ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке:

а) $y = x^2 — 5|x| + 6$ на отрезке $[0; 4]$;

б) $y = x^2 — 5|x| + 6$ на отрезке $[-5; 0]$;

в) $y = x^2 + 8|x| + 7$ на отрезке $[1; 5]$;

г) $y = x^2 + 8|x| + 7$ на отрезке $[-8; -2]$

а) $y = x^2 — 5|x| + 6$ на отрезке $[0; 4]$;

По определению модуля числа:

$$y = x^2 — 5x + 6, \text{ если } x \geq 0;$$ $$y’ = (x^2)’ — (5x — 6)’ = 2x — 5;$$

Стационарные точки:

$$2x — 5 = 0;$$ $$2x = 5, \text{ отсюда } x = \frac{5}{2};$$

Значения функции:

$$y(0) = 0^2 — 5 \cdot 0 + 6 = 6;$$ $$y\left(\frac{5}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}\right)^2 — 5 \cdot \frac{5}{2} + 6 = \frac{25 — 50 + 24}{4} = -\frac{1}{4};$$ $$y(4) = 4^2 — 5 \cdot 4 + 6 = 16 — 20 + 6 = 2;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -0,25; \ y_{\text{max}} = 6$.

б) $y = x^2 — 5|x| + 6$ на отрезке $[-5; 0]$;

По определению модуля числа:

$$y = x^2 + 5x + 6, \text{ если } x \leq 0;$$ $$y’ = (x^2)’ + (5x + 6)’ = 2x + 5;$$

Стационарные точки:

$$2x + 5 = 0;$$ $$2x = -5, \text{ отсюда } x = -\frac{5}{2};$$

Значения функции:

$$y(-5) = (-5)^2 + 5 \cdot (-5) + 6 = 25 — 25 + 6 = 6;$$ $$y\left(-\frac{5}{2}\right) = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 5 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) + 6 = \frac{25 — 50 + 24}{4} = -\frac{1}{4};$$ $$y(0) = 0^2 + 5 \cdot 0 + 6 = 6;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -0,25; \ y_{\text{max}} = 6$.

в) $y = x^2 + 8|x| + 7$ на отрезке $[1; 5]$;

По определению модуля числа:

$$y = x^2 + 8x + 7, \text{ если } x \geq 0;$$ $$y’ = (x^2)’ + (8x + 7)’ = 2x + 8;$$

Стационарные точки:

$$2x + 8 = 0;$$ $$2x = -8, \text{ отсюда } x = -4;$$

Значения функции:

$$y(1) = 1 + 8 \cdot 1 + 7 = 16;$$ $$y(5) = 5^2 + 8 \cdot 5 + 7 = 25 + 40 + 7 = 72;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 16; \ y_{\text{max}} = 72$.

г) $y = x^2 + 8|x| + 7$ на отрезке $[-8; -2]$;

По определению модуля числа:

$$y = x^2 — 8x + 7, \text{ если } x \leq 0;$$ $$y’ = (x^2)’ — (8x — 7)’ = 2x — 8;$$

Стационарные точки:

$$2x — 8 = 0;$$ $$2x = 8, \text{ отсюда } x = 4;$$

Значения функции:

$$y(-8) = (-8)^2 — 8 \cdot (-8) + 7 = 64 + 64 + 7 = 135;$$ $$y(-2) = (-2)^2 — 8 \cdot (-2) + 7 = 4 + 16 + 7 = 27;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 27; \ y_{\text{max}} = 135$.

а) $y = x^2 — 5|x| + 6$ на отрезке $[0; 4]$

Разбор функции на отрезке $[0; 4]$:

• На отрезке $[0; 4]$ $x \geq 0$, следовательно, $|x| = x$. Подставим это в исходную функцию:

$$y = x^2 — 5x + 6$$

Нахождение производной:

• Для нахождения производной функции $y(x) = x^2 — 5x + 6$ используем стандартные правила дифференцирования:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^2) — \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(6)$$

• Производные каждого из слагаемых:

  $$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x, \quad \frac{d}{dx}(5x) = 5, \quad \frac{d}{dx}(6) = 0$$

• Получаем:

$$y’ = 2x — 5$$

Нахождение стационарных точек:

• Стационарные точки — это такие значения $x$, при которых производная функции равна нулю:

$$2x — 5 = 0$$

• Решим это уравнение:

$$2x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{2}$$

Таким образом, стационарная точка находится при $x = \frac{5}{2}$.

Нахождение значений функции:

• Теперь нужно найти значения функции в точках, которые могут быть минимальными или максимальными на отрезке, а именно в точках $x = 0$, $x = \frac{5}{2}$ и $x = 4$.
• В точке $x = 0$:

  $$y(0) = 0^2 — 5 \cdot 0 + 6 = 6$$

• В точке $x = \frac{5}{2}$:

  $$y\left(\frac{5}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}\right)^2 — 5 \cdot \frac{5}{2} + 6 = \frac{25}{4} — \frac{25}{2} + 6$$

  • Приведем к общему знаменателю:

  $$\frac{25}{4} — \frac{50}{4} + \frac{24}{4} = \frac{25 — 50 + 24}{4} = \frac{-1}{4}$$

  Ответ: $y\left(\frac{5}{2}\right) = -\frac{1}{4}$

• В точке $x = 4$:

  $$y(4) = 4^2 — 5 \cdot 4 + 6 = 16 — 20 + 6 = 2$$

Вывод:

• Значения функции:

  $$y(0) = 6, \quad y\left(\frac{5}{2}\right) = -\frac{1}{4}, \quad y(4) = 2$$

• Минимальное значение функции на отрезке $y_{\text{min}} = -\frac{1}{4}$, максимальное $y_{\text{max}} = 6$.

Ответ: $y_{\text{min}} = -0,25; \ y_{\text{max}} = 6$.

б) $y = x^2 — 5|x| + 6$ на отрезке $[-5; 0]$

Разбор функции на отрезке $[-5; 0]$:

• На отрезке $[-5; 0]$ $x \leq 0$, следовательно, $|x| = -x$. Подставим это в исходную функцию:

$$y = x^2 + 5x + 6$$

Нахождение производной:

• Для функции $y(x) = x^2 + 5x + 6$ находим производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(6)$$

• Производные каждого из слагаемых:

  $$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x, \quad \frac{d}{dx}(5x) = 5, \quad \frac{d}{dx}(6) = 0$$

• Получаем:

$$y’ = 2x + 5$$

Нахождение стационарных точек:

• Для нахождения стационарных точек приравниваем производную к нулю:

$$2x + 5 = 0$$

• Решаем это уравнение:

$$2x = -5 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{5}{2}$$

Таким образом, стационарная точка находится при $x = -\frac{5}{2}$.

Нахождение значений функции:

• Теперь нужно найти значения функции в точках $x = -5$, $x = -\frac{5}{2}$ и $x = 0$.
• В точке $x = -5$:

  $$y(-5) = (-5)^2 + 5 \cdot (-5) + 6 = 25 — 25 + 6 = 6$$

• В точке $x = -\frac{5}{2}$:

  $$y\left(-\frac{5}{2}\right) = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 5 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) + 6 = \frac{25}{4} — \frac{25}{2} + 6$$

  • Приведем к общему знаменателю:

  $$\frac{25}{4} — \frac{50}{4} + \frac{24}{4} = \frac{25 — 50 + 24}{4} = \frac{-1}{4}$$

  Ответ: $y\left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{1}{4}$

• В точке $x = 0$:

  $$y(0) = 0^2 + 5 \cdot 0 + 6 = 6$$

Вывод:

• Значения функции:

  $$y(-5) = 6, \quad y\left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{1}{4}, \quad y(0) = 6$$

• Минимальное значение функции на отрезке $y_{\text{min}} = -\frac{1}{4}$, максимальное $y_{\text{max}} = 6$.

