ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке без помощи производной:

а) $y = (x — 1)^3 + 4$ на отрезке $[-2; 1]$;

б) $y = 7 — (2x — 8)^4$ на отрезке $[-1; 3]$;

в) $y = 5 — (3x + 6)$ на отрезке $[-2; 0]$;

г) $y = 2(x + 3)^6 — 4$ на отрезке $[-1; 2]$

а) $y = (x — 1)^3 + 4$ на отрезке $[-2; 1]$;

$$-2 \leq x \leq 1;$$ $$-3 \leq x — 1 \leq 0;$$ $$-27 \leq (x — 1)^3 \leq 0;$$ $$-23 \leq (x — 1)^3 + 4 \leq 4;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -23$; $y_{\text{max}} = 4$.

б) $y = 7 — (2x — 8)^4$ на отрезке $[-1; 3]$;

$$-1 \leq x \leq 3;$$ $$-2 \leq 2x \leq 6;$$ $$-10 \leq 2x — 8 \leq -2;$$ $$16 \leq (2x — 8)^4 \leq 10\,000;$$ $$-9993 \leq 7 — (2x — 8)^4 \leq -9;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -9993$; $y_{\text{max}} = -9$.

в) $y = 5 — (3x + 6)$ на отрезке $[-2; 0]$;

$$-2 \leq x \leq 0;$$ $$-6 \leq 3x \leq 0;$$ $$0 \leq 3x + 6 \leq 6;$$ $$-1 \leq 3x + 6 \leq 5;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -1$; $y_{\text{max}} = 5$.

г) $y = 2(x + 3)^6 — 4$ на отрезке $[-1; 2]$;

$$-1 \leq x \leq 2;$$ $$2 \leq x + 3 \leq 5;$$ $$64 \leq (x + 3)^6 \leq 15\,625;$$ $$128 \leq 2(x + 3)^6 \leq 31\,250;$$ $$124 \leq 2(x + 3)^6 — 4 \leq 31\,246;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 124$; $y_{\text{max}} = 31\,246$.

а) $y = (x — 1)^3 + 4$ на отрезке $[-2; 1]$:

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = (x — 1)^3 + 4$ на отрезке $[-2; 1]$.

Определим область значений функции $y = (x — 1)^3 + 4$ на отрезке $[-2; 1]$.

• Мы видим, что функция $(x — 1)^3$ представляет собой кубическую функцию, а значит, её график имеет характерный вид (монотонный и с переходом через ноль).
• Кубическая функция монотонно возрастает на всей области, так как её производная $f'(x) = 3(x — 1)^2$ всегда положительна для всех $x \neq 1$.
• Таким образом, на отрезке $[-2; 1]$ значения функции $(x — 1)^3$ будут изменяться от минимального значения на левом конце отрезка до максимального значения на правом конце.

Найдем пределы значений для $(x — 1)^3$:

• Когда $x = -2$, то $(x — 1) = -2 — 1 = -3$, и $(x — 1)^3 = (-3)^3 = -27$.
• Когда $x = 1$, то $(x — 1) = 1 — 1 = 0$, и $(x — 1)^3 = 0^3 = 0$.

Теперь вычислим значение функции $y = (x — 1)^3 + 4$:

• Когда $x = -2$, то $y = (-27) + 4 = -23$.
• Когда $x = 1$, то $y = 0 + 4 = 4$.

Проверим, на каком промежутке функция принимает минимальные и максимальные значения:

• Так как кубическая функция монотонно возрастает, минимальное значение $y$ будет на $x = -2$, а максимальное — на $x = 1$.

Ответ: $y_{\text{min}} = -23$; $y_{\text{max}} = 4$.

б) $y = 7 — (2x — 8)^4$ на отрезке $[-1; 3]$:

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = 7 — (2x — 8)^4$ на отрезке $[-1; 3]$.

Определим область значений функции $y = 7 — (2x — 8)^4$ на отрезке $[-1; 3]$.

• В этом случае функция имеет степень 4, которая всегда неотрицательна для всех $x$, так как $(2x — 8)^4$ — это четная степень.
• Это означает, что $(2x — 8)^4$ всегда неотрицательна на отрезке и минимальное значение этой функции будет при $2x — 8 = 0$ (то есть, когда $x = 4$). Однако, в пределах отрезка $[-1; 3]$ значение $2x — 8$ будет изменяться от отрицательных значений.

