0$ выполняется для $-2 \leq x \leq 1$.

Итак, функция возрастает на $[-2; 1]$ и убывает на $(-\infty; -2] \cup [1; +\infty)$.

6. Стационарные точки:

Для нахождения стационарных точек приравняем производную к нулю:

$$f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{-2x^2 — 2x + 4}{(x^2 + 2)^2} = 0$$

Знаменатель всегда положителен, следовательно, приравниваем числитель к нулю:

$$-2x^2 — 2x + 4 = 0$$

Разделим на $-2$:

$$x^2 + x — 2 = 0$$

Решаем это уравнение:

$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$

Таким образом, $x = 1$ и $x = -2$ — стационарные точки.

Найдем значения функции в этих точках:

$$y_{\max} = f(1) = \frac{2(1) + 1}{1^2 + 2} = \frac{3}{3} = 1$$ $$y_{\min} = f(-2) = \frac{2(-2) + 1}{(-2)^2 + 2} = \frac{-4 + 1}{4 + 2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$$

7. Координаты точек:

Рассчитаем значения функции для некоторых значений $x$:

Для $x = -7$:

$$f(-7) = \frac{2(-7) + 1}{(-7)^2 + 2} = \frac{-14 + 1}{49 + 2} = \frac{-13}{51} \approx -0.255$$

Для $x = -4$:

$$f(-4) = \frac{2(-4) + 1}{(-4)^2 + 2} = \frac{-8 + 1}{16 + 2} = \frac{-7}{18} \approx -0.388$$

Для $x = 0$:

$$f(0) = \frac{2(0) + 1}{0^2 + 2} = \frac{1}{2} = 0.5$$

Для $x = 4$:

$$f(4) = \frac{2(4) + 1}{4^2 + 2} = \frac{8 + 1}{16 + 2} = \frac{9}{18} = 0.5$$

Для $x = 7$:

$$f(7) = \frac{2(7) + 1}{7^2 + 2} = \frac{14 + 1}{49 + 2} = \frac{15}{51} \approx 0.294$$

Таблица координат:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -7 & -4 & 0 & 4 & 7 \\ \hline y & -0.255 & -0.388 & 0.5 & 0.5 & 0.294 \\ \hline \end{array}$$

8. График функции:

б) $f(x) = \frac{x — 2}{x^2 + 5}$

1. Производная функции:

Используем правило дифференцирования дроби для функции $f(x) = \frac{x — 2}{x^2 + 5}$:

$$f'(x) = \frac{(x — 2)'(x^2 + 5) — (x — 2)(x^2 + 5)’}{(x^2 + 5)^2}$$

Производные числителя и знаменателя:

$$(x — 2)’ = 1, \quad (x^2 + 5)’ = 2x$$

Подставляем:

$$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 5) — (x — 2) \cdot 2x}{(x^2 + 5)^2} = \frac{x^2 + 5 — 2x(x — 2)}{(x^2 + 5)^2}$$

Раскроем скобки:

$$f'(x) = \frac{x^2 + 5 — 2x^2 + 4x}{(x^2 + 5)^2} = \frac{-x^2 + 4x + 5}{(x^2 + 5)^2}$$

2. Область определения функции:

Для функции $f(x) = \frac{x — 2}{x^2 + 5}$ знаменатель $x^2 + 5$ никогда не равен нулю, так как $x^2 + 5 > 0$ для всех $x$. Следовательно, область определения:

$$D(f) = (-\infty; +\infty)$$

3. Исследуем функцию на четность:

Проверим, является ли функция четной:

$$f(-x) = \frac{-x — 2}{(-x)^2 + 5} = \frac{-x — 2}{x^2 + 5}$$

Мы видим, что $f(-x) \neq f(x)$, значит, функция не является четной.

4. Уравнения асимптот:

• Вертикальная асимптота: Знаменатель функции $x^2 + 5$ никогда не равен нулю, следовательно, вертикальной асимптоты нет.
• Горизонтальная асимптота: Для нахождения горизонтальной асимптоты вычислим предел функции при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$:

  $$\lim_{x \to \infty} \frac{x — 2}{x^2 + 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} — \frac{2}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^2}} = \frac{0 + 0}{1 + 0} = 0$$

  Таким образом, горизонтальная асимптота: $y = 0$.

5. Промежутки монотонности:

Исследуем знак производной:

$$f'(x) = \frac{-x^2 + 4x + 5}{(x^2 + 5)^2}$$

Решаем неравенство:

$$\frac{-x^2 + 4x + 5}{(x^2 + 5)^2} \geq 0$$

Знаменатель всегда положителен, следовательно, знак производной зависит от числителя:

$$-x^2 + 4x + 5 \geq 0$$

Умножим на $-1$:

$$x^2 — 4x — 5 \leq 0$$

Решаем квадратное неравенство:

$$(x + 1)(x — 5) \leq 0$$

Это неравенство выполняется на интервале $-1 \leq x \leq 5$.

Функция возрастает на интервале $[-1; 5]$ и убывает на интервале $(-\infty; -1] \cup [5; +\infty)$.

6. Стационарные точки:

Приравняем производную к нулю:

$$f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad -x^2 + 4x + 5 = 0$$

Решаем:

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 — 4(-1)(5)}}{2(-1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{-2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{-2}$$ $$x = \frac{-4 \pm 6}{-2}$$

Таким образом, $x = 5$ и $x = -1$ — стационарные точки.

Найдем значения функции в этих точках:

$$y_{\max} = f(5) = \frac{5 — 2}{5^2 + 5} = \frac{3}{25 + 5} = \frac{3}{30} = 0.1$$ $$y_{\min} = f(-1) = \frac{-1 — 2}{(-1)^2 + 5} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$$

7. Координаты точек:

Для $x = -5$:

$$f(-5) = \frac{-5 — 2}{(-5)^2 + 5} = \frac{-7}{25 + 5} = \frac{-7}{30} \approx -0.233$$

Для $x = -3$:

$$f(-3) = \frac{-3 — 2}{(-3)^2 + 5} = \frac{-5}{9 + 5} = \frac{-5}{14} \approx -0.357$$

Для $x = 2$:

$$f(2) = \frac{2 — 2}{2^2 + 5} = \frac{0}{4 + 5} = 0$$

Для $x = 6$:

$$f(6) = \frac{6 — 2}{6^2 + 5} = \frac{4}{36 + 5} = \frac{4}{41} \approx 0.098$$

Таблица координат:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -5 & -3 & 2 & 6 \\ \hline y & -0.233 & -0.357 & 0 & 0.098 \\ \hline \end{array}$$

8. График функции: