ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 45.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию и постройте ее график:

а) $f(x) = \frac{x}{x^2 — 4}$;

б) $f(x) = \frac{x — 3}{x^2 — 8}$

а) $f(x) = \frac{x}{x^2 — 4}$;

Производная функции:

$$f'(x) = \frac{(x)'(x^2 — 4) — x(x^2 — 4)’}{(x^2 — 4)^2};$$ $$f'(x) = \frac{(x^2 — 4) — x \cdot 2x}{(x^2 — 4)^2} = \frac{x^2 — 4 — 2x^2}{(x^2 — 4)^2} = \frac{-x^2 — 4}{(x^2 — 4)^2} = -\frac{x^2 + 4}{(x^2 — 4)^2}.$$

Область определения функции:

$$x^2 — 4 \neq 0, \text{ отсюда } x \neq \pm 2;$$ $$D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty);$$

Исследуем функцию на четность:

$$f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 — 4} = \frac{-x}{x^2 — 4} = -f(x) \quad \text{— нечетная};$$

Уравнения асимптот:

$$x = \pm 2;$$ $$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2 — 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 — \frac{4}{x^2}} = \frac{0}{1 — 0} = 0;$$

Промежутки монотонности:

$$\text{Убывает на } (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty);$$

Координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 1,5 & 2,5 & 4 \\ \hline y & 0 & -0,3 & -0,8 & 1,1 & 0,3 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

б) $f(x) = \frac{x — 3}{x^2 — 8}$;

Производная функции:

$$f'(x) = \frac{(x — 3)'(x^2 — 8) — (x — 3)(x^2 — 8)’}{(x^2 — 8)^2};$$ $$f'(x) = \frac{(x^2 — 8) — (x — 3) \cdot 2x}{(x^2 — 8)^2} = \frac{x^2 — 8 — 2x^2 + 6x}{(x^2 — 8)^2} = \frac{-x^2 + 6x — 8}{(x^2 — 8)^2};$$

Область определения функции:

$$x^2 — 8 \neq 0, \text{ отсюда } x \neq \pm 2\sqrt{2};$$ $$D(f) = (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty);$$

Исследуем функцию на четность:

$$f(-x) = \frac{-x — 3}{(-x)^2 — 8} = \frac{-x — 3}{x^2 — 8} \quad \text{— нет};$$

Уравнения асимптот:

$$x = \pm 2\sqrt{2};$$ $$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x — 3}{x^2 — 8} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} — \frac{3}{x^2}}{1 — \frac{8}{x^2}} = \frac{0 — 0}{1 — 0} = 0;$$

Промежутки монотонности:

$$\frac{-x^2 + 6x — 8}{(x^2 — 8)^2} \geq 0;$$ $$x^2 — 6x + 8 \leq 0;$$ $$(x — 2)(x — 4) \leq 0;$$ $$2 \leq x \leq 4;$$ $$\text{Возрастает на } [2; 2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; 4];$$ $$\text{Убывает на } (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (-2\sqrt{2}; 2] \cup [4; +\infty);$$

Стационарные точки:

$$y_{\text{max}} = f(4) = \frac{4 — 3}{4^2 — 8} = \frac{1}{16 — 8} = \frac{1}{8};$$ $$y_{\text{min}} = f(2) = \frac{2 — 3}{2^2 — 8} = \frac{-1}{4 — 8} = \frac{1}{4};$$

Координаты точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -5 & -3,5 & 0 & 2,5 & 3 \\ \hline y & -0,5 & -1,5 & -0,3 & 0,3 & 0 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

а) $f(x) = \frac{x}{x^2 — 4}$

1. Производная функции:

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{x}{x^2 — 4}$, воспользуемся правилом дифференцирования дроби (правило частного):

$$f'(x) = \frac{(u'(x)v(x) — u(x)v'(x))}{(v(x))^2}$$

где $u(x) = x$ и $v(x) = x^2 — 4$.