Найдем пределы значений для $2x — 8$:

• Когда $x = -1$, то $2x — 8 = 2(-1) — 8 = -10$.
• Когда $x = 3$, то $2x — 8 = 2(3) — 8 = -2$.

Теперь вычислим пределы для $(2x — 8)^4$:

• Когда $x = -1$, то $(2x — 8)^4 = (-10)^4 = 10,000$.
• Когда $x = 3$, то $(2x — 8)^4 = (-2)^4 = 16$.

Теперь вычислим значение функции $y = 7 — (2x — 8)^4$:

• Когда $x = -1$, то $y = 7 — 10,000 = -9993$.
• Когда $x = 3$, то $y = 7 — 16 = -9$.

Проверим, на каком промежутке функция принимает минимальные и максимальные значения:

• Значение $(2x — 8)^4$ возрастает с $x = -1$ до $x = 3$, а функция $y = 7 — (2x — 8)^4$ монотонно убывает.
• Следовательно, минимальное значение функции будет при $x = -1$, а максимальное — при $x = 3$.

Ответ: $y_{\text{min}} = -9993$; $y_{\text{max}} = -9$.

в) $y = 5 — (3x + 6)$ на отрезке $[-2; 0]$:

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = 5 — (3x + 6)$ на отрезке $[-2; 0]$.

Определим область значений функции $y = 5 — (3x + 6)$ на отрезке $[-2; 0]$.

• Функция $y = 5 — (3x + 6)$ представляет собой линейную функцию, которая монотонно убывает на отрезке $[-2; 0]$, так как коэффициент перед $x$ отрицателен ($-3x$).
• Следовательно, значение функции будет уменьшаться на отрезке $[-2; 0]$.

Найдем пределы значений для $3x + 6$:

• Когда $x = -2$, то $3x + 6 = 3(-2) + 6 = 0$.
• Когда $x = 0$, то $3x + 6 = 3(0) + 6 = 6$.

Теперь вычислим значение функции $y = 5 — (3x + 6)$:

• Когда $x = -2$, то $y = 5 — 0 = 5$.
• Когда $x = 0$, то $y = 5 — 6 = -1$.

Проверим, на каком промежутке функция принимает минимальные и максимальные значения:

• Так как линейная функция монотонно убывает, минимальное значение $y$ будет при $x = 0$, а максимальное — при $x = -2$.

Ответ: $y_{\text{min}} = -1$; $y_{\text{max}} = 5$.

г) $y = 2(x + 3)^6 — 4$ на отрезке $[-1; 2]$:

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = 2(x + 3)^6 — 4$ на отрезке $[-1; 2]$.

Определим область значений функции $y = 2(x + 3)^6 — 4$ на отрезке $[-1; 2]$.

• Функция $(x + 3)^6$ представляет собой степень с чётным показателем, и эта функция всегда неотрицательна.
• Функция монотонно возрастает на отрезке $[-1; 2]$, так как $(x + 3)^6$ монотонно возрастает.

Найдем пределы значений для $(x + 3)^6$:

• Когда $x = -1$, то $x + 3 = -1 + 3 = 2$, и $(x + 3)^6 = 2^6 = 64$.
• Когда $x = 2$, то $x + 3 = 2 + 3 = 5$, и $(x + 3)^6 = 5^6 = 15,625$.

Теперь вычислим значение функции $y = 2(x + 3)^6 — 4$:

• Когда $x = -1$, то $y = 2(64) — 4 = 128 — 4 = 124$.
• Когда $x = 2$, то $y = 2(15,625) — 4 = 31,250 — 4 = 31,246$.

Проверим, на каком промежутке функция принимает минимальные и максимальные значения:

• Так как функция монотонно возрастает на отрезке, минимальное значение будет при $x = -1$, а максимальное — при $x = 2$.

Ответ: $y_{\text{min}} = 124$; $y_{\text{max}} = 31,246$.

Ответы для всех пунктов:

а) $y_{\text{min}} = -23$; $y_{\text{max}} = 4$.

б) $y_{\text{min}} = -9993$; $y_{\text{max}} = -9$.

в) $y_{\text{min}} = -1$; $y_{\text{max}} = 5$.

г) $y_{\text{min}} = 124$; $y_{\text{max}} = 31,246$.