ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке:

a) $y = (2x — 1)^2 (x — 2)$ на отрезке $[-1; 2]$

б) $y = \frac{x^2}{x^2 — 2x — 1}$ на отрезке $[0; 2]$

в) $y = (x + 4)(3x + 1)^2$ на отрезке $[-2; -\frac{1}{2}]$

г) $y = \frac{5x^3}{x^2 — 9}$ на отрезке $[-1;1]$

a) $y = (2x — 1)^2 (x — 2)$ на отрезке $[-1; 2]$

Производная функции:

$$y’ = \left( (2x — 1)^2 \right)’ (x — 2) + (2x — 1)^2 (x — 2)’$$ $$y’ = 2 \cdot 2(2x — 1)(x — 2) + (2x — 1)^2 \cdot 1$$ $$y’ = (2x — 1)(4x — 8) + (2x — 1)^2$$ $$y’ = (2x — 1)(4x — 8 + 2x — 1) = (2x — 1)(6x — 9)$$

Стационарные точки:

$$(2x — 1)(6x — 9) = 0$$ $$x_1 = \frac{1}{2} = 0,5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{9}{6} = 1,5$$

Значения функции:

$$y(-1) = (-2 — 1)^2 (-1 — 2) = (-3)^2 (-3) = (-3)^3 = -27$$ $$y(0,5) = (2 \cdot 0,5 — 1)^2 (0,5 — 2) = 0^2 \cdot (-1,5) = -1,5$$ $$y(1,5) = (2 \cdot 1,5 — 1)^2 (1,5 — 2) = 2^2 \cdot (-0,5) = 4 \cdot (-0,5) = -2$$ $$y(2) = (2 \cdot 2 — 1)^2 (2 — 2) = 3^2 \cdot 0 = 0$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -27$; $y_{\text{max}} = 0$.

б) $y = \frac{x^2}{x^2 — 2x — 1}$ на отрезке $[0; 2]$

Производная функции:

$$y’ = \frac{(x^2)'(x^2 — 2x — 1) — x^2(x^2 — 2x — 1)’}{(x^2 — 2x — 1)^2}$$ $$y’ = \frac{2x(x^2 — 2x — 1) — x^2(2x — 2)}{(x^2 — 2x — 1)^2}$$ $$y’ = \frac{2x^3 — 4x^2 — 2x — 2x^3 + 2x^2}{(x^2 — 2x — 1)^2}$$ $$y’ = \frac{-2x^2 — 2x}{(x^2 — 2x — 1)^2}$$

Стационарные точки:

$$\frac{-2x^2 — 2x}{(x^2 — 2x — 1)^2} = 0$$ $$-2x^2 — 2x = 0$$ $$-2x(x + 1) = 0$$ $$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = -1$$

(Точка $x = -1$ не принадлежит отрезку $[0; 2]$).

Критические точки:

$$x^2 — 2x — 1 = 0$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 4 = 4 + 4 = 8$$ $$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$$

(Точки $x = 1 \pm \sqrt{2}$ не принадлежат отрезку $[0; 2]$).

Значения функции:

$$y(0) = \frac{0^2}{0^2 — 2 \cdot 0 — 1} = \frac{0}{-1} = 0$$ $$y(2) = \frac{2^2}{2^2 — 2 \cdot 2 — 1} = \frac{4}{4 — 4 — 1} = \frac{4}{-1} = -4$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -4$; $y_{\text{max}} = 0$.

в) $y = (x + 4)(3x + 1)^2$ на отрезке $[-2; -\frac{1}{2}]$

Производная функции:

$$y’ = (x + 4)'(3x + 1)^2 + (x + 4)((3x + 1)^2)’$$ $$y’ = 1 \cdot (3x + 1)^2 + (x + 4) \cdot 3 \cdot 2(3x + 1)$$ $$y’ = (3x + 1)^2 + (6x + 24)(3x + 1)$$ $$y’ = (3x + 1)(3x + 1 + 6x + 24) = (3x + 1)(9x + 25)$$

Стационарные точки:

$$(3x + 1)(9x + 25) = 0$$ $$x_1 = -\frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = -\frac{25}{9} = -2\frac{7}{9}$$

(Точка $x = -\frac{25}{9}$ не принадлежит отрезку $[-2; -\frac{1}{2}]$).

Значения функции:

$$y(-2) = (-2 + 4)(-2 \cdot 3 + 1)^2 = 2 \cdot (-5)^2 = 2 \cdot 25 = 50$$ $$y\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2} + 4\right)\left(-\frac{1}{2} \cdot 3 + 1\right)^2 = 3.5 \cdot (0.5)^2 = 3.5 \cdot 0.25 = 0.875$$ $$y\left(-\frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3} + 4\right)\left(-\frac{1}{3} \cdot 3 + 1\right)^2 = \frac{11}{3} \cdot 0^2 = 0$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 0.875$; $y_{\text{max}} = 50$.

