ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке:

a) $y = x^3 — 2x|x-2|$ на отрезке $[-1;3]$

б) $y = 3x|x+1| — x^3$ на отрезке $[-1;2]$

a) $y = x^3 — 2x|x-2|$ на отрезке $[-1; 3]$

По определению модуля числа:

$$y = \begin{cases} x^3 — 2x(x-2), & \text{если } x \geq 2, \\ x^3 + 2x(x-2), & \text{если } x < 2; \end{cases}$$

Стационарные и критические точки:

Первая функция:

$$y = x^3 — 2x^2 + 4x;$$ $$y’ = (x^3)’ — 2(x^2)’ + (4x)’;$$ $$y’ = 3x^2 — 2 \cdot 2x + 4 = 3x^2 — 4x + 4;$$ $$3x^2 — 4x + 4 = 0;$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16 — 48 = -32;$$ $$D < 0, \text{значит корней нет;}$$

Вторая функция:

$$y = x^3 + 2x^2 — 4x;$$ $$y’ = (x^3)’ + 2(x^2)’ — (4x)’;$$ $$y’ = 3x^2 + 2 \cdot 2x — 4 = 3x^2 + 4x — 4;$$ $$3x^2 + 4x — 4 = 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16 + 48 = 64, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-4 — 8}{2 \cdot 3} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3};$$

Точка излома: $x = 2$;

Значения функции:

$$y(-1) = -1 + (-2)(-1-2) = -1 + 2 + 4 = 5;$$ $$y\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} + \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{2}{3} — 2\right) = \frac{8}{27} + \frac{12}{9} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{8 — 48}{27} = -\frac{40}{27};$$ $$y(2) = 2^3 — 2 \cdot 2(2-2) = 8 — 4 \cdot 0 = 8;$$ $$y(3) = 3^3 — 2 \cdot 3(3-2) = 27 — 6 \cdot 1 = 21;$$

Ответ: $y_{\min} = -\frac{40}{27}; \, y_{\max} = 21$.

б) $y = 3x|x+1| — x^3$ на отрезке $[-1; 2]$

По определению модуля числа:

$$y = \begin{cases} 3x(x+1) — x^3, & \text{если } x \geq -1, \\ -3x(x+1) — x^3, & \text{если } x < -1; \end{cases}$$

Стационарные и критические точки:

Первая функция:

$$y = 3x^2 + 3x — x^3;$$ $$y’ = 3(x^2)’ + (3x)’ — (x^3)’;$$ $$y’ = 3 \cdot 2x + 3 — 3x^2 = 6x + 3 — 3x^2;$$ $$6x + 3 — 3x^2 = 0;$$ $$x^2 — 2x — 1 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 = 4 + 4 = 8, \text{тогда:}$$ $$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2};$$

Вторая функция:

$$y = -3x^2 — 3x — x^3;$$ $$y’ = -3(x^2)’ — (3x)’ — (x^3)’;$$ $$y’ = -3 \cdot 2x — 3 — 3x^2 = -6x — 3 — 3x^2;$$ $$-6x — 3 — 3x^2 = 0;$$ $$x^2 + 2x + 1 = 0;$$ $$(x+1)^2 = 0;$$ $$x + 1 = 0, \text{отсюда } x = -1;$$

Точка излома: $x = -1$;

Значения функции:

$$y(-1) = -3(-1+1) — (-1)^3 = -3 \cdot 0 + 1 = 1;$$ $$y(2) = 3 \cdot 2(2+1) — 2^3 = 6 \cdot 3 — 8 = 18 — 8 = 10;$$ $$y(1-\sqrt{2}) = (3 — 3\sqrt{2})(2 — \sqrt{2}) — (1 — \sqrt{2})^3 =$$ $$= 6 — 3\sqrt{2} — 6\sqrt{2} + 6 — 3 \cdot 2 — 1 + 3\sqrt{2} — 3 \cdot 2 + 2\sqrt{2} = 5 — 4\sqrt{2};$$

Ответ: $y_{\min} = 5 — 4\sqrt{2}; \, y_{\max} = 10$.

a) $y = x^3 — 2x|x-2|$ на отрезке $[-1; 3]$

По определению модуля числа:

Для начала разберем, как ведет себя функция в зависимости от значения $x$. Модуль можно раскрывать в зависимости от знака выражения внутри него.

Если $x \geq 2$, то $|x-2| = x-2$, и функция примет вид:

$$y = x^3 — 2x(x-2) = x^3 — 2x^2 + 4x$$

Если $x < 2$, то $|x-2| = -(x-2) = 2 — x$, и функция примет вид:

$$y = x^3 + 2x(x-2) = x^3 + 2x^2 — 4x$$

Теперь мы получаем две функции, которые действуют на различных промежутках:

Для $x \geq 2$, $y = x^3 — 2x^2 + 4x$

Для $x < 2$, $y = x^3 + 2x^2 — 4x$

Стационарные и критические точки:

Нам нужно найти критические точки (где производная равна нулю или не существует), а также проверить на точки излома.

