ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке:

a) $y = x^2 — 4x + 5 + |1 — x|$ на отрезке $[0;4]$

б) $y = |x^3 — 1| — 3x$ на отрезке $[-1;3]$

a) $y = x^2 — 4x + 5 + |1 — x|$ на отрезке $[0; 4]$

По определению модуля числа:

$$y = \begin{cases} x^2 — 4x + 5 + 1 — x, & \text{если } x \leq 1, \\ x^2 — 4x + 5 — 1 + x, & \text{если } x > 1. \end{cases}$$

Стационарные и критические точки:

Первая функция:

$$y = x^2 — 5x + 6;$$ $$y’ = (x^2)’ — (5x — 6)’ = 2x — 5;$$ $$2x — 5 = 0;$$ $$2x = 5, \quad \text{отсюда } x = \frac{5}{2};$$

Вторая функция:

$$y = x^2 — 3x + 4;$$ $$y’ = (x^2)’ — (3x — 4)’ = 2x — 3;$$ $$2x — 3 = 0;$$ $$2x = 3, \quad \text{отсюда } x = \frac{3}{2};$$

Точка излома: $x = 1$;

Значения функции:

$$y(0) = 0^2 — 5 \cdot 0 + 6 = 6;$$ $$y(1) = 1^2 — 5 \cdot 1 + 6 = 1 — 5 + 6 = 2;$$ $$y\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 — 3 \cdot \frac{3}{2} + 4 = \frac{9}{4} — \frac{9}{2} + 4 = \frac{9 — 18 + 16}{4} = \frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4};$$ $$y(4) = 4^2 — 3 \cdot 4 + 4 = 16 — 12 + 4 = 8;$$

Ответ: $y_{\min} = 1 \frac{3}{4}; \, y_{\max} = 8$.

б) $y = |x^3 — 1| — 3x$ на отрезке $[-1; 3]$

По определению модуля числа:

$$y = \begin{cases} x^3 — 1 — 3x, & \text{если } x \geq 1, \\ 1 — x^3 — 3x, & \text{если } x < 1. \end{cases}$$

Стационарные и критические точки:

Первая функция:

$$y’ = (x^3)’ — (1 + 3x)’ = 3x^2 — 3;$$ $$3x^2 — 3 = 0;$$ $$x^2 — 1 = 0;$$ $$x^2 = 1, \quad \text{отсюда } x = \pm 1;$$

Вторая функция:

$$y’ = (1 — 3x)’ — (x^3)’ = -3 — 3x^2;$$ $$-3 — 3x^2 = 0;$$ $$1 + x^2 = 0;$$ $$x^2 = -1 \quad \text{— корней нет};$$

Точка излома: $x = 1$;

Значения функции:

$$y(-1) = 1 — (-1)^3 — 3 \cdot (-1) = 1 + 1 + 3 = 5;$$ $$y(1) = 1^3 — 1 — 3 \cdot 1 = 1 — 1 — 3 = -3;$$ $$y(3) = 3^3 — 1 — 3 \cdot 3 = 27 — 1 — 9 = 17;$$

Ответ: $y_{\min} = -3; \, y_{\max} = 17$.

a) $y = x^2 — 4x + 5 + |1 — x|$ на отрезке $[0; 4]$

По определению модуля числа:
Чтобы работать с функцией, которая включает модуль, необходимо рассматривать два случая:

• Если $x \leq 1$, то $|1 — x| = 1 — x$, потому что для $x \leq 1$ выражение $1 — x \geq 0$.
  Таким образом, для $x \leq 1$ функция будет:

  $$y = x^2 — 4x + 5 + 1 — x = x^2 — 5x + 6$$

• Если $x > 1$, то $|1 — x| = x — 1$, так как для $x > 1$ выражение $1 — x < 0$ и модуль будет равен $x — 1$.
  Таким образом, для $x > 1$ функция будет:

  $$y = x^2 — 4x + 5 — 1 + x = x^2 — 3x + 4$$

Итак, функция $y$ имеет вид:

$$y = \begin{cases} x^2 — 5x + 6, & \text{если } x \leq 1, \\ x^2 — 3x + 4, & \text{если } x > 1. \end{cases}$$

Нахождение стационарных и критических точек:

Теперь мы будем находить производные и стационарные точки для обеих частей функции.

Первая функция: $y = x^2 — 5x + 6$ для $x \leq 1$

Находим производную этой функции:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^2) — \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(6) = 2x — 5$$

Чтобы найти стационарные точки, приравняем производную к нулю:

$$2x — 5 = 0$$

Решим это уравнение:

$$2x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{2}$$

Однако на отрезке $[0; 1]$ точка $x = \frac{5}{2}$ не лежит, следовательно, на этом интервале нет стационарных точек.