г) $y = \frac{5x^3}{x^2 — 9}$ на отрезке $[-1; 1]$

Производная функции:

$$y’ = \frac{(5x^3)'(x^2 — 9) — 5x^3(x^2 — 9)’}{(x^2 — 9)^2}$$ $$y’ = \frac{5 \cdot 3x^2(x^2 — 9) — 5x^3 \cdot 2x}{(x^2 — 9)^2}$$ $$y’ = \frac{15x^4 — 135x^2 — 10x^4}{(x^2 — 9)^2}$$ $$y’ = \frac{5x^4 — 135x^2}{(x^2 — 9)^2}$$

Стационарные точки:

$$\frac{5x^4 — 135x^2}{(x^2 — 9)^2} = 0$$ $$5x^4 — 135x^2 = 0$$ $$5x^2(x^2 — 27) = 0$$ $$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = \pm \sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3}$$

(Точки $x = \pm 3\sqrt{3}$ не принадлежат отрезку $[-1; 1]$).

Критические точки:

$$x^2 — 9 = 0$$ $$x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3$$

(Точки $x = \pm 3$ не принадлежат отрезку $[-1; 1]$).

Значения функции:

$$y(-1) = \frac{5(-1)^3}{(-1)^2 — 9} = \frac{-5}{1 — 9} = \frac{-5}{-8} = \frac{5}{8}$$ $$y(0) = \frac{5 \cdot 0^3}{0^2 — 9} = \frac{0}{-9} = 0$$ $$y(1) = \frac{5 \cdot 1^3}{1^2 — 9} = \frac{5}{1 — 9} = \frac{5}{-8} = -\frac{5}{8}$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -\frac{5}{8}$; $y_{\text{max}} = \frac{5}{8}$.

a) $y = (2x — 1)^2 (x — 2)$ на отрезке $[-1; 2]$

Шаг 1. Нахождение производной функции

Мы рассматриваем произведение двух функций: $f(x) = (2x — 1)^2$ и $g(x) = (x — 2)$. Для нахождения производной произведения используем правило производной произведения:

$$y’ = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$$

Найдем производные для $f(x)$ и $g(x)$:

1. $f(x) = (2x — 1)^2$, производная от $f(x)$:

   $$f'(x) = 2 \cdot 2(2x — 1) = 4(2x — 1)$$

2. $g(x) = (x — 2)$, производная от $g(x)$:

   $$g'(x) = 1$$

Теперь, подставляем в формулу для производной:

$$y’ = 4(2x — 1)(x — 2) + (2x — 1)^2$$

Шаг 2. Упрощение производной

Упростим выражение для $y’$:

$$y’ = (2x — 1)(4x — 8) + (2x — 1)^2$$

Раскроем скобки:

$$y’ = (2x — 1)(4x — 8) + (2x — 1)(2x — 1)$$

Теперь упростим каждую часть:

1. Первая часть:

   $$(2x — 1)(4x — 8) = (2x — 1)(4(x — 2)) = 4(2x — 1)(x — 2)$$

2. Вторая часть:

   $$(2x — 1)^2 = (2x — 1)(2x — 1) = 4x^2 — 4x + 1$$

Теперь соберем всё вместе:

$$y’ = (2x — 1)(4x — 8 + 2x — 1) = (2x — 1)(6x — 9)$$

Шаг 3. Нахождение стационарных точек

Чтобы найти стационарные точки, приравняем производную к нулю:

$$(2x — 1)(6x — 9) = 0$$

Это произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый из них:

1. $2x — 1 = 0$, откуда $x = \frac{1}{2}$.
2. $6x — 9 = 0$, откуда $x = \frac{9}{6} = 1,5$.

Таким образом, стационарные точки на отрезке $[-1; 2]$ — это $x_1 = 0,5$ и $x_2 = 1,5$.

Шаг 4. Нахождение значений функции в концах отрезка и в стационарных точках

Теперь вычислим значения функции $y = (2x — 1)^2 (x — 2)$ на концах отрезка и в стационарных точках.