Первая функция: $y = x^3 — 2x^2 + 4x$ для $x \geq 2$

Находим производную этой функции:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^3) — \frac{d}{dx}(2x^2) + \frac{d}{dx}(4x) = 3x^2 — 4x + 4$$

Решим уравнение $y’ = 0$:

$$3x^2 — 4x + 4 = 0$$

Для нахождения корней используем дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16 — 48 = -32$$

Поскольку дискриминант отрицателен, у этого уравнения нет действительных корней. Следовательно, на интервале $x \geq 2$ нет стационарных точек.

Вторая функция: $y = x^3 + 2x^2 — 4x$ для $x < 2$

Находим производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(2x^2) — \frac{d}{dx}(4x) = 3x^2 + 4x — 4$$

Решаем уравнение $y’ = 0$:

$$3x^2 + 4x — 4 = 0$$

Для нахождения корней находим дискриминант:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-4 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$$ $$x_2 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Таким образом, стационарные точки на отрезке $x < 2$ — это $x = -2$ и $x = \frac{2}{3}$.

Точка излома:
Точка излома возникает в $x = 2$, так как на этом значении функция меняет вид (переходит от первой функции ко второй).

Значения функции:

Теперь нужно вычислить значения функции в критических точках, а также на концах отрезка:

Для $x = -1$ (левая граница отрезка):

$$y(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 — 4(-1) = -1 + 2 + 4 = 5$$

Для $x = \frac{2}{3}$ (статичный критический момент):

$$y\left( \frac{2}{3} \right) = \left( \frac{2}{3} \right)^3 + 2 \left( \frac{2}{3} \right)^2 — 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27} + \frac{8}{9} — \frac{8}{3}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$y\left( \frac{2}{3} \right) = \frac{8}{27} + \frac{24}{27} — \frac{72}{27} = \frac{8 + 24 — 72}{27} = \frac{-40}{27}$$

Для $x = 2$ (точка излома):

$$y(2) = 2^3 — 2 \cdot 2(2 — 2) = 8 — 4 \cdot 0 = 8$$

Для $x = 3$ (правая граница отрезка):

$$y(3) = 3^3 — 2 \cdot 3(3 — 2) = 27 — 6 \cdot 1 = 27 — 6 = 21$$

Вывод:

Значения функции:

$$y(-1) = 5, \quad y\left( \frac{2}{3} \right) = -\frac{40}{27}, \quad y(2) = 8, \quad y(3) = 21$$

Минимальное значение $y_{\min} = -\frac{40}{27}$, максимальное значение $y_{\max} = 21$.

Ответ: $y_{\min} = -\frac{40}{27}; \, y_{\max} = 21$

б) $y = 3x|x+1| — x^3$ на отрезке $[-1; 2]$

По определению модуля числа:

Для раскрытия модуля снова будем различать два случая:

Если $x \geq -1$, то $|x+1| = x+1$, и функция принимает вид:

$$y = 3x(x+1) — x^3 = 3x^2 + 3x — x^3$$

Если $x < -1$, то $|x+1| = -(x+1) = -x-1$, и функция принимает вид:

$$y = -3x(x+1) — x^3 = -3x^2 — 3x — x^3$$

Стационарные и критические точки:

Первая функция: $y = 3x^2 + 3x — x^3$ для $x \geq -1$

Находим производную:

$$y’ = 6x + 3 — 3x^2$$

Решаем уравнение $y’ = 0$:

$$6x + 3 — 3x^2 = 0$$

Преобразуем уравнение:

$$3x^2 — 6x — 3 = 0$$

Делим на 3:

$$x^2 — 2x — 1 = 0$$

Решаем это уравнение с использованием дискриминанта:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$$

Корни:

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$$

Таким образом, стационарные точки: $x = 1 + \sqrt{2}$ и $x = 1 — \sqrt{2}$.

Вторая функция: $y = -3x^2 — 3x — x^3$ для $x < -1$

Находим производную:

$$y’ = -6x — 3 — 3x^2$$

Решаем уравнение $y’ = 0$:

$$-6x — 3 — 3x^2 = 0$$

Преобразуем уравнение:

$$3x^2 + 6x + 3 = 0$$

Делим на 3:

$$x^2 + 2x + 1 = 0$$

Это уравнение имеет один корень:

$$(x + 1)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1$$

Точка излома: $x = -1$.

Значения функции:

Теперь находим значения функции на концах отрезка и в стационарных точках:

Для $x = -1$:

$$y(-1) = -3(-1+1) — (-1)^3 = 0 + 1 = 1$$

Для $x = 2$:

$$y(2) = 3 \cdot 2(2 + 1) — 2^3 = 3 \cdot 6 — 8 = 18 — 8 = 10$$

Для $x = 1 — \sqrt{2}$ и $x = 1 + \sqrt{2}$ (вычисления приведены, но для краткости их тут не будем полностью раскрывать). Результат для этих значений:

$$y_{\min} = 5 — 4\sqrt{2}$$

Вывод:

Значения функции:

$$y(-1) = 1, \quad y(2) = 10, \quad y_{\min} = 5 — 4\sqrt{2}$$

Минимальное значение $y_{\min} = 5 — 4\sqrt{2}$, максимальное значение $y_{\max} = 10$.

Ответ: $y_{\min} = 5 — 4\sqrt{2}; \, y_{\max} = 10$