ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке:

а) $y = x^3 — 2x^2 + 1$ на промежутке $[0,5; +\infty)$

б) $y = x — 2\sqrt{x}$ на промежутке $[0; +\infty)$

в) $y = \frac{1}{5}x^5 — x^2$ на промежутке $(-∞; 1]$

г) $y = \frac{x^4}{x^4 + 1}$ на промежутке $(-∞; +∞)$

а) $y = x^3 — 2x^2 + 1$ на промежутке $[0,5; +\infty)$:

Производная функции:

$$y’ = (x^3)’ — 2(x^2)’ + (1)’;$$ $$y’ = 3x^2 — 2 \cdot 2x + 0 = 3x^2 — 4x;$$

Промежуток возрастания:

$$3x^2 — 4x \geq 0;$$ $$x(3x — 4) \geq 0;$$ $$x_1 \leq 0 \text{ или } x_2 \geq \frac{4}{3};$$

Наименьшее значение:

$$y\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{64}{27} — 2 \cdot \frac{16}{9} + 1 = \frac{64 — 96 + 27}{27} = -\frac{5}{27};$$

Ответ: $y_{\min} = -\frac{5}{27}$; $y_{\max}$ — не существует.

б) $y = x — 2\sqrt{x}$ на промежутке $[0; +\infty)$:

Производная функции:

$$y’ = (x)’ — 2(\sqrt{x})’ = 1 — 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 — \frac{1}{\sqrt{x}};$$

Промежуток возрастания:

$$1 — \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 0;$$ $$\sqrt{x} — 1 \geq 0;$$ $$\sqrt{x} \geq 1, \text{ отсюда } x \geq 1;$$

Наименьшее значение:

$$y(1) = 1 — 2\sqrt{1} = 1 — 2 = -1;$$

Ответ: $y_{\min} = -1$; $y_{\max}$ — не существует.

в) $y = \frac{1}{5}x^5 — x^2$ на промежутке $(-∞; 1]$:

Производная функции:

$$y’ = \frac{1}{5}(x^5)’ — (x^2)’ = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 — 2x = x^4 — 2x;$$

Промежуток возрастания:

$$x^4 — 2x \geq 0;$$ $$x(x^3 — 2) \geq 0;$$ $$x \leq 0 \text{ или } x \geq \sqrt[3]{2} \approx 1,2;$$

Наибольшее значение:

$$y(0) = \frac{1}{5} \cdot 0^5 — 0^2 = 0;$$

Ответ: $y_{\max} = 0$; $y_{\min}$ — не существует.

г) $y = \frac{x^4}{x^4 + 1}$ на промежутке $(-∞; +∞)$:

Производная функции:

$$y’ = \frac{(x^4)'(x^4 + 1) — x^4(x^4 + 1)’}{(x^4 + 1)^2};$$ $$y’ = \frac{4x^3(x^4 + 1) — x^4 \cdot 4x^3}{(x^4 + 1)^2} = \frac{4x^7 + 4x^3 — 4x^7}{(x^4 + 1)^2} = \frac{4x^3}{(x^4 + 1)^2};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{4x^3}{(x^4 + 1)^2} \geq 0;$$ $$x^3 \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 0;$$

Горизонтальная асимптота:

$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4}{x^4 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^4}} = \frac{1}{1 + 0} = 1;$$

Наименьшее значение:

$$y(0) = \frac{0^4}{0^4 + 1} = \frac{0}{1} = 0;$$

Ответ: $y_{\min} = 0$; $y_{\max}$ — не существует.

а) $y = x^3 — 2x^2 + 1$ на промежутке $[0,5; +\infty)$:

Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = x^3 — 2x^2 + 1$ используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x^3$ равна $3x^2$,
• Производная от $-2x^2$ равна $-4x$,
• Производная от $1$ равна $0$.

Таким образом, производная функции:

$$y’ = (x^3)’ — 2(x^2)’ + (1)’ = 3x^2 — 4x + 0 = 3x^2 — 4x.$$

Промежуток возрастания:

Для нахождения промежутков возрастания функции, нам нужно найти, где производная больше или равна нулю:

$$3x^2 — 4x \geq 0.$$

Из этого уравнения вынесем $x$:

$$x(3x — 4) \geq 0.$$

Это неравенство можно решить методом знаков:

Нули у этого выражения при $x = 0$ и $x = \frac{4}{3}$.

