ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке:

а) $y = \operatorname{ctg} x + x$ на отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$;

б) $y = 2 \sin x — x$ на отрезке $[0; \pi]$;

в) $y = 2 \cos x + x$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$;

г) $y = \operatorname{tg} x — x$ на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$

а) $y = \operatorname{ctg} x + x$ на отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$;

Стационарные точки:

$$y’ = (\operatorname{ctg} x)’ + (x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x} + 1;$$ $$-\frac{1}{\sin^2 x} + 1 = 0;$$ $$-1 + \sin^2 x = 0;$$ $$\sin^2 x = 1;$$ $$\sin x = \pm 1;$$ $$x = \arcsin(\pm 1) + \pi n = \pm \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Значения функции:

$$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 1 + \frac{\pi}{4};$$ $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2};$$ $$y\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \operatorname{ctg} \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \frac{3\pi}{4} = -1 + \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} — 1;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = \frac{3\pi}{4} — 1; \quad y_{\text{max}} = \frac{\pi}{4} + 1$.

б) $y = 2 \sin x — x$ на отрезке $[0; \pi]$;

Стационарные точки:

$$y’ = 2(\sin x)’ — (x)’ = 2 \cos x — 1;$$ $$2 \cos x — 1 = 0;$$ $$2 \cos x = 1;$$ $$\cos x = \frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Значения функции:

$$y(0) = 2 \cdot \sin 0 — 0 = 2 \cdot 0 — 0 = 0;$$ $$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \sin \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{3\sqrt{3} — \pi}{3};$$ $$y(\pi) = 2 \cdot \sin \pi — \pi = 2 \cdot 0 — \pi = -\pi;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -\pi; \quad y_{\text{max}} = \frac{3\sqrt{3} — \pi}{3}$.

в) $y = 2 \cos x + x$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$;

Стационарные точки:

$$y’ = 2(\cos x)’ + (x)’ = -2 \sin x + 1;$$ $$-2 \sin x + 1 = 0;$$ $$-2 \sin x = -1;$$ $$\sin x = \frac{1}{2};$$ $$x = \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Значения функции:

$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) — \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 — \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2};$$ $$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \cos \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6};$$ $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot \cos \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2} = 1 + \frac{\pi}{2};$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -\frac{\pi}{2}; \quad y_{\text{max}} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$.

г) $y = \operatorname{tg} x — x$ на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$;

Стационарные точки:

$$y’ = (\operatorname{tg} x)’ — (x)’ = \frac{1}{\cos^2 x} — 1;$$ $$\frac{1}{\cos^2 x} — 1 = 0;$$ $$1 — \cos^2 x = 0;$$ $$1 = \cos^2 x;$$ $$\cos x = \pm 1;$$ $$x = \pm \arccos(\pm 1) + 2\pi n = \pm \pi + 2\pi n = \pi n;$$

Значения функции:

$$y(0) = \operatorname{tg} 0 — 0 = 0 — 0 = 0;$$ $$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{3\sqrt{3} — \pi}{3};$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 0; \quad y_{\text{max}} = \frac{3\sqrt{3} — \pi}{3}$.

а) $y = \operatorname{ctg} x + x$ на отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$;

Шаг 1. Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции $y = \operatorname{ctg} x + x$. Мы знаем, что производная от $\operatorname{ctg} x$ равна $-\frac{1}{\sin^2 x}$, а производная от $x$ равна 1. Таким образом, производная функции $y$ будет:

$$y’ = (\operatorname{ctg} x)’ + (x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x} + 1$$

Шаг 2. Нахождение стационарных точек

Стационарные точки функции находятся из условия $y’ = 0$. Приравняем производную к нулю:

$$-\frac{1}{\sin^2 x} + 1 = 0$$

Решим это уравнение:

$$-\frac{1}{\sin^2 x} = -1$$ $$\frac{1}{\sin^2 x} = 1$$ $$\sin^2 x = 1$$ $$\sin x = \pm 1$$

Тогда $x$ может быть:

$$x = \arcsin(\pm 1) + \pi n = \pm \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Пусть $n$ — целое число. Рассмотрим возможные значения для $x$ на отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$. Мы видим, что на этом отрезке единственная стационарная точка будет $x = \frac{\pi}{2}$, так как $\frac{\pi}{2} \in \left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$.

Шаг 3. Нахождение значений функции на концах отрезка и в стационарной точке

Теперь вычислим значения функции $y = \operatorname{ctg} x + x$ на концах отрезка и в стационарной точке.

При $x = \frac{\pi}{4}$:

$$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 1 + \frac{\pi}{4}$$

При $x = \frac{\pi}{2}$:

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$$

При $x = \frac{3\pi}{4}$:

$$y\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \operatorname{ctg} \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \frac{3\pi}{4} = -1 + \frac{3\pi}{4}$$ $$y\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{3\pi}{4} — 1$$

Шаг 4. Нахождение максимума и минимума функции

Из вычисленных значений функции можно найти, что:

• $y_{\text{min}} = \frac{3\pi}{4} — 1$ (минимальное значение на отрезке);
• $y_{\text{max}} = \frac{\pi}{4} + 1$ (максимальное значение на отрезке).

Ответ: $y_{\text{min}} = \frac{3\pi}{4} — 1; \quad y_{\text{max}} = \frac{\pi}{4} + 1$.

