ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке:

a) $y = \sin^3 x + \cos^3 x$ на отрезке $[0;\frac{\pi }{2}]$

б) $y = \sin^5 x — \cos^5 x$ на отрезке $[-\frac{\pi }{2};0]$

a) $y = \sin^3 x + \cos^3 x$ на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$

Производная функции:

$$y’ = (\sin^3 x)’ + (\cos^3 x)’$$ $$y’ = 3 \cdot \cos x \cdot \sin^2 x — 3 \cdot \sin x \cdot \cos^2 x$$ $$y’ = 3 \cdot \sin x \cdot \cos x \cdot (\sin x — \cos x)$$ $$y’ = \frac{3}{2} \sin 2x \cdot (\sin x — \cos x) = 0$$

Первая стационарная точка:

$$\frac{3}{2} \sin 2x = 0$$ $$\sin 2x = 0$$ $$2x = \arcsin 0 + \pi n = 0 + \pi n, \quad \text{отсюда } x = \frac{\pi n}{2}$$

Вторая стационарная точка:

$$\sin x — \cos x = 0 \quad | : \cos x$$ $$\operatorname{tg} x — 1 = 0$$ $$\operatorname{tg} x = 1$$ $$x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Значения функции:

$$y(0) = \sin^3 0 + \cos^3 0 = 0^3 + 1^3 = 1$$ $$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin^3 \frac{\pi}{4} + \cos^3 \frac{\pi}{4} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \frac{2\sqrt{2}}{8} + \frac{2\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin^3 \frac{\pi}{2} + \cos^3 \frac{\pi}{2} = 1^3 + 0^3 = 1$$

Ответ: $y_{\min} = \frac{\sqrt{2}}{2}$; $y_{\max} = 1$.

б) $y = \sin^5 x — \cos^5 x$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$

Производная функции:

$$y’ = (\sin^5 x)’ — (\cos^5 x)’$$ $$y’ = 5 \cdot \cos x \cdot \sin^4 x + 5 \cdot \sin x \cdot \cos^4 x$$ $$y’ = 5 \cdot \sin x \cdot \cos x \cdot (\sin^3 x + \cos^3 x)$$ $$y’ = \frac{5}{2} \sin 2x \cdot (\sin^3 x + \cos^3 x) = 0$$

Первая стационарная точка:

$$\frac{5}{2} \sin 2x = 0$$ $$\sin 2x = 0$$ $$2x = \arcsin 0 + \pi n = 0 + \pi n, \quad \text{отсюда } x = \frac{\pi n}{2}$$

Вторая стационарная точка:

$$\sin^3 x + \cos^3 x = 0 \quad | : \cos^3 x$$ $$\operatorname{tg}^3 x + 1 = 0$$ $$\operatorname{tg} x = -1$$ $$x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Значения функции:

$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \sin^5 \left(-\frac{\pi}{2}\right) — \cos^5 \left(-\frac{\pi}{2}\right) = (-1)^5 — 0^5 = -1$$ $$y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \sin^5 \left(-\frac{\pi}{4}\right) — \cos^5 \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^5 — \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^5 = \frac{-4\sqrt{2} \cdot 2}{32} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$$ $$y(0) = \sin^5 0 — \cos^5 0 = 0^5 — 1^5 = -1$$

Ответ: $y_{\min} = -1$; $y_{\max} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

а) $y = \sin^3 x + \cos^3 x$ на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$

Производная функции:

Для начала мы вычислим производную функции $y = \sin^3 x + \cos^3 x$. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования степенных функций и правилами дифференцирования сложных функций (цепное правило).

$$y = \sin^3 x + \cos^3 x$$

Для того чтобы вычислить производную, нужно дифференцировать каждое слагаемое. Используем формулу для производной степени функции $(u(x))^n$:

$$\frac{d}{dx}(u^3) = 3u^2 \cdot \frac{du}{dx}$$

Применим это правило к каждому слагаемому:

Производная $\sin^3 x$:

$$\frac{d}{dx} (\sin^3 x) = 3 \cdot \sin^2 x \cdot \cos x$$

Производная $\cos^3 x$:

$$\frac{d}{dx} (\cos^3 x) = 3 \cdot \cos^2 x \cdot (-\sin x)$$

Теперь комбинируем их:

$$y’ = 3 \cdot \sin^2 x \cdot \cos x — 3 \cdot \cos^2 x \cdot \sin x$$ $$y’ = 3 \cdot \sin x \cdot \cos x \cdot (\sin x — \cos x)$$

Итак, мы получили производную функции:

$$y’ = 3 \cdot \sin x \cdot \cos x \cdot (\sin x — \cos x)$$

Нахождение стационарных точек:

Стационарные точки находятся, когда производная равна нулю, то есть:

$$y’ = 0$$

Это означает, что:

$$3 \cdot \sin x \cdot \cos x \cdot (\sin x — \cos x) = 0$$

Мы можем решить это уравнение, используя нулевые множители.

