ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х³ — 9х² + 16х — 3 на отрезке:

a) [0; 2];

б) [3; 6];

в) [-1; 3];

г) [2; 7].

$y = x^3 — 9x^2 + 15x — 3$;

Производная функции:

$$y’ = (x^3)’ — 9(x^2)’ + (15x — 3)’;$$ $$y’ = 3x^2 — 9 \cdot 2x + 15 = 3x^2 — 18x + 15;$$

Стационарные точки:

$$3x^2 — 18x + 15 = 0;$$ $$x^2 — 6x + 5 = 0;$$ $$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 25 = 16, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;$$

а) На отрезке $[0; 2]$:

$$y(0) = 0^3 — 9 \cdot 0^2 + 15 \cdot 0 — 3 = -3;$$ $$y(1) = 1^3 — 9 \cdot 1^2 + 15 \cdot 1 — 3 = 1 — 9 + 15 — 3 = 4;$$ $$y(2) = 2^3 — 9 \cdot 2^2 + 15 \cdot 2 — 3 = 8 — 36 + 30 — 3 = -1;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -3$; $y_{\text{max}} = 4$.

б) На отрезке $[3; 6]$:

$$y(3) = 3^3 — 9 \cdot 3^2 + 15 \cdot 3 — 3 = 27 — 81 + 45 — 3 = -12;$$ $$y(6) = 6^3 — 9 \cdot 6^2 + 15 \cdot 6 — 3 = 216 — 324 + 90 — 3 = -21;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -28$; $y_{\text{max}} = -12$.

в) На отрезке $[-1; 3]$:

$$y(-1) = (-1)^3 — 9 \cdot (-1)^2 + 15 \cdot (-1) — 3 = -1 — 9 — 15 — 3 = -28;$$ $$y(1) = 1^3 — 9 \cdot 1^2 + 15 \cdot 1 — 3 = 1 — 9 + 15 — 3 = 4;$$ $$y(3) = 3^3 — 9 \cdot 3^2 + 15 \cdot 3 — 3 = 27 — 81 + 45 — 3 = -12;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -28$; $y_{\text{max}} = 4$.

г) На отрезке $[2; 7]$:

$$y(2) = 2^3 — 9 \cdot 2^2 + 15 \cdot 2 — 3 = 8 — 36 + 30 — 3 = -1;$$ $$y(5) = 5^3 — 9 \cdot 5^2 + 15 \cdot 5 — 3 = 125 — 225 + 75 — 3 = -28;$$ $$y(7) = 7^3 — 9 \cdot 7^2 + 15 \cdot 7 — 3 = 343 — 441 + 105 — 3 = 4;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -28$; $y_{\text{max}} = 4$.

Дана функция:

$$y = x^3 — 9x^2 + 15x — 3$$

1. Производная функции

Чтобы найти производную функции $y = x^3 — 9x^2 + 15x — 3$, используем правила дифференцирования:

• Производная от $x^n$ равна $nx^{n-1}$;
• Производная от константы равна нулю.

Применяем эти правила к каждому из членов функции:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^3) — 9 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + 15 \cdot \frac{d}{dx}(x) — \frac{d}{dx}(3)$$

Находим производные каждого члена:

• Производная $x^3$ — это $3x^2$,
• Производная $-9x^2$ — это $-9 \cdot 2x = -18x$,
• Производная $15x$ — это $15$,
• Производная константы $-3$ — это $0$.

Таким образом, получаем производную:

$$y’ = 3x^2 — 18x + 15$$

2. Стационарные точки

Стационарные точки функции находятся при равенстве производной нулю:

$$y’ = 3x^2 — 18x + 15 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Для этого сначала разделим обе части уравнения на 3:

$$x^2 — 6x + 5 = 0$$

Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

Для уравнения $x^2 — 6x + 5 = 0$, где $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$, подставим эти значения в формулу:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$$

Теперь находим корни:

$$x_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 4}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = 5$$

Таким образом, стационарные точки функции — это $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

3. Определение экстремумов

Для того чтобы выяснить, какие из этих стационарных точек являются минимумами или максимумами, необходимо провести анализ второй производной или исследовать знак первой производной на интервалах между стационарными точками. Однако в этой задаче достаточно рассмотреть значения функции на отрезках, в которые входят эти точки.

4. Рассмотрение функции на отрезках

Рассмотрим значения функции на различных отрезках.

а) На отрезке $[0; 2]$

Вычислим значения функции на концах отрезка и в стационарной точке $x_1 = 1$:

• $y(0) = 0^3 — 9 \cdot 0^2 + 15 \cdot 0 — 3 = -3$
• $y(1) = 1^3 — 9 \cdot 1^2 + 15 \cdot 1 — 3 = 1 — 9 + 15 — 3 = 4$
• $y(2) = 2^3 — 9 \cdot 2^2 + 15 \cdot 2 — 3 = 8 — 36 + 30 — 3 = -1$

Таким образом, на отрезке $[0; 2]$ минимум функции $y_{\text{min}} = -3$, а максимум $y_{\text{max}} = 4$.

б) На отрезке $[3; 6]$

Вычислим значения функции на концах отрезка и в стационарной точке $x_1 = 1$ (но она не лежит на этом отрезке):

• $y(3) = 3^3 — 9 \cdot 3^2 + 15 \cdot 3 — 3 = 27 — 81 + 45 — 3 = -12$
• $y(6) = 6^3 — 9 \cdot 6^2 + 15 \cdot 6 — 3 = 216 — 324 + 90 — 3 = -21$

Таким образом, на отрезке $[3; 6]$ минимум функции $y_{\text{min}} = -28$, а максимум $y_{\text{max}} = -12$.

в) На отрезке $[-1; 3]$

Вычислим значения функции на концах отрезка и в стационарной точке $x_1 = 1$:

• $y(-1) = (-1)^3 — 9 \cdot (-1)^2 + 15 \cdot (-1) — 3 = -1 — 9 — 15 — 3 = -28$
• $y(1) = 1^3 — 9 \cdot 1^2 + 15 \cdot 1 — 3 = 1 — 9 + 15 — 3 = 4$
• $y(3) = 3^3 — 9 \cdot 3^2 + 15 \cdot 3 — 3 = 27 — 81 + 45 — 3 = -12$

Таким образом, на отрезке $[-1; 3]$ минимум функции $y_{\text{min}} = -28$, а максимум $y_{\text{max}} = 4$.

г) На отрезке $[2; 7]$

Вычислим значения функции на концах отрезка и в стационарной точке $x_2 = 5$:

• $y(2) = 2^3 — 9 \cdot 2^2 + 15 \cdot 2 — 3 = 8 — 36 + 30 — 3 = -1$
• $y(5) = 5^3 — 9 \cdot 5^2 + 15 \cdot 5 — 3 = 125 — 225 + 75 — 3 = -28$
• $y(7) = 7^3 — 9 \cdot 7^2 + 15 \cdot 7 — 3 = 343 — 441 + 105 — 3 = 4$

Таким образом, на отрезке $[2; 7]$ минимум функции $y_{\text{min}} = -28$, а максимум $y_{\text{max}} = 4$.$y_{\text{max}} = 4$