Найдем производную числителя:

$$u'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1$$

Найдем производную знаменателя:

$$v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 — 4) = 2x$$

Теперь подставим эти значения в формулу для производной:

$$f'(x) = \frac{1(x^2 — 4) — x \cdot 2x}{(x^2 — 4)^2}$$

Раскроем скобки и упростим:

$$f'(x) = \frac{x^2 — 4 — 2x^2}{(x^2 — 4)^2} = \frac{-x^2 — 4}{(x^2 — 4)^2}$$

Таким образом, производная функции:

$$f'(x) = -\frac{x^2 + 4}{(x^2 — 4)^2}$$

2. Область определения функции:

Чтобы найти область определения функции $f(x) = \frac{x}{x^2 — 4}$, нужно, чтобы знаменатель $x^2 — 4$ не был равен нулю. Рассмотрим:

$$x^2 — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4$$

Это уравнение имеет два решения:

$$x = \pm 2$$

Таким образом, функция не определена в точках $x = 2$ и $x = -2$.

Область определения:

$$D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$$

3. Исследуем функцию на четность:

Проверим, является ли функция четной. Для этого вычислим $f(-x)$ и сравним его с $f(x)$.

$$f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 — 4} = \frac{-x}{x^2 — 4}$$

Мы видим, что:

$$f(-x) = -\frac{x}{x^2 — 4} = -f(x)$$

Функция является нечетной, так как $f(-x) = -f(x)$.

4. Уравнения асимптот:

• Вертикальная асимптота: Функция имеет вертикальные асимптоты, если знаменатель $x^2 — 4 = 0$. Мы уже нашли, что это происходит при $x = 2$ и $x = -2$. Следовательно, вертикальные асимптоты находятся в точках $x = 2$ и $x = -2$.
• Горизонтальная асимптота: Для нахождения горизонтальной асимптоты вычислим предел функции при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$:

  $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2 — 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 — \frac{4}{x^2}} = \frac{0}{1 — 0} = 0$$

  Таким образом, горизонтальная асимптота: $y = 0$.

5. Промежутки монотонности:

Для нахождения промежутков монотонности исследуем знак производной $f'(x)$:

$$f'(x) = -\frac{x^2 + 4}{(x^2 — 4)^2}$$

Знаменатель всегда положителен (так как $(x^2 — 4)^2 > 0$ для всех $x \neq \pm 2$), следовательно, знак функции зависит от числителя:

$$-(x^2 + 4)$$

Числитель всегда отрицателен, так как $x^2 + 4 > 0$ для всех $x$. Это означает, что $f'(x) < 0$ на всей области определения.

Следовательно, функция убывает на всей области определения.

6. Координаты точек:

Рассчитаем значения функции для нескольких значений $x$:

Для $x = 0$:

$$f(0) = \frac{0}{0^2 — 4} = 0$$

Для $x = 1$:

$$f(1) = \frac{1}{1^2 — 4} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$$

Для $x = 1.5$:

$$f(1.5) = \frac{1.5}{(1.5)^2 — 4} = \frac{1.5}{2.25 — 4} = \frac{1.5}{-1.75} \approx -0.857$$

Для $x = 2.5$:

$$f(2.5) = \frac{2.5}{(2.5)^2 — 4} = \frac{2.5}{6.25 — 4} = \frac{2.5}{2.25} \approx 1.111$$

Для $x = 4$:

$$f(4) = \frac{4}{4^2 — 4} = \frac{4}{16 — 4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

Таблица координат:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 1.5 & 2.5 & 4 \\ \hline y & 0 & -0.333 & -0.857 & 1.111 & 0.333 \\ \hline \end{array}$$

7. График функции:

б) $f(x) = \frac{x — 3}{x^2 — 8}$

1. Производная функции:

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{x — 3}{x^2 — 8}$, также используем правило частного:

$$f'(x) = \frac{(x — 3)'(x^2 — 8) — (x — 3)(x^2 — 8)’}{(x^2 — 8)^2}$$

Производные числителя и знаменателя:

$$(x — 3)’ = 1, \quad (x^2 — 8)’ = 2x$$

Подставляем:

$$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 — 8) — (x — 3) \cdot 2x}{(x^2 — 8)^2}$$

Раскроем скобки:

$$f'(x) = \frac{x^2 — 8 — 2x(x — 3)}{(x^2 — 8)^2} = \frac{x^2 — 8 — 2x^2 + 6x}{(x^2 — 8)^2} = \frac{-x^2 + 6x — 8}{(x^2 — 8)^2}$$

2. Область определения функции:

Функция $f(x) = \frac{x — 3}{x^2 — 8}$ определена, когда знаменатель не равен нулю:

$$x^2 — 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 8 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$$

Таким образом, функция не определена при $x = \pm 2\sqrt{2}$.

