ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке без помощи производной:

а) $y = x^8 — 1$ на отрезке $[-1; 2]$;

б) $y = -x^5 + 2$ на отрезке $[-2; 1]$;

в) $y = x^3 — 4$ на отрезке $[0; 3]$;

г) $y = -2x^4 + 8$ на отрезке $[0; 3]$

а) $y = x^8 — 1$ на отрезке $[-1; 2]$;

$$-1 \leq x \leq 2;$$ $$0 \leq x^8 \leq 256;$$ $$-1 \leq x^8 — 1 \leq 255;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -1$; $y_{\text{max}} = 255$.

б) $y = -x^5 + 2$ на отрезке $[-2; 1]$;

$$-2 \leq x \leq 1;$$ $$-32 \leq x^5 \leq 1;$$ $$-1 \leq -x^5 \leq 32;$$ $$1 \leq -x^5 + 2 \leq 34;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 1$; $y_{\text{max}} = 34$.

в) $y = x^3 — 4$ на отрезке $[0; 3]$;

$$0 \leq x \leq 3;$$ $$0 \leq x^3 \leq 27;$$ $$-4 \leq x^3 — 4 \leq 23;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -4$; $y_{\text{max}} = 23$.

г) $y = -2x^4 + 8$ на отрезке $[0; 3]$;

$$0 \leq x \leq 3;$$ $$0 \leq x^4 \leq 81;$$ $$-162 \leq -2x^4 \leq 0;$$ $$-154 \leq -2x^4 + 8 \leq 8;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -154$; $y_{\text{max}} = 8$.

а) $y = x^8 — 1$ на отрезке $[-1; 2]$:

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = x^8 — 1$ на отрезке $[-1; 2]$.

Определим область значений функции $y = x^8 — 1$ на отрезке $[-1; 2]$.

• Мы видим, что $x^8$ — это четная степень, и она всегда неотрицательная (для всех $x$). Поэтому на отрезке $[-1; 2]$ значения $x^8$ будут зависеть от значения $x$.
• Минимальное значение $x^8$ достигается, когда $x = 0$, так как $x^8 = 0$ при $x = 0$. В других точках отрезка, включая $x = -1$ и $x = 2$, значение $x^8$ будет больше.

Найдем пределы значений для $x^8$:

• Когда $x = -1$, то $x^8 = (-1)^8 = 1$.
• Когда $x = 0$, то $x^8 = 0^8 = 0$.
• Когда $x = 2$, то $x^8 = 2^8 = 256$.

Следовательно, $x^8$ на отрезке $[-1; 2]$ изменяется от 0 до 256.

Теперь вычислим значение функции $y = x^8 — 1$:

• Минимальное значение функции будет, когда $x^8$ минимально, то есть $x^8 = 0$. Тогда $y = 0 — 1 = -1$.
• Максимальное значение функции будет, когда $x^8$ максимально, то есть $x^8 = 256$. Тогда $y = 256 — 1 = 255$.

Ответ: $y_{\text{min}} = -1$; $y_{\text{max}} = 255$.

б) $y = -x^5 + 2$ на отрезке $[-2; 1]$:

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = -x^5 + 2$ на отрезке $[-2; 1]$.

Определим область значений функции $y = -x^5 + 2$ на отрезке $[-2; 1]$.

• В этом случае функция имеет степень 5, которая является нечетной. Это значит, что она изменяет знак, и для значений $x$ на отрезке $[-2; 1]$ $x^5$ будет принимать как положительные, так и отрицательные значения.
• Нам нужно вычислить значение $x^5$ в крайних точках отрезка.

Найдем пределы значений для $x^5$:

• Когда $x = -2$, то $x^5 = (-2)^5 = -32$.
• Когда $x = 1$, то $x^5 = 1^5 = 1$.

Таким образом, $x^5$ на отрезке $[-2; 1]$ изменяется от -32 до 1.

Теперь вычислим значение функции $y = -x^5 + 2$:

• Когда $x = -2$, то $y = -(-32) + 2 = 32 + 2 = 34$.
• Когда $x = 1$, то $y = -(1^5) + 2 = -1 + 2 = 1$.

Проверим, на каком промежутке функция принимает минимальные и максимальные значения:

• Поскольку $x^5$ монотонно возрастает на отрезке $[-2; 1]$, значение $-x^5$ будет монотонно убывать. Следовательно, $y = -x^5 + 2$ будет монотонно возрастать на отрезке $[-2; 1]$.
• Максимальное значение функции будет на $x = -2$, минимальное — на $x = 1$.

Ответ: $y_{\text{min}} = 1$; $y_{\text{max}} = 34$.

в) $y = x^3 — 4$ на отрезке $[0; 3]$:

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = x^3 — 4$ на отрезке $[0; 3]$.

Определим область значений функции $y = x^3 — 4$ на отрезке $[0; 3]$.

• Функция $x^3$ является монотонно возрастающей на отрезке $[0; 3]$, поскольку её производная $f'(x) = 3x^2$ всегда положительна для $x \geq 0$.
• Значит, $x^3$ будет возрастать от 0 до 27 на отрезке $[0; 3]$.

Найдем пределы значений для $x^3$:

• Когда $x = 0$, то $x^3 = 0^3 = 0$.
• Когда $x = 3$, то $x^3 = 3^3 = 27$.

Теперь вычислим значение функции $y = x^3 — 4$:

• Когда $x = 0$, то $y = 0^3 — 4 = -4$.
• Когда $x = 3$, то $y = 27 — 4 = 23$.

Ответ: $y_{\text{min}} = -4$; $y_{\text{max}} = 23$.

г) $y = -2x^4 + 8$ на отрезке $[0; 3]$:

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = -2x^4 + 8$ на отрезке $[0; 3]$.

Определим область значений функции $y = -2x^4 + 8$ на отрезке $[0; 3]$.

• Функция $x^4$ является монотонно возрастающей на отрезке $[0; 3]$, и поскольку коэффициент перед $x^4$ отрицателен, функция $y = -2x^4 + 8$ будет монотонно убывать на этом отрезке.

Найдем пределы значений для $x^4$:

• Когда $x = 0$, то $x^4 = 0^4 = 0$.
• Когда $x = 3$, то $x^4 = 3^4 = 81$.

Теперь вычислим значение функции $y = -2x^4 + 8$:

• Когда $x = 0$, то $y = -2(0^4) + 8 = 8$.
• Когда $x = 3$, то $y = -2(81) + 8 = -162 + 8 = -154$.

Ответ: $y_{\text{min}} = -154$; $y_{\text{max}} = 8$.

Ответы для всех пунктов:

а) $y_{\text{min}} = -1$; $y_{\text{max}} = 255$.

б) $y_{\text{min}} = 1$; $y_{\text{max}} = 34$.

в) $y_{\text{min}} = -4$; $y_{\text{max}} = 23$.

г) $y_{\text{min}} = -154$; $y_{\text{max}} = 8$.