ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке:

а) $y={\sin }^2\frac{x}{2}\cdot \sin x$ на отрезке $[-\pi ;0]$;

б) $y={\cos }^2\frac{x}{2}\cdot \cos x$ на отрезке $[0;\pi ]$

а) $y={\sin }^2\frac{x}{2}\cdot \sin x$ на отрезке $[-\pi ;0]$;

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}={\left({\sin }^2\frac{x}{2}\right)}^{\mathrm{\prime }}\cdot \sin x+{\sin }^2\frac{x}{2}\cdot (\sin x{)}^{\mathrm{\prime }}$$$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2}\cdot 2\cos \frac{x}{2}\cdot \sin \frac{x}{2}\cdot \sin x+{\sin }^2\frac{x}{2}\cdot \cos x$$$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2}\cdot \sin x\cdot \sin x+\frac{1-\cos x}{2}\cdot \cos x$$$$y^{\mathrm{\prime }}={\sin }^{2}x+(1-\cos x)\cdot \cos x$$$$y^{\mathrm{\prime }}={\sin }^{2}x+\cos x-{\cos }^{2}x$$$$y^{\mathrm{\prime }}=({\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x-{\cos }^{2}x)-2{\cos }^{2}x+\cos x=0$$$$y^{\mathrm{\prime }}=1-2{\cos }^{2}x+\cos x=0$$

Пусть $t=\cos x$, тогда:

$$1-2t^2+t=0$$$$2t^2-t-1=0$$$$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9$$$$t_1=\frac{1-3}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$$$$t_2=\frac{1+3}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1$$

Первая стационарная точка:

$$\cos x=-\frac{1}{2}$$$$x=\pm \arccos \frac{1}{2}+2\pi n=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n$$

Вторая стационарная точка:

$$\cos x=1$$$$x=\pm \arccos 1+2\pi n=\pm 0+2\pi n=2\pi n$$

Значения функции:

$$y(-\pi )={\sin }^2(-\frac{\pi }{2})\cdot \sin (-\pi )=(-1{)}^2\cdot 0=0$$$$y(-\frac{2\pi }{3})={\sin }^2(-\frac{\pi }{3})\cdot \sin (-\frac{2\pi }{3})={(-\frac{\sqrt{3}}{2})}^2\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})=$$

$$=\frac{3}{4}\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{3\sqrt{3}}{8}$$$$y(0)={\sin }^2\frac{0}{2}\cdot \sin 0=0^2\cdot 0=0$$

Ответ: $y_{\text{min}}=-\frac{3\sqrt{3}}{8}$; $y_{\text{max}}=0$.

б) $y={\cos }^2\frac{x}{2}\cdot \cos x$ на отрезке $[0;\pi ]$;

Производная функции:

$$y=\frac{1+\cos x}{2}\cdot \cos x=\frac{1}{2}\cdot \cos x+\frac{1}{2}{\cos }^{2}x$$$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2}(\cos x{)}^{\mathrm{\prime }}+\frac{1}{2}({\cos }^{2}x{)}^{\mathrm{\prime }}$$$$y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{2}\sin x-\frac{1}{2}\cdot 2\sin x\cdot \cos x$$$$y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{2}\sin x-\sin x\cos x$$$$y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{2}(\sin x+\sin 2x)$$$$y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \sin \frac{3x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}$$$$y^{\mathrm{\prime }}=-\sin \frac{3x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}=0$$

Первая стационарная точка:

$$\sin \frac{3x}{2}=0$$$$\frac{3x}{2}=\arcsin 0+\pi n=\pi n,\text{отсюда }x=\frac{2\pi n}{3}$$

Вторая стационарная точка:

$$\cos \frac{x}{2}=0$$$$\frac{x}{2}=\pm \arccos 0+2\pi n=\pm \frac{\pi }{2}+2\pi n=\frac{\pi }{2}+\pi n$$$$x=\pi +2\pi n$$

Значения функции:

$$y(0)={\cos }^2\frac{0}{2}\cdot \cos 0=1^2\cdot 1=1$$$$y\left(\frac{2\pi }{3}\right)={\cos }^2\frac{\pi }{3}\cdot \cos \frac{2\pi }{3}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot (-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}\cdot (-\frac{1}{2})=-\frac{1}{8}$$$$y(\pi )={\cos }^2\frac{\pi }{2}\cdot \cos \pi =0^2\cdot (-1)=0$$

Ответ: $y_{\text{min}}=-\frac{1}{8}$; $y_{\text{max}}=1$.

а) $y={\sin }^2\frac{x}{2}\cdot \sin x$ на отрезке $[-\pi ;0]$;

Производная функции:

Для нахождения производной функции $y={\sin }^2\frac{x}{2}\cdot \sin x$ воспользуемся правилом произведения и цепным правилом для дифференцирования.