Область определения:

$$D(f) = (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$$

3. Исследуем функцию на четность:

Проверим, является ли функция четной:

$$f(-x) = \frac{-x — 3}{(-x)^2 — 8} = \frac{-x — 3}{x^2 — 8} \quad \text{— нет};$$

Функция не является четной.

4. Уравнения асимптот:

• Вертикальная асимптота: Вертикальные асимптоты будут в точках, где знаменатель $x^2 — 8 = 0$, то есть при $x = \pm 2\sqrt{2}$.
• Горизонтальная асимптота: Для нахождения горизонтальной асимптоты вычислим предел функции при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$:

  $$\lim_{x \to \infty} \frac{x — 3}{x^2 — 8} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} — \frac{3}{x^2}}{1 — \frac{8}{x^2}} = \frac{0 — 0}{1 — 0} = 0$$

  Таким образом, горизонтальная асимптота: $y = 0$.

5. Промежутки монотонности:

Исследуем знак производной:

$$f'(x) = \frac{-x^2 + 6x — 8}{(x^2 — 8)^2}$$

Решаем неравенство:

$$\frac{-x^2 + 6x — 8}{(x^2 — 8)^2} \geq 0$$

Знаменатель всегда положителен, следовательно, знак функции зависит от числителя:

$$-x^2 + 6x — 8 \geq 0$$

Умножим на $-1$:

$$x^2 — 6x + 8 \leq 0$$

Решаем квадратное неравенство:

$$(x — 2)(x — 4) \leq 0$$

Это неравенство выполняется на интервале $2 \leq x \leq 4$.

Функция возрастает на интервале $[2; 2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; 4]$, и убывает на интервале $(-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (-2\sqrt{2}; 2] \cup [4; +\infty)$.

6. Стационарные точки:

Приравняем производную к нулю:

$$f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad -x^2 + 6x — 8 = 0$$

Решаем:

$$x = \frac{6 \pm \sqrt{6^2 — 4(-1)(-8)}}{2(-1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 — 32}}{-2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{-2} = \frac{6 \pm 2}{-2}$$

Таким образом, $x = 4$ и $x = 2$ — стационарные точки.

Найдем значения функции в этих точках:

$$y_{\text{max}} = f(4) = \frac{4 — 3}{4^2 — 8} = \frac{1}{16 — 8} = \frac{1}{8}$$ $$y_{\text{min}} = f(2) = \frac{2 — 3}{2^2 — 8} = \frac{-1}{4 — 8} = \frac{1}{4}$$

7. Координаты точек:

Для $x = -5$:

$$f(-5) = \frac{-5 — 3}{(-5)^2 — 8} = \frac{-8}{25 — 8} = \frac{-8}{17} \approx -0.471$$

Для $x = -3.5$:

$$f(-3.5) = \frac{-3.5 — 3}{(-3.5)^2 — 8} = \frac{-6.5}{12.25 — 8} = \frac{-6.5}{4.25} \approx -1.529$$

Для $x = 0$:

$$f(0) = \frac{0 — 3}{0^2 — 8} = \frac{-3}{-8} = \frac{3}{8} = 0.375$$

Для $x = 2.5$:

$$f(2.5) = \frac{2.5 — 3}{(2.5)^2 — 8} = \frac{-0.5}{6.25 — 8} = \frac{-0.5}{-1.75} \approx 0.286$$

Для $x = 3$:

$$f(3) = \frac{3 — 3}{3^2 — 8} = \frac{0}{9 — 8} = 0$$

Таблица координат:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -5 & -3.5 & 0 & 2.5 & 3 \\ \hline y & -0.471 & -1.529 & 0.375 & 0.286 & 0 \\ \hline \end{array}$$

8. График функции: