ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке:

а) $y = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 21$ на отрезке $[-3; 0]$;

б) $y = x^4 — 4x^3 + 6x^2 — 4x — 9$ на отрезке $[0; 4]$;

в) $y = 4x^3 — 21x^2 + 36x — 2$ на отрезке $[1; 2]$;

г) $y = 0,25x^4 — 2\frac{1}{3}x^3 + 3,5$ на отрезке $[-1; 2]$

а) $y = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 21$ на отрезке $[-3; 0]$;

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(x^4{)}^{\mathrm{\prime }}+8(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}+24(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}+(32x+21{)}^{\mathrm{\prime }}$$

$$y’ = (x^4)’ + 8(x^3)’ + 24(x^2)’ + (32x + 21)’$$ $$y’ = 4x^3 + 8 \cdot 3x^2 + 24 \cdot 2x + 32 = 4x^3 + 24x^2 + 48x + 32$$

Стационарные точки:

$$4x^3+24x^2+48x+32=0$$

$$4x^3 + 24x^2 + 48x + 32 = 0$$ $$x^3+6x^2+12x+8=0$$

$$x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = 0$$ $$(x+2{)}^3=0$$

$$(x + 2)^3 = 0$$ $$x + 2 = 0, \text{отсюда } x = -2$$

Значения функции:

$$y(-3)=(-3{)}^4+8(-3{)}^3+24(-3{)}^2+32(-3)+21=$$

$$=81-216+216-96+21=6$$

$$y(-3) = (-3)^4 + 8(-3)^3 + 24(-3)^2 + 32(-3) + 21 = 81 — 216 + 216 — 96 + 21 = 6$$ $$y(-2)=(-2{)}^4+8(-2{)}^3+24(-2{)}^2+32(-2)+21=$$

$$=16-64+96-64+21=5$$

$$y(-2) = (-2)^4 + 8(-2)^3 + 24(-2)^2 + 32(-2) + 21 = 16 — 64 + 96 — 64 + 21 = 5$$ $$y(0) = 0^4 + 8 \cdot 0^3 + 24 \cdot 0^2 + 32 \cdot 0 + 21 = 21$$

Ответ: $y_{\min} = 5$; $y_{\max} = 21$.

б) $y = x^4 — 4x^3 + 6x^2 — 4x — 9$ на отрезке $[0; 4]$;

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(x^4{)}^{\mathrm{\prime }}-4(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}+6(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(4x+9{)}^{\mathrm{\prime }}$$

$$y’ = (x^4)’ — 4(x^3)’ + 6(x^2)’ — (4x + 9)’$$ $$y’ = 4x^3 — 4 \cdot 3x^2 + 6 \cdot 2x — 4 = 4x^3 — 12x^2 + 12x — 4$$

Стационарные точки:

$$4x^3-12x^2+12x-4=0$$

$$4x^3 — 12x^2 + 12x — 4 = 0$$ $$x^3-3x^2+3x-1=0$$

$$x^3 — 3x^2 + 3x — 1 = 0$$ $$(x-1{)}^3=0$$

$$(x — 1)^3 = 0$$ $$x — 1 = 0, \text{отсюда } x = 1$$

Значения функции:

$$y(0)=0^4-4\cdot 0^3+6\cdot 0^2-4\cdot 0-9=-9$$

$$y(0) = 0^4 — 4 \cdot 0^3 + 6 \cdot 0^2 — 4 \cdot 0 — 9 = -9$$ $$y(1)=1^4-4\cdot 1^3+6\cdot 1^2-4\cdot 1-9=1-4+6-4-9=-10$$

$$y(1) = 1^4 — 4 \cdot 1^3 + 6 \cdot 1^2 — 4 \cdot 1 — 9 = 1 — 4 + 6 — 4 — 9 = -10$$ $$y(4) = 4^4 — 4 \cdot 4^3 + 6 \cdot 4^2 — 4 \cdot 4 — 9 = 256 — 256 + 96 — 16 — 9 = 71$$

Ответ: $y_{\min} = -10$; $y_{\max} = 71$.

в) $y = 4x^3 — 21x^2 + 36x — 2$ на отрезке $[1; 2]$;

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=4(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-21(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}+(36x-2{)}^{\mathrm{\prime }}$$

$$y’ = 4(x^3)’ — 21(x^2)’ + (36x — 2)’$$ $$y’ = 4 \cdot 3x^2 — 21 \cdot 2x + 36 = 12x^2 — 42x + 36$$

Стационарные точки:

$$12x^2-42x+36=0$$

$$12x^2 — 42x + 36 = 0$$ $$2x^2-7x+6=0$$

$$2x^2 — 7x + 6 = 0$$ $$D=7^2-4\cdot 2\cdot 6=49-48=1,\text{тогда:}$$

$$D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 — 48 = 1, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{7 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$$

Значения функции:

$$y(1)=4\cdot 1^3-21\cdot 1^2+36\cdot 1-2=4-21+36-2=17$$

$$y(1) = 4 \cdot 1^3 — 21 \cdot 1^2 + 36 \cdot 1 — 2 = 4 — 21 + 36 — 2 = 17$$ $$y\left(\frac{3}{2}\right)=4\cdot \frac{27}{8}-21\cdot \frac{9}{4}+36\cdot \frac{3}{2}-2=\frac{54-189+216-8}{4}=$$

$$=\frac{73}{4}=18,25$$

$$y\left(\frac{3}{2}\right) = 4 \cdot \frac{27}{8} — 21 \cdot \frac{9}{4} + 36 \cdot \frac{3}{2} — 2 = \frac{54 — 189 + 216 — 8}{4} = \frac{73}{4} = 18,25$$ $$y(2) = 4 \cdot 8 — 21 \cdot 4 + 36 \cdot 2 — 2 = 32 — 84 + 72 — 2 = 18$$

Ответ: $y_{\min} = 17$; $y_{\max} = 18,25$.

г) $y = 0,25x^4 — 2\frac{1}{3}x^3 + 3,5$ на отрезке $[-1; 2]$;

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=0,25(x^4{)}^{\mathrm{\prime }}-\frac{7}{3}(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}+(3,5{)}^{\mathrm{\prime }}$$

$$y’ = 0,25(x^4)’ — \frac{7}{3}(x^3)’ + (3,5)’$$ $$y’ = 0,25 \cdot 4x^3 — \frac{7}{3} \cdot 3x^2 + 0 = x^3 — 7x^2$$

Стационарные точки:

$$x^3-7x^2=0$$

$$x^3 — 7x^2 = 0$$ $$x^2(x-7)=0$$

$$x^2(x — 7) = 0$$ $$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 7$$

Значения функции:

$$y(-1)=0,25(-1{)}^4-2\frac{1}{3}(-1{)}^3+3,5=0,25+2\frac{1}{3}+3,5=$$

$$=3\frac{3}{4}+2\frac{1}{3}+3,5=\frac{45}{12}+\frac{28}{12}=\frac{73}{12}=6\frac{1}{12}$$

$$y(-1) = 0,25(-1)^4 — 2\frac{1}{3}(-1)^3 + 3,5 = 0,25 + 2\frac{1}{3} + 3,5 = 3\frac{3}{4} + 2\frac{1}{3} + 3,5 = \frac{45}{12} + \frac{28}{12} = \frac{73}{12} = 6\frac{1}{12}$$ $$y(0)=0,25\cdot 0^4-2\frac{1}{3}\cdot 0^3+3,5=3,5$$

$$y(0) = 0,25 \cdot 0^4 — 2\frac{1}{3} \cdot 0^3 + 3,5 = 3,5$$ $$y(2)=0,25\cdot 16-2\frac{1}{3}\cdot 8+3,5=7\frac{1}{2}-16\frac{8}{3}+3,5=\frac{45}{6}-\frac{112}{6}=$$

$$y(2) = 0,25 \cdot 16 — 2\frac{1}{3} \cdot 8 + 3,5 = 7\frac{1}{2} — 16\frac{8}{3} + 3,5 = \frac{45}{6} — \frac{112}{6} = -\frac{67}{6} = -11\frac{1}{6}$$

Ответ: $y_{\min} = -11\frac{1}{6}$; $y_{\max} = 6\frac{1}{12}$.