$\sin x = 0$ или $\cos x = 0$ или $\sin x — \cos x = 0$

Для каждого случая:

$\sin x = 0$ дает $x = 0$, так как на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ $\sin x = 0$ только при $x = 0$.

$\cos x = 0$ дает $x = \frac{\pi}{2}$, так как $\cos x = 0$ на этом отрезке при $x = \frac{\pi}{2}$.

$\sin x = \cos x$ приводит к $x = \frac{\pi}{4}$, так как $\sin x = \cos x$ при $x = \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, стационарные точки на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ — это $x = 0$, $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

Значения функции:

Теперь мы вычислим значения функции $y = \sin^3 x + \cos^3 x$ в критических точках и на концах отрезка.

В точке $x = 0$:

$$y(0) = \sin^3 0 + \cos^3 0 = 0^3 + 1^3 = 1$$

В точке $x = \frac{\pi}{4}$:

$$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin^3 \frac{\pi}{4} + \cos^3 \frac{\pi}{4}$$

Известно, что $\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому:

$$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \frac{2\sqrt{2}}{8} + \frac{2\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

В точке $x = \frac{\pi}{2}$:

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin^3 \frac{\pi}{2} + \cos^3 \frac{\pi}{2} = 1^3 + 0^3 = 1$$

Вывод:

Мы нашли значения функции в точках:

$$y(0) = 1, \quad y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$$

Таким образом, минимальное значение функции $y_{\min} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, максимальное значение $y_{\max} = 1$.

Ответ: $y_{\min} = \frac{\sqrt{2}}{2}$; $y_{\max} = 1$.

б) $y = \sin^5 x — \cos^5 x$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$

Производная функции:

Теперь вычислим производную функции $y = \sin^5 x — \cos^5 x$.

Для этого снова используем правило дифференцирования степенной функции и цепное правило.

$$y = \sin^5 x — \cos^5 x$$

Производная каждого слагаемого:

Производная $\sin^5 x$:

$$\frac{d}{dx} (\sin^5 x) = 5 \cdot \sin^4 x \cdot \cos x$$

Производная $\cos^5 x$:

$$\frac{d}{dx} (\cos^5 x) = -5 \cdot \cos^4 x \cdot \sin x$$

Теперь комбинируем их:

$$y’ = 5 \cdot \sin^4 x \cdot \cos x — 5 \cdot \cos^4 x \cdot \sin x$$ $$y’ = 5 \cdot \sin x \cdot \cos x \cdot (\sin^3 x + \cos^3 x)$$ $$y’ = \frac{5}{2} \sin 2x \cdot (\sin^3 x + \cos^3 x)$$

Таким образом, мы получили производную функции:

$$y’ = \frac{5}{2} \sin 2x \cdot (\sin^3 x + \cos^3 x)$$

Нахождение стационарных точек:

Стационарные точки находятся, когда производная равна нулю:

$$y’ = 0$$

Это означает:

$$\frac{5}{2} \sin 2x \cdot (\sin^3 x + \cos^3 x) = 0$$

Решим это уравнение:

$\sin 2x = 0$ или $\sin^3 x + \cos^3 x = 0$

Для каждого случая:

$\sin 2x = 0$ дает $2x = n\pi$, или $x = \frac{n\pi}{2}$. На отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$ решение $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = 0$.

$\sin^3 x + \cos^3 x = 0$ дает $\sin x + \cos x = 0$, что эквивалентно $\tan x = -1$. Это решается при $x = -\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, стационарные точки на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$ — это $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = -\frac{\pi}{4}$, и $x = 0$.

Значения функции:

Теперь мы вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка.

В точке $x = -\frac{\pi}{2}$:

$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \sin^5 \left(-\frac{\pi}{2}\right) — \cos^5 \left(-\frac{\pi}{2}\right) = (-1)^5 — 0^5 = -1$$

В точке $x = -\frac{\pi}{4}$:

$$y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \sin^5 \left(-\frac{\pi}{4}\right) — \cos^5 \left(-\frac{\pi}{4}\right)$$

Зная, что $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$$y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^5 — \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^5 = -\frac{\sqrt{2}}{4}$$

В точке $x = 0$:

$$y(0) = \sin^5 0 — \cos^5 0 = 0^5 — 1^5 = -1$$

Вывод:

Значения функции:

$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1, \quad y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{4}, \quad y(0) = -1$$

Минимальное значение функции $y_{\min} = -1$, максимальное значение $y_{\max} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $y_{\min} = -1$; $y_{\max} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.