ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 45 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $x^2-5(\sqrt{x}{)}^2-6=0$;

б) $x^2+\sqrt{(x+1{)}^2}-3=0$;

в) $x^2+(\sqrt{x-3}{)}^2-9=0$;

г) $x^2+\sqrt{(x-3{)}^2}-9=0$

а) $x^2-5(\sqrt{x}{)}^2-6=0$;

$x^2-5x-6=0$;

$D=5^2+4\cdot 6=25+24=49$, тогда:

$x_1=\frac{5-7}{2}=-1$ и $x_2=\frac{5+7}{2}=6$;

Выражение имеет смысл при:

$x\ge 0$;

Ответ: $x=6$.

б) $x^2+\sqrt{(x+1{)}^2}-3=0$;

Число под знаком корня:

$x+1\ge 0$;

$x\ge -1$;

Если $x\ge -1$, тогда:

$x^2+(x+1)-3=0$;

$x^2+x-2=0$;

$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9$, тогда:

$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2$ и $x_2=\frac{-1+3}{2}=1$;

Если $x<-1$, тогда:

$x^2-(x+1)-3=0$;

$x^2-x-4=0$;

$D=1^2+4\cdot 4=1+16=17$, тогда:

$x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}$;

Ответ: $x_1=1$; $x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$.

в) $x^2+(\sqrt{x-3}{)}^2-9=0$;

$x^2+(x-3)-9=0$;

$x^2+x-12=0$;

$D=1^2+4\cdot 12=1+48=49$, тогда:

$x_1=\frac{-1-7}{2}=-4$ и $x_2=\frac{-1+7}{2}=3$;

Выражение имеет смысл при:

$x-3\ge 0$;

$x\ge 3$;

Ответ: $x=3$.

г) $x^2+\sqrt{(x-3{)}^2}-9=0$;

Число под знаком корня:

$x-3\ge 0$;

$x\ge 3$;

Если $x\ge 3$, тогда:

$x^2+(x-3)-9=0$;

$x^2+x-12=0$;

$D=1^2+4\cdot 12=1+48=49$, тогда:

$x_1=\frac{-1-7}{2}=-4$ и $x_2=\frac{-1+7}{2}=3$;

Если $x<3$, тогда:

$x^2-(x-3)-9=0$;

$x^2-x-6=0$;

$D=1^2+4\cdot 6=1+24=25$, тогда:

$x_1=\frac{1-5}{2}=-2$ и $x_2=\frac{1+5}{2}=3$;

Ответ: $x_1=3$; $x_2=-2$.

а) Решить: $x^2-5(\sqrt{x}{)}^2-6=0$

Шаг 1. Упростим выражение.

Заметим:

$$(\sqrt{x}{)}^2=x\text{(так как }x\ge 0\text{, иначе корень не определён)}$$

Тогда уравнение превращается в:

$$x^2-5x-6=0$$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение:

Находим дискриминант:

$$D=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot (-6)=25+24=49$$

Корни:

$$x_1=\frac{5-\sqrt{49}}{2}=\frac{5-7}{2}=-1$$$$x_2=\frac{5+\sqrt{49}}{2}=\frac{5+7}{2}=6$$

Шаг 3. Проверим область допустимых значений (ОДЗ):

В исходном уравнении присутствует $\sqrt{x}$, значит:

$$x\ge 0$$

Из двух найденных корней:

• $x_1=-1$ — не удовлетворяет ОДЗ.
• $x_2=6$ — удовлетворяет.

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=6}}$$

б) Решить: $x^2+\sqrt{(x+1{)}^2}-3=0$

Шаг 1. Раскроем модуль под корнем:

$$\sqrt{(x+1{)}^2}=\mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }$$

Теперь уравнение становится:

$$x^2+\mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }-3=0$$

Шаг 2. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x+1\ge 0$ (то есть $x\ge -1$)

Тогда $\mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }=x+1$, уравнение:

$$x^2+x+1-3=0\Rightarrow x^2+x-2=0$$

Находим дискриминант:

$$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9$$

Корни:

$$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2(\text{не удовлетворяет }x\ge -1)$$$$x_2=\frac{-1+3}{2}=1(\text{удовлетворяет})$$

Случай 2: $x+1<0\Rightarrow x<-1$

Тогда $\mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }=-(x+1)=-x-1$, уравнение:

$$x^2-x-1-3=0\Rightarrow x^2-x-4=0$$

Находим дискриминант:

$$D=(-1{)}^2+4\cdot 1\cdot 4=1+16=17$$

Корни:

$$x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}$$

Из них подходит только:

• $\frac{1-\sqrt{17}}{2}<-1$ — удовлетворяет.

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=1;x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}}}$$

в) Решить: $x^2+(\sqrt{x-3}{)}^2-9=0$

Шаг 1. Упростим:

$$(\sqrt{x-3}{)}^2=x-3\text{при }x-3\ge 0\Rightarrow x\ge 3$$

Тогда уравнение:

$$x^2+x-3-9=0\Rightarrow x^2+x-12=0$$

Шаг 2. Решим уравнение:

$$D=1^2+4\cdot 12=1+48=49$$$$x_1=\frac{-1-7}{2}=-4(\text{не удовлетворяет }x\ge 3)$$$$x_2=\frac{-1+7}{2}=3(\text{удовлетворяет})$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=3}}$$

г) Решить: $x^2+\sqrt{(x-3{)}^2}-9=0$

Шаг 1. Раскроем модуль:

$$\sqrt{(x-3{)}^2}=\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }$$

Тогда уравнение:

$$x^2+\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }-9=0$$

Шаг 2. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x-3\ge 0\Rightarrow x\ge 3$

Тогда $\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }=x-3$, уравнение:

$$x^2+x-3-9=0\Rightarrow x^2+x-12=0$$$$D=1+48=49\Rightarrow x_1=\frac{-1-7}{2}=-4(\text{не подходит})$$$$x_2=\frac{-1+7}{2}=3(\text{подходит})$$

Случай 2: $x-3<0\Rightarrow x<3$

Тогда $\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }=-(x-3)=-x+3$, уравнение:

$$x^2-x+3-9=0\Rightarrow x^2-x-6=0$$$$D=1+24=25\Rightarrow x_1=\frac{1-5}{2}=-2$$$$x_2=\frac{1+5}{2}=3(\text{на границе, но условие }x<3\Rightarrow \text{не подходит})$$

Итак, из этого случая подходит только $x=-2$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=3;x=-2}}$$