Вторая функция: $y = x^2 — 3x + 4$ для $x > 1$

Находим производную этой функции:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^2) — \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(4) = 2x — 3$$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$$2x — 3 = 0$$

Решим это уравнение:

$$2x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2}$$

Точка $x = \frac{3}{2}$ лежит в интервале $(1, 4]$, поэтому это стационарная точка на этом отрезке.

Точка излома:
Модуль изменяет свою форму в точке $x = 1$, следовательно, это точка излома.

Нахождение значений функции:

Теперь нам нужно найти значения функции в критических точках и на концах отрезка.

• В точке $x = 0$:

  $$y(0) = 0^2 — 5 \cdot 0 + 6 = 6$$

• В точке $x = 1$:

  $$y(1) = 1^2 — 5 \cdot 1 + 6 = 1 — 5 + 6 = 2$$

• В точке $x = \frac{3}{2}$ (стационарная точка):

  $$y\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 — 3 \cdot \frac{3}{2} + 4 = \frac{9}{4} — \frac{9}{2} + 4 = \frac{9 — 18 + 16}{4} = \frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4}$$

• В точке $x = 4$:

  $$y(4) = 4^2 — 3 \cdot 4 + 4 = 16 — 12 + 4 = 8$$

Вывод:

Мы нашли значения функции в точках:

$$y(0) = 6, \quad y(1) = 2, \quad y\left(\frac{3}{2}\right) = 1 \frac{3}{4}, \quad y(4) = 8$$

Таким образом, минимальное значение функции на отрезке $y_{\min} = 1 \frac{3}{4}$, максимальное значение $y_{\max} = 8$.

Ответ: $y_{\min} = 1 \frac{3}{4}; \, y_{\max} = 8$

б) $y = |x^3 — 1| — 3x$ на отрезке $[-1; 3]$

По определению модуля числа:
Для функции с модулем раскрываем его в зависимости от значения выражения $x^3 — 1$:

• Если $x^3 — 1 \geq 0$, то $|x^3 — 1| = x^3 — 1$.
  Это условие выполняется, когда $x \geq 1$, поскольку $x^3 — 1 \geq 0$ для $x \geq 1$.
• Если $x^3 — 1 < 0$, то $|x^3 — 1| = -(x^3 — 1) = 1 — x^3$.
  Это условие выполняется для $x < 1$.

Таким образом, функция будет:

$$y = \begin{cases} x^3 — 1 — 3x, & \text{если } x \geq 1, \\ 1 — x^3 — 3x, & \text{если } x < 1. \end{cases}$$

Нахождение стационарных и критических точек:

Первая функция: $y = x^3 — 1 — 3x$ для $x \geq 1$

Находим производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^3) — \frac{d}{dx}(1) — \frac{d}{dx}(3x) = 3x^2 — 3$$

Приравняем производную к нулю:

$$3x^2 — 3 = 0$$

Решим это уравнение:

$$x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1$$

Из этого видно, что на интервале $x \geq 1$ стационарная точка — это $x = 1$.

Вторая функция: $y = 1 — x^3 — 3x$ для $x < 1$

Находим производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}(1) — \frac{d}{dx}(x^3) — \frac{d}{dx}(3x) = -3x^2 — 3$$

Приравняем производную к нулю:

$$-3x^2 — 3 = 0$$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2 = -1$ не имеет решений в действительных числах.

Точка излома:
Точка излома возникает в $x = 1$, так как модуль меняет свой вид при переходе через эту точку.

Значения функции:

Теперь нужно найти значения функции в критических точках и на концах отрезка.

• В точке $x = -1$:

  $$y(-1) = 1 — (-1)^3 — 3 \cdot (-1) = 1 + 1 + 3 = 5$$

• В точке $x = 1$ (точка излома):

  $$y(1) = 1^3 — 1 — 3 \cdot 1 = 1 — 1 — 3 = -3$$

• В точке $x = 3$:

  $$y(3) = 3^3 — 1 — 3 \cdot 3 = 27 — 1 — 9 = 17$$

Вывод:

Мы нашли значения функции в точках:

$$y(-1) = 5, \quad y(1) = -3, \quad y(3) = 17$$

Минимальное значение функции $y_{\min} = -3$, максимальное значение $y_{\max} = 17$.

Ответ: $y_{\min} = -3; \, y_{\max} = 17$

Итоговые ответы:

а) $y_{\min} = 1 \frac{3}{4}; \, y_{\max} = 8$

б) $y_{\min} = -3; \, y_{\max} = 17$