ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y=x^4-8x^3+10x^2+1$ на отрезке:

a) [-1; 2];

б) [1; 6];

в) [-2; 3];

г) [1; 7].

$y = x^4 — 8x^3 + 10x^2 + 1;$

Производная функции:

$$y’ = (x^4)’ — 8(x^3)’ + 10(x^2)’ + (1)’;$$ $$y’ = 4x^3 — 8 \cdot 3x^2 + 10 \cdot 2x + 0 = 4x^3 — 24x^2 + 20x;$$

Стационарные точки:

$$4x^3 — 24x^2 + 20x = 0;$$ $$4x(x^2 — 6x + 5) = 0;$$ $$x^2 — 6x + 5 = 0;$$ $$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;$$ $$4x = 0, \text{ отсюда } x = 0;$$

а) На отрезке $[-1; 2]$:

$$y(-1) = (-1)^4 — 8 \cdot (-1)^3 + 10 \cdot (-1)^2 + 1 = 1 + 8 + 10 + 1 = 20;$$ $$y(0) = 0^4 — 8 \cdot 0^3 + 10 \cdot 0^2 + 1 = 1;$$ $$y(1) = 1^4 — 8 \cdot 1^3 + 10 \cdot 1^2 + 1 = 1 — 8 + 10 + 1 = 4;$$ $$y(2) = 2^4 — 8 \cdot 2^3 + 10 \cdot 2^2 + 1 = 16 — 64 + 40 + 1 = -7;$$

Ответ: $y_{\min} = -7$; $y_{\max} = 20$.

б) На отрезке $[1; 6]$:

$$y(1) = 1^4 — 8 \cdot 1^3 + 10 \cdot 1^2 + 1 = 1 — 8 + 10 + 1 = 4;$$ $$y(5) = 5^4 — 8 \cdot 5^3 + 10 \cdot 5^2 + 1 = 625 — 1000 + 250 + 1 = -124;$$ $$y(6) = 6^4 — 8 \cdot 6^3 + 10 \cdot 6^2 + 1 = 1296 — 1728 + 360 + 1 = -71;$$

Ответ: $y_{\min} = -124$; $y_{\max} = 4$.

в) На отрезке $[-2; 3]$:

$$y(-2) = (-2)^4 — 8 \cdot (-2)^3 + 10 \cdot (-2)^2 + 1 = 16 + 64 + 40 + 1 = 121;$$ $$y(0) = 0^4 — 8 \cdot 0^3 + 10 \cdot 0^2 + 1 = 1;$$ $$y(1) = 1^4 — 8 \cdot 1^3 + 10 \cdot 1^2 + 1 = 1 — 8 + 10 + 1 = 4;$$ $$y(3) = 3^4 — 8 \cdot 3^3 + 10 \cdot 3^2 + 1 = 81 — 216 + 90 + 1 = -44;$$

Ответ: $y_{\min} = -44$; $y_{\max} = 121$.

г) На отрезке $[1; 7]$:

$$y(1) = 1^4 — 8 \cdot 1^3 + 10 \cdot 1^2 + 1 = 1 — 8 + 10 + 1 = 4;$$ $$y(5) = 5^4 — 8 \cdot 5^3 + 10 \cdot 5^2 + 1 = 625 — 1000 + 250 + 1 = -124;$$ $$y(7) = 7^4 — 8 \cdot 7^3 + 10 \cdot 7^2 + 1 = 2401 — 2744 + 490 + 1 = 148;$$

Ответ: $y_{\min} = -124$; $y_{\max} = 148$.

$y = x^4 — 8x^3 + 10x^2 + 1;$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для того чтобы найти производную функции $y = x^4 — 8x^3 + 10x^2 + 1$, применяем основные правила дифференцирования для каждой из составляющих функции. Обозначим:

• $(x^4)’$ — производная от $x^4$
• $(x^3)’$ — производная от $x^3$
• $(x^2)’$ — производная от $x^2$
• $(1)’$ — производная от константы $1$

Для каждой из этих составляющих:

• Производная от $x^n$ равна $n \cdot x^{n-1}$.
• Производная от константы равна 0.

Таким образом, вычисляем производную функции:

$$y’ = (x^4)’ — 8(x^3)’ + 10(x^2)’ + (1)’$$

Теперь вычислим производные каждого члена:

$$(x^4)’ = 4x^3$$ $$-8(x^3)’ = -8 \cdot 3x^2 = -24x^2$$ $$10(x^2)’ = 10 \cdot 2x = 20x$$ $$(1)’ = 0$$

Подставляем результаты:

$$y’ = 4x^3 — 24x^2 + 20x$$

Это и есть производная функции $y = x^4 — 8x^3 + 10x^2 + 1$.