Ответ: $y_{\text{min}} = -0,25; \ y_{\text{max}} = 6$.

в) $y = x^2 + 8|x| + 7$ на отрезке $[1; 5]$

Разбор функции на отрезке $[1; 5]$:

• На отрезке $[1; 5]$ $x \geq 0$, следовательно, $|x| = x$. Подставим это в исходную функцию:

$$y = x^2 + 8x + 7$$

Нахождение производной:

• Для функции $y(x) = x^2 + 8x + 7$ находим производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(8x) + \frac{d}{dx}(7)$$

• Производные каждого из слагаемых:

  $$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x, \quad \frac{d}{dx}(8x) = 8, \quad \frac{d}{dx}(7) = 0$$

• Получаем:

$$y’ = 2x + 8$$

Нахождение стационарных точек:

• Для нахождения стационарных точек приравниваем производную к нулю:

$$2x + 8 = 0$$

• Решаем это уравнение:

$$2x = -8 \quad \Rightarrow \quad x = -4$$

Однако на отрезке $[1; 5]$ $x = -4$ не лежит, следовательно, на этом отрезке нет стационарных точек.

Нахождение значений функции:

• Теперь нужно найти значения функции в концах отрезка $x = 1$ и $x = 5$.
• В точке $x = 1$:

  $$y(1) = 1^2 + 8 \cdot 1 + 7 = 1 + 8 + 7 = 16$$

• В точке $x = 5$:

  $$y(5) = 5^2 + 8 \cdot 5 + 7 = 25 + 40 + 7 = 72$$

Вывод:

• Значения функции:

  $$y(1) = 16, \quad y(5) = 72$$

• Минимальное значение функции на отрезке $y_{\text{min}} = 16$, максимальное $y_{\text{max}} = 72$.

Ответ: $y_{\text{min}} = 16; \ y_{\text{max}} = 72$.

г) $y = x^2 + 8|x| + 7$ на отрезке $[-8; -2]$

Разбор функции на отрезке $[-8; -2]$:

• На отрезке $[-8; -2]$ $x \leq 0$, следовательно, $|x| = -x$. Подставим это в исходную функцию:

$$y = x^2 — 8x + 7$$

Нахождение производной:

• Для функции $y(x) = x^2 — 8x + 7$ находим производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^2) — \frac{d}{dx}(8x) + \frac{d}{dx}(7)$$

• Производные каждого из слагаемых:

  $$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x, \quad \frac{d}{dx}(8x) = 8, \quad \frac{d}{dx}(7) = 0$$

• Получаем:

$$y’ = 2x — 8$$

Нахождение стационарных точек:

• Для нахождения стационарных точек приравниваем производную к нулю:

$$2x — 8 = 0$$

• Решаем это уравнение:

$$2x = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 4$$

Однако на отрезке $[-8; -2]$ $x = 4$ не лежит, следовательно, на этом отрезке нет стационарных точек.

Нахождение значений функции:

• Теперь нужно найти значения функции в концах отрезка $x = -8$ и $x = -2$.
• В точке $x = -8$:

  $$y(-8) = (-8)^2 — 8 \cdot (-8) + 7 = 64 + 64 + 7 = 135$$

• В точке $x = -2$:

  $$y(-2) = (-2)^2 — 8 \cdot (-2) + 7 = 4 + 16 + 7 = 27$$

Вывод:

• Значения функции:

  $$y(-8) = 135, \quad y(-2) = 27$$

• Минимальное значение функции на отрезке $y_{\text{min}} = 27$, максимальное $y_{\text{max}} = 135$.

Ответ: $y_{\text{min}} = 27; \ y_{\text{max}} = 135$.

Итоговые ответы:

а) $y_{\text{min}} = -0,25; \ y_{\text{max}} = 6$

б) $y_{\text{min}} = -0,25; \ y_{\text{max}} = 6$

в) $y_{\text{min}} = 16; \ y_{\text{max}} = 72$

г) $y_{\text{min}} = 27; \ y_{\text{max}} = 135$