б) $y = 2 \sin x — x$ на отрезке $[0; \pi]$;

Шаг 1. Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции $y = 2 \sin x — x$. Производная от $2 \sin x$ будет $2 \cos x$, а производная от $-x$ будет $-1$. Таким образом, производная функции $y$ будет:

$$y’ = 2(\sin x)’ — (x)’ = 2 \cos x — 1$$

Шаг 2. Нахождение стационарных точек

Стационарные точки функции находятся из условия $y’ = 0$. Приравняем производную к нулю:

$$2 \cos x — 1 = 0$$

Решим это уравнение:

$$2 \cos x = 1$$ $$\cos x = \frac{1}{2}$$

Значение $\cos x = \frac{1}{2}$ при $x = \pm \frac{\pi}{3}$, но так как $x$ лежит в отрезке $[0, \pi]$, единственная стационарная точка на этом отрезке — это $x = \frac{\pi}{3}$.

Шаг 3. Нахождение значений функции на концах отрезка и в стационарной точке

Теперь вычислим значения функции $y = 2 \sin x — x$ на концах отрезка и в стационарной точке.

При $x = 0$:

$$y(0) = 2 \cdot \sin 0 — 0 = 2 \cdot 0 — 0 = 0$$

При $x = \frac{\pi}{3}$:

$$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \sin \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{3\sqrt{3} — \pi}{3}$$

При $x = \pi$:

$$y(\pi) = 2 \cdot \sin \pi — \pi = 2 \cdot 0 — \pi = -\pi$$

Шаг 4. Нахождение максимума и минимума функции

Из вычисленных значений функции можно найти, что:

• $y_{\text{min}} = -\pi$ (минимальное значение на отрезке);
• $y_{\text{max}} = \frac{3\sqrt{3} — \pi}{3}$ (максимальное значение на отрезке).

Ответ: $y_{\text{min}} = -\pi; \quad y_{\text{max}} = \frac{3\sqrt{3} — \pi}{3}$.

в) $y = 2 \cos x + x$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$;

Шаг 1. Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции $y = 2 \cos x + x$. Производная от $2 \cos x$ будет $-2 \sin x$, а производная от $x$ будет 1. Таким образом, производная функции $y$ будет:

$$y’ = 2(\cos x)’ + (x)’ = -2 \sin x + 1$$

Шаг 2. Нахождение стационарных точек

Стационарные точки функции находятся из условия $y’ = 0$. Приравняем производную к нулю:

$$-2 \sin x + 1 = 0$$

Решим это уравнение:

$$2 \sin x = 1$$ $$\sin x = \frac{1}{2}$$

Значение $\sin x = \frac{1}{2}$ при $x = \frac{\pi}{6}$. Так как $x$ лежит в отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, единственная стационарная точка на этом отрезке — это $x = \frac{\pi}{6}$.

Шаг 3. Нахождение значений функции на концах отрезка и в стационарной точке

Теперь вычислим значения функции $y = 2 \cos x + x$ на концах отрезка и в стационарной точке.

При $x = -\frac{\pi}{2}$:

$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) — \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 — \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$$

При $x = \frac{\pi}{6}$:

$$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \cos \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$$

При $x = \frac{\pi}{2}$:

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot \cos \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2} = 1 + \frac{\pi}{2}$$

Шаг 4. Нахождение максимума и минимума функции

Из вычисленных значений функции можно найти, что:

• $y_{\text{min}} = -\frac{\pi}{2}$ (минимальное значение на отрезке);
• $y_{\text{max}} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$ (максимальное значение на отрезке).

Ответ: $y_{\text{min}} = -\frac{\pi}{2}; \quad y_{\text{max}} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$.

г) $y = \operatorname{tg} x — x$ на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$;

Шаг 1. Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции $y = \operatorname{tg} x — x$. Производная от $\operatorname{tg} x$ будет $\frac{1}{\cos^2 x}$, а производная от $-x$ будет $-1$. Таким образом, производная функции $y$ будет:

$$y’ = (\operatorname{tg} x)’ — (x)’ = \frac{1}{\cos^2 x} — 1$$

Шаг 2. Нахождение стационарных точек

Стационарные точки функции находятся из условия $y’ = 0$. Приравняем производную к нулю:

$$\frac{1}{\cos^2 x} — 1 = 0$$

Решим это уравнение:

$$\frac{1}{\cos^2 x} = 1$$ $$\cos^2 x = 1$$ $$\cos x = \pm 1$$

Тогда $x$ может быть:

$$x = \pm \arccos(\pm 1) + 2\pi n = \pm \pi + 2\pi n = \pi n$$

Так как $x$ лежит на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$, единственная стационарная точка на этом отрезке — это $x = 0$.

Шаг 3. Нахождение значений функции на концах отрезка и в стационарной точке

Теперь вычислим значения функции $y = \operatorname{tg} x — x$ на концах отрезка и в стационарной точке.

При $x = 0$:

$$y(0) = \operatorname{tg} 0 — 0 = 0 — 0 = 0$$

При $x = \frac{\pi}{3}$:

$$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{3\sqrt{3} — \pi}{3}$$

Шаг 4. Нахождение максимума и минимума функции

Из вычисленных значений функции можно найти, что:

• $y_{\text{min}} = 0$ (минимальное значение на отрезке);
• $y_{\text{max}} = \frac{3\sqrt{3} — \pi}{3}$ (максимальное значение на отрезке).

Ответ: $y_{\text{min}} = 0; \quad y_{\text{max}} = \frac{3\sqrt{3} — \pi}{3}$.