а) $y = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 21$ на отрезке $[-3; 0]$

1) Производная функции:

Нам нужно найти первую производную функции. Для этого применим стандартные правила дифференцирования для каждого слагаемого:

$$y = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 21$$

Дифференцируем по каждому слагаемому:

• $(x^4)’ = 4x^3$
• $(8x^3)’ = 8 \cdot 3x^2 = 24x^2$
• $(24x^2)’ = 24 \cdot 2x = 48x$
• $(32x)’ = 32$
• $(21)’ = 0$ (так как это постоянная)

Итак, производная функции будет:

$$y’ = 4x^3 + 24x^2 + 48x + 32$$

2) Стационарные точки:

Стационарные точки находятся из уравнения $y’ = 0$, то есть решаем:

$$4x^3 + 24x^2 + 48x + 32 = 0$$

Для упрощения можно разделить на 4:

$$x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = 0$$

Теперь попробуем найти корни этого кубического уравнения методом подбора. Проверим $x = -2$:

$$(-2)^3 + 6(-2)^2 + 12(-2) + 8 = -8 + 24 — 24 + 8 = 0$$

Таким образом, $x = -2$ является корнем. Теперь раскроем многочлен:

$$x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = (x + 2)(x^2 + 4x + 4)$$

Далее решим квадратное уравнение $x^2 + 4x + 4 = 0$:

$$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 = 0$$

Таким образом, $x = -2$ — это единственная стационарная точка.

3) Значения функции:

Теперь вычислим значения функции в точках $x = -3$, $x = -2$ и $x = 0$.

• Для $x = -3$:

$$y(-3) = (-3)^4 + 8(-3)^3 + 24(-3)^2 + 32(-3) + 21$$ $$= 81 — 216 + 216 — 96 + 21 = 6$$

• Для $x = -2$:

$$y(-2) = (-2)^4 + 8(-2)^3 + 24(-2)^2 + 32(-2) + 21$$ $$= 16 — 64 + 96 — 64 + 21 = 5$$

• Для $x = 0$:

$$y(0) = 0^4 + 8 \cdot 0^3 + 24 \cdot 0^2 + 32 \cdot 0 + 21 = 21$$

4) Ответ:

Из значений функции на отрезке $[-3; 0]$:

• $y_{\min} = 5$ (минимум в точке $x = -2$),
• $y_{\max} = 21$ (максимум в точке $x = 0$).

б) $y = x^4 — 4x^3 + 6x^2 — 4x — 9$ на отрезке $[0; 4]$

1) Производная функции:

Для функции:

$$y = x^4 — 4x^3 + 6x^2 — 4x — 9$$

Дифференцируем по каждому слагаемому:

• $(x^4)’ = 4x^3$
• $(-4x^3)’ = -4 \cdot 3x^2 = -12x^2$
• $(6x^2)’ = 6 \cdot 2x = 12x$
• $(-4x)’ = -4$
• $(-9)’ = 0$

Итак, производная будет:

$$y’ = 4x^3 — 12x^2 + 12x — 4$$

2) Стационарные точки:

Решаем уравнение $y’ = 0$:

$$4x^3 — 12x^2 + 12x — 4 = 0$$

Разделим на 4:

$$x^3 — 3x^2 + 3x — 1 = 0$$

Попробуем подставить $x = 1$:

$$1^3 — 3 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 — 1 = 1 — 3 + 3 — 1 = 0$$

Таким образом, $x = 1$ является корнем. Далее раскроем многочлен:

$$x^3 — 3x^2 + 3x — 1 = (x — 1)(x^2 — 2x + 1)$$

Решим квадратное уравнение $x^2 — 2x + 1 = 0$:

$$x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 = 0$$

Следовательно, $x = 1$ — единственная стационарная точка.

3) Значения функции:

Теперь вычислим значения функции в точках $x = 0$, $x = 1$ и $x = 4$.

• Для $x = 0$:

$$y(0) = 0^4 — 4 \cdot 0^3 + 6 \cdot 0^2 — 4 \cdot 0 — 9 = -9$$

• Для $x = 1$:

$$y(1) = 1^4 — 4 \cdot 1^3 + 6 \cdot 1^2 — 4 \cdot 1 — 9 = 1 — 4 + 6 — 4 — 9 = -10$$

• Для $x = 4$:

$$y(4) = 4^4 — 4 \cdot 4^3 + 6 \cdot 4^2 — 4 \cdot 4 — 9 = 256 — 256 + 96 — 16 — 9 = 71$$

4) Ответ:

Из значений функции на отрезке $[0; 4]$:

• $y_{\min} = -10$ (минимум в точке $x = 1$),
• $y_{\max} = 71$ (максимум в точке $x = 4$).