Сначала выразим функцию в виде произведения двух функций:

$$y=u(x)\cdot v(x),\text{где}u(x)={\sin }^2\frac{x}{2},v(x)=\sin x\mathrm{.}$$

Производная произведения:

$$y^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}$$

Для того чтобы найти $u^{\mathrm{\prime }}(x)$ и $v^{\mathrm{\prime }}(x)$, дифференцируем каждую из функций:

$u(x)={\sin }^2\frac{x}{2}$, используя цепное правило:

$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot \sin \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}\cdot \frac{1}{2}=\sin \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}\mathrm{.}$$

$v(x)=\sin x$, и её производная:

$$v^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos x\mathrm{.}$$

Теперь подставляем это в формулу для производной:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(\sin \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2})\cdot \sin x+{\sin }^2\frac{x}{2}\cdot \cos x\mathrm{.}$$

Упростим выражение:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2}\cdot \sin x\cdot \sin x+\frac{1-\cos x}{2}\cdot \cos x\mathrm{.}$$$$y^{\mathrm{\prime }}={\sin }^{2}x+(1-\cos x)\cdot \cos x\mathrm{.}$$$$y^{\mathrm{\prime }}={\sin }^{2}x+\cos x-{\cos }^{2}x\mathrm{.}$$$$y^{\mathrm{\prime }}=({\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x-{\cos }^{2}x)-2{\cos }^{2}x+\cos x=0.$$$$y^{\mathrm{\prime }}=1-2{\cos }^{2}x+\cos x=0.$$

Пусть $t=\cos x$, тогда:

$$1-2t^2+t=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $t$:

$$2t^2-t-1=0.$$

Решаем это уравнение с помощью дискриминанта:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 2\cdot (-1)=1+8=9.$$

Корни уравнения:

$$t_1=\frac{1-3}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2},$$$$t_2=\frac{1+3}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1.$$

Первая стационарная точка:

Теперь решаем для $t=\cos x$:

$\cos x=-\frac{1}{2}$, тогда:

$$x=\pm \arccos (-\frac{1}{2})+2\pi n=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n\mathrm{.}$$

Таким образом, первая стационарная точка: $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n$.

Вторая стационарная точка:

$\cos x=1$, тогда:

$$x=\pm \arccos 1+2\pi n=\pm 0+2\pi n=2\pi n\mathrm{.}$$

Таким образом, вторая стационарная точка: $x=2\pi n$.

Значения функции:

Теперь находим значения функции в критических точках.

$y(-\pi )={\sin }^2(-\frac{\pi }{2})\cdot \sin (-\pi )=(-1{)}^2\cdot 0=0$.

$y(-\frac{2\pi }{3})={\sin }^2(-\frac{\pi }{3})\cdot \sin (-\frac{2\pi }{3})={(-\frac{\sqrt{3}}{2})}^2\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{3}{4}\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{3\sqrt{3}}{8}$.

$y(0)={\sin }^2\frac{0}{2}\cdot \sin 0=0^2\cdot 0=0$.

Ответ: $y_{\text{min}}=-\frac{3\sqrt{3}}{8}$; $y_{\text{max}}=0$.

б) $y={\cos }^2\frac{x}{2}\cdot \cos x$ на отрезке $[0;\pi ]$;

Производная функции:

Для функции $y={\cos }^2\frac{x}{2}\cdot \cos x$ используем правило произведения и цепное правило.

Представим функцию в виде произведения двух функций:

$$y=u(x)\cdot v(x),\text{где}u(x)={\cos }^2\frac{x}{2},v(x)=\cos x\mathrm{.}$$

Производная произведения:

$$y^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}$$

Находим производные:

$u(x)={\cos }^2\frac{x}{2}$, производная:

$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot \cos \frac{x}{2}\cdot (-\sin \frac{x}{2})\cdot \frac{1}{2}=-\sin \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}\mathrm{.}$$

$v(x)=\cos x$, производная:

$$v^{\mathrm{\prime }}(x)=-\sin x\mathrm{.}$$

Теперь подставляем:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(-\sin \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2})\cdot \cos x+{\cos }^2\frac{x}{2}\cdot (-\sin x)\mathrm{.}$$$$y^{\mathrm{\prime }}=-\sin \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}\cdot \cos x-{\cos }^2\frac{x}{2}\cdot \sin x\mathrm{.}$$

Упрощаем:

$$y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{2}(\sin x+\sin 2x)\mathrm{.}$$$$y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \sin \frac{3x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}\mathrm{.}$$$$y^{\mathrm{\prime }}=-\sin \frac{3x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}=0.$$

Первая стационарная точка:

$$\sin \frac{3x}{2}=0.$$$$\frac{3x}{2}=\arcsin 0+\pi n=\pi n,\text{отсюда }x=\frac{2\pi n}{3}\mathrm{.}$$

Таким образом, первая стационарная точка: $x=\frac{2\pi n}{3}$.

Вторая стационарная точка:

$$\cos \frac{x}{2}=0.$$$$\frac{x}{2}=\pm \arccos 0+2\pi n=\pm \frac{\pi }{2}+2\pi n=\frac{\pi }{2}+\pi n\mathrm{.}$$$$x=\pi +2\pi n\mathrm{.}$$

Значения функции:

Теперь находим значения функции в критических точках:

$y(0)={\cos }^2\frac{0}{2}\cdot \cos 0=1^2\cdot 1=1$.

$y\left(\frac{2\pi }{3}\right)={\cos }^2\frac{\pi }{3}\cdot \cos \frac{2\pi }{3}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot (-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}\cdot (-\frac{1}{2})=-\frac{1}{8}$.

$y(\pi )={\cos }^2\frac{\pi }{2}\cdot \cos \pi =0^2\cdot (-1)=0$.

Ответ: $y_{\text{min}}=-\frac{1}{8}$; $y_{\text{max}}=1$.