Шаг 2: Нахождение стационарных точек

Стационарные точки функции находятся при $y’ = 0$, то есть при равенстве производной нулю. Нам нужно решить уравнение:

$$4x^3 — 24x^2 + 20x = 0$$

Факторизуем это уравнение:

$$4x(x^2 — 6x + 5) = 0$$

Теперь у нас есть два множителя: $4x = 0$ и $x^2 — 6x + 5 = 0$.

Решаем $4x = 0$:

$$x = 0$$

Решаем квадратное уравнение $x^2 — 6x + 5 = 0$ с помощью дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$. Подставляем значения:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$$

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня:

$$x_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 4}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = 5$$

Таким образом, стационарные точки функции — это $x = 0$, $x = 1$, и $x = 5$.

Шаг 3: Нахождение значений функции в стационарных точках и на концах отрезков

Теперь нам нужно найти значения функции $y$ на отрезках, указанных в задаче.

а) На отрезке $[-1; 2]$

Вычислим значения функции $y$ на концах отрезка и в точках стационарных значений, попадающих в этот отрезок.

• $x = -1$:

$$y(-1) = (-1)^4 — 8 \cdot (-1)^3 + 10 \cdot (-1)^2 + 1 = 1 + 8 + 10 + 1 = 20$$

• $x = 0$:

$$y(0) = 0^4 — 8 \cdot 0^3 + 10 \cdot 0^2 + 1 = 1$$

• $x = 1$:

$$y(1) = 1^4 — 8 \cdot 1^3 + 10 \cdot 1^2 + 1 = 1 — 8 + 10 + 1 = 4$$

• $x = 2$:

$$y(2) = 2^4 — 8 \cdot 2^3 + 10 \cdot 2^2 + 1 = 16 — 64 + 40 + 1 = -7$$

Ответ: На отрезке $[-1; 2]$ минимальное значение $y_{\min} = -7$, максимальное значение $y_{\max} = 20$.

б) На отрезке $[1; 6]$

• $x = 1$:

$$y(1) = 1^4 — 8 \cdot 1^3 + 10 \cdot 1^2 + 1 = 1 — 8 + 10 + 1 = 4$$

• $x = 5$:

$$y(5) = 5^4 — 8 \cdot 5^3 + 10 \cdot 5^2 + 1 = 625 — 1000 + 250 + 1 = -124$$

• $x = 6$:

$$y(6) = 6^4 — 8 \cdot 6^3 + 10 \cdot 6^2 + 1 = 1296 — 1728 + 360 + 1 = -71$$

Ответ: На отрезке $[1; 6]$ минимальное значение $y_{\min} = -124$, максимальное значение $y_{\max} = 4$.

в) На отрезке $[-2; 3]$

• $x = -2$:

$$y(-2) = (-2)^4 — 8 \cdot (-2)^3 + 10 \cdot (-2)^2 + 1 = 16 + 64 + 40 + 1 = 121$$

• $x = 0$:

$$y(0) = 0^4 — 8 \cdot 0^3 + 10 \cdot 0^2 + 1 = 1$$

• $x = 1$:

$$y(1) = 1^4 — 8 \cdot 1^3 + 10 \cdot 1^2 + 1 = 1 — 8 + 10 + 1 = 4$$

• $x = 3$:

$$y(3) = 3^4 — 8 \cdot 3^3 + 10 \cdot 3^2 + 1 = 81 — 216 + 90 + 1 = -44$$

Ответ: На отрезке $[-2; 3]$ минимальное значение $y_{\min} = -44$, максимальное значение $y_{\max} = 121$.

г) На отрезке $[1; 7]$

• $x = 1$:

$$y(1) = 1^4 — 8 \cdot 1^3 + 10 \cdot 1^2 + 1 = 1 — 8 + 10 + 1 = 4$$

• $x = 5$:

$$y(5) = 5^4 — 8 \cdot 5^3 + 10 \cdot 5^2 + 1 = 625 — 1000 + 250 + 1 = -124$$

• $x = 7$:

$$y(7) = 7^4 — 8 \cdot 7^3 + 10 \cdot 7^2 + 1 = 2401 — 2744 + 490 + 1 = 148$$

Ответ: На отрезке $[1; 7]$ минимальное значение $y_{\min} = -124$, максимальное значение $y_{\max} = 148$.

Итоговые ответы:

• На отрезке $[-1; 2]$ : $y_{\min} = -7$, $y_{\max} = 20$
• На отрезке $[1; 6]$ : $y_{\min} = -124$, $y_{\max} = 4$
• На отрезке $[-2; 3]$ : $y_{\min} = -44$, $y_{\max} = 121$
• На отрезке $[1; 7]$ : $y_{\min} = -124$, $y_{\max} = 148$