При $x = -1$:

$$y(-1) = (-2 — 1)^2 (-1 — 2) = (-3)^2 (-3) = (-3)^3 = -27$$

При $x = 0,5$:

$$y(0,5) = (2 \cdot 0,5 — 1)^2 (0,5 — 2) = 0^2 \cdot (-1,5) = 0$$

При $x = 1,5$:

$$y(1,5) = (2 \cdot 1,5 — 1)^2 (1,5 — 2) = 2^2 \cdot (-0,5) = 4 \cdot (-0,5) = -2$$

При $x = 2$:

$$y(2) = (2 \cdot 2 — 1)^2 (2 — 2) = 3^2 \cdot 0 = 0$$

Шаг 5. Нахождение максимума и минимума функции

Из вычисленных значений функции видно, что:

• $y_{\text{min}} = -27$ (минимальное значение на отрезке);
• $y_{\text{max}} = 0$ (максимальное значение на отрезке).

Ответ: $y_{\text{min}} = -27$; $y_{\text{max}} = 0$.

б) $y = \frac{x^2}{x^2 — 2x — 1}$ на отрезке $[0; 2]$

Шаг 1. Нахождение производной функции

Используем правило дифференцирования дроби (правило Лейбница):

$$y’ = \frac{(x^2)'(x^2 — 2x — 1) — x^2(x^2 — 2x — 1)’}{(x^2 — 2x — 1)^2}$$

Найдем производные:

1. $(x^2)’ = 2x$,
2. $(x^2 — 2x — 1)’ = 2x — 2$.

Теперь подставим в формулу:

$$y’ = \frac{2x(x^2 — 2x — 1) — x^2(2x — 2)}{(x^2 — 2x — 1)^2}$$ $$y’ = \frac{2x^3 — 4x^2 — 2x — 2x^3 + 2x^2}{(x^2 — 2x — 1)^2}$$ $$y’ = \frac{-2x^2 — 2x}{(x^2 — 2x — 1)^2}$$

Шаг 2. Нахождение стационарных точек

Чтобы найти стационарные точки, приравняем производную к нулю:

$$\frac{-2x^2 — 2x}{(x^2 — 2x — 1)^2} = 0$$

Так как знаменатель не может быть равен нулю (это не определено), приравняем числитель к нулю:

$$-2x^2 — 2x = 0$$ $$-2x(x + 1) = 0$$

Таким образом, $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Точка $x = -1$ не лежит на отрезке $[0; 2]$, поэтому остаётся только $x = 0$.

Шаг 3. Критические точки

Найдём критические точки, решая уравнение $x^2 — 2x — 1 = 0$:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$$ $$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$$

Точки $x = 1 \pm \sqrt{2}$ не лежат на отрезке $[0; 2]$, так как $\sqrt{2} \approx 1.41$, а следовательно, значения $x = 1 + \sqrt{2} \approx 2.41$ и $x = 1 — \sqrt{2} \approx -0.41$ не принадлежат отрезку $[0; 2]$.

Шаг 4. Нахождение значений функции

Теперь вычислим значения функции на концах отрезка и в стационарной точке.

При $x = 0$:

$$y(0) = \frac{0^2}{0^2 — 2 \cdot 0 — 1} = \frac{0}{-1} = 0$$

При $x = 2$:

$$y(2) = \frac{2^2}{2^2 — 2 \cdot 2 — 1} = \frac{4}{4 — 4 — 1} = \frac{4}{-1} = -4$$

Шаг 5. Нахождение максимума и минимума функции

Из вычисленных значений функции видно, что:

• $y_{\text{min}} = -4$ (минимальное значение на отрезке);
• $y_{\text{max}} = 0$ (максимальное значение на отрезке).

Ответ: $y_{\text{min}} = -4$; $y_{\text{max}} = 0$.

в) $y = (x + 4)(3x + 1)^2$ на отрезке $[-2; -\frac{1}{2}]$

Шаг 1. Нахождение производной функции

Используем правило производной произведения:

$$y’ = (x + 4)'(3x + 1)^2 + (x + 4)((3x + 1)^2)’$$

1. $(x + 4)’ = 1$,
2. $((3x + 1)^2)’ = 2(3x + 1) \cdot 3 = 6(3x + 1)$.

Подставим в формулу:

$$y’ = 1 \cdot (3x + 1)^2 + (x + 4) \cdot 6(3x + 1)$$ $$y’ = (3x + 1)^2 + (6x + 24)(3x + 1)$$ $$y’ = (3x + 1)(3x + 1 + 6x + 24) = (3x + 1)(9x + 25)$$

Шаг 2. Нахождение стационарных точек

Приравняем производную к нулю:

$$(3x + 1)(9x + 25) = 0$$

Решим это уравнение:

1. $3x + 1 = 0$, откуда $x = -\frac{1}{3}$,
2. $9x + 25 = 0$, откуда $x = -\frac{25}{9} = -2\frac{7}{9}$.

Точка $x = -\frac{25}{9}$ не принадлежит отрезку $[-2; -\frac{1}{2}]$, поэтому остаётся только $x = -\frac{1}{3}$.

Шаг 3. Нахождение значений функции

Теперь вычислим значения функции на концах отрезка и в стационарной точке.

При $x = -2$:

$$y(-2) = (-2 + 4)(-2 \cdot 3 + 1)^2 = 2 \cdot (-5)^2 = 2 \cdot 25 = 50$$

При $x = -\frac{1}{2}$:

$$y\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2} + 4\right)\left(-\frac{1}{2} \cdot 3 + 1\right)^2 = 3.5 \cdot (0.5)^2 = 3.5 \cdot 0.25 = 0.875$$

При $x = -\frac{1}{3}$:

$$y\left(-\frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3} + 4\right)\left(-\frac{1}{3} \cdot 3 + 1\right)^2 = \frac{11}{3} \cdot 0^2 = 0$$

Шаг 4. Нахождение максимума и минимума функции

Из вычисленных значений функции видно, что:

• $y_{\text{min}} = 0.875$ (минимальное значение на отрезке);
• $y_{\text{max}} = 50$ (максимальное значение на отрезке).

Ответ: $y_{\text{min}} = 0.875$; $y_{\text{max}} = 50$.

г) $y = \frac{5x^3}{x^2 — 9}$ на отрезке $[-1; 1]$

Шаг 1. Нахождение производной функции

Мы применяем правило дифференцирования дроби, которое также известно как правило Лейбница:

$$y’ = \frac{(5x^3)'(x^2 — 9) — 5x^3(x^2 — 9)’}{(x^2 — 9)^2}$$

Теперь найдем производные для числителя и знаменателя:

1. Производная от $5x^3$ — это $15x^2$,
2. Производная от $x^2 — 9$ — это $2x$.

Подставляем эти производные в формулу:

$$y’ = \frac{15x^2(x^2 — 9) — 5x^3(2x)}{(x^2 — 9)^2}$$ $$y’ = \frac{15x^4 — 135x^2 — 10x^4}{(x^2 — 9)^2}$$ $$y’ = \frac{5x^4 — 135x^2}{(x^2 — 9)^2}$$

Шаг 2. Нахождение стационарных точек

Чтобы найти стационарные точки, приравняем производную к нулю:

$$\frac{5x^4 — 135x^2}{(x^2 — 9)^2} = 0$$

Так как знаменатель не может быть равен нулю (иначе функция не будет определена), приравняем числитель к нулю:

$$5x^4 — 135x^2 = 0$$ $$5x^2(x^2 — 27) = 0$$

Из этого уравнения получаем два случая:

1. $x^2 = 0$, откуда $x = 0$,
2. $x^2 = 27$, откуда $x = \pm \sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3}$.

Однако $x = \pm 3\sqrt{3}$ (приблизительно $x \approx \pm 5.2$) не лежит в пределах отрезка $[-1; 1]$. Таким образом, единственная стационарная точка на данном отрезке — это $x = 0$.

Шаг 3. Критические точки

Теперь рассмотрим критические точки, которые соответствуют значениям, когда знаменатель дроби $x^2 — 9$ равен нулю, то есть:

$$x^2 — 9 = 0$$

Решаем это уравнение:

$$x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3$$

Точки $x = \pm 3$ не принадлежат отрезку $[-1; 1]$, так как они лежат за его пределами.

Шаг 4. Нахождение значений функции

Теперь вычислим значения функции на концах отрезка и в стационарной точке.

При $x = -1$:

$$y(-1) = \frac{5(-1)^3}{(-1)^2 — 9} = \frac{-5}{1 — 9} = \frac{-5}{-8} = \frac{5}{8}$$

При $x = 0$:

$$y(0) = \frac{5 \cdot 0^3}{0^2 — 9} = \frac{0}{-9} = 0$$

При $x = 1$:

$$y(1) = \frac{5 \cdot 1^3}{1^2 — 9} = \frac{5}{1 — 9} = \frac{5}{-8} = -\frac{5}{8}$$

Шаг 5. Нахождение максимума и минимума функции

Из вычисленных значений функции видно, что:

• $y_{\text{min}} = -\frac{5}{8}$ (минимальное значение на отрезке);
• $y_{\text{max}} = \frac{5}{8}$ (максимальное значение на отрезке).

Ответ: $y_{\text{min}} = -\frac{5}{8}$; $y_{\text{max}} = \frac{5}{8}$.$y_{\text{max}} = \frac{5}{8}$