в) $y = 4x^3 — 21x^2 + 36x — 2$ на отрезке $[1; 2]$

1) Производная функции:

Для функции:

$$y = 4x^3 — 21x^2 + 36x — 2$$

Дифференцируем по каждому слагаемому:

• $(4x^3)’ = 12x^2$
• $(-21x^2)’ = -42x$
• $(36x)’ = 36$
• $(-2)’ = 0$

Итак, производная будет:

$$y’ = 12x^2 — 42x + 36$$

2) Стационарные точки:

Решаем уравнение $y’ = 0$:

$$12x^2 — 42x + 36 = 0$$

Разделим на 6:

$$2x^2 — 7x + 6 = 0$$

Для нахождения корней используем дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 — 48 = 1$$

Теперь найдем корни:

$$x_1 = \frac{7 — \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 — 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$ $$x_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

Таким образом, стационарные точки — это $x = \frac{3}{2}$ и $x = 2$.

3) Значения функции:

Теперь вычислим значения функции в точках $x = 1$, $x = \frac{3}{2}$ и $x = 2$.

• Для $x = 1$:

$$y(1) = 4 \cdot 1^3 — 21 \cdot 1^2 + 36 \cdot 1 — 2 = 4 — 21 + 36 — 2 = 17$$

• Для $x = \frac{3}{2}$:

$$y\left(\frac{3}{2}\right) = 4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^3 — 21 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 36 \cdot \frac{3}{2} — 2 = \frac{54}{8} — \frac{189}{4} + 54 — 2 = \frac{73}{4} = 18,25$$

• Для $x = 2$:

$$y(2) = 4 \cdot 2^3 — 21 \cdot 2^2 + 36 \cdot 2 — 2 = 32 — 84 + 72 — 2 = 18$$

4) Ответ:

Из значений функции на отрезке $[1; 2]$:

• $y_{\min} = 17$ (минимум в точке $x = 1$),
• $y_{\max} = 18,25$ (максимум в точке $x = \frac{3}{2}$).

г) $y = 0,25x^4 — 2\frac{1}{3}x^3 + 3,5$ на отрезке $[-1; 2]$

1) Производная функции:

Для функции:

$$y = 0,25x^4 — 2\frac{1}{3}x^3 + 3,5$$

Дифференцируем по каждому слагаемому:

• $(0,25x^4)’ = 0,25 \cdot 4x^3 = x^3$
• $(-2\frac{1}{3}x^3)’ = -\frac{7}{3} \cdot 3x^2 = -7x^2$
• $(3,5)’ = 0$

Итак, производная будет:

$$y’ = x^3 — 7x^2$$

2) Стационарные точки:

Решаем уравнение $y’ = 0$:

$$x^3 — 7x^2 = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$x^2(x — 7) = 0$$

Таким образом, $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.

Так как мы рассматриваем отрезок $[-1; 2]$, то $x = 7$ не является решением. Значит, единственная стационарная точка на отрезке — это $x = 0$.

3) Значения функции:

Теперь вычислим значения функции в точках $x = -1$, $x = 0$ и $x = 2$.

• Для $x = -1$:

$$y(-1) = 0,25(-1)^4 — 2\frac{1}{3}(-1)^3 + 3,5 = 0,25 + 2\frac{1}{3} + 3,5 = 6\frac{1}{12}$$

• Для $x = 0$:

$$y(0) = 0,25 \cdot 0^4 — 2\frac{1}{3} \cdot 0^3 + 3,5 = 3,5$$

• Для $x = 2$:

$$y(2) = 0,25 \cdot 2^4 — 2\frac{1}{3} \cdot 2^3 + 3,5 = 7\frac{1}{2} — 16\frac{8}{3} + 3,5 = -11\frac{1}{6}$$

4) Ответ:

Из значений функции на отрезке $[-1; 2]$:

• $y_{\min} = -11\frac{1}{6}$ (минимум в точке $x = 2$),
• $y_{\max} = 6\frac{1}{12}$ (максимум в точке $x = -1$).