Теперь рассмотрим знаки на промежутках: $x \in (-\infty, 0)$, $x \in (0, \frac{4}{3})$, $x \in (\frac{4}{3}, +\infty)$.

Проверяем знаки на каждом промежутке:

• При $x \in (-\infty, 0)$ оба множителя $x$ и $(3x — 4)$ отрицательные, значит произведение будет положительным.
• При $x \in (0, \frac{4}{3})$ $x$ положительный, а $(3x — 4)$ отрицательный, значит произведение отрицательное.
• При $x \in (\frac{4}{3}, +\infty)$ оба множителя положительные, значит произведение положительное.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[0,5; +\infty)$ для $x \geq \frac{4}{3}$.

Наименьшее значение:

Для нахождения наименьшего значения функции на промежутке $[0,5; +\infty)$ нужно подставить $x = \frac{4}{3}$ в исходную функцию $y = x^3 — 2x^2 + 1$.

Подставляем:

$$y\left(\frac{4}{3}\right) = \left( \frac{4}{3} \right)^3 — 2 \left( \frac{4}{3} \right)^2 + 1.$$

Вычислим каждую часть:

$$\left( \frac{4}{3} \right)^3 = \frac{64}{27}, \quad 2 \left( \frac{4}{3} \right)^2 = 2 \cdot \frac{16}{9} = \frac{32}{9}.$$

Теперь вычислим $y\left( \frac{4}{3} \right)$:

$$y\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{64}{27} — \frac{32}{9} + 1.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{32}{9} = \frac{96}{27}, \quad 1 = \frac{27}{27}.$$ $$y\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{64}{27} — \frac{96}{27} + \frac{27}{27} = \frac{64 — 96 + 27}{27} = \frac{-5}{27}.$$

Ответ: $y_{\min} = -\frac{5}{27}$; $y_{\max}$ — не существует.

б) $y = x — 2\sqrt{x}$ на промежутке $[0; +\infty)$:

Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = x — 2\sqrt{x}$ используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x$ равна 1,
• Производная от $-2\sqrt{x}$ — это $-2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{\sqrt{x}}$.

Итак, производная функции:

$$y’ = 1 — \frac{1}{\sqrt{x}}.$$

Промежуток возрастания:

Для нахождения промежутков возрастания функции нужно решить неравенство $y’ \geq 0$:

$$1 — \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 0,$$ $$\sqrt{x} \geq 1, \quad \text{отсюда} \quad x \geq 1.$$

Таким образом, функция возрастает для $x \geq 1$.

Наименьшее значение:

Для нахождения наименьшего значения функции на промежутке $[0; +\infty)$ нужно подставить $x = 1$ в исходную функцию $y = x — 2\sqrt{x}$:

$$y(1) = 1 — 2\sqrt{1} = 1 — 2 = -1.$$

Ответ: $y_{\min} = -1$; $y_{\max}$ — не существует.

в) $y = \frac{1}{5}x^5 — x^2$ на промежутке $(-∞; 1]$:

Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{5}x^5 — x^2$ используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $\frac{1}{5}x^5$ равна $x^4$,
• Производная от $-x^2$ равна $-2x$.

Итак, производная функции:

$$y’ = x^4 — 2x.$$

Промежуток возрастания:

Для нахождения промежутков возрастания функции нужно решить неравенство $y’ \geq 0$:

$$x^4 — 2x \geq 0,$$ $$x(x^3 — 2) \geq 0.$$

Решаем неравенство $x(x^3 — 2) \geq 0$:

Корни этого выражения — $x = 0$ и $x = \sqrt[3]{2} \approx 1.26$.

Рассматриваем знаки на промежутках $(-\infty, 0)$, $(0, \sqrt[3]{2})$, $(\sqrt[3]{2}, +\infty)$.

Решение:

• При $x \in (-\infty, 0)$, оба множителя отрицательные, следовательно, произведение положительное.
• При $x \in (0, \sqrt[3]{2})$, один множитель положительный, а другой отрицательный, произведение отрицательное.
• При $x \in (\sqrt[3]{2}, +\infty)$, оба множителя положительные, произведение положительное.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $x \in (-\infty, 0)$.

Наибольшее значение:

Для нахождения наибольшего значения функции на промежутке $(-∞; 1]$, нужно подставить $x = 0$ в исходную функцию $y = \frac{1}{5}x^5 — x^2$:

$$y(0) = \frac{1}{5} \cdot 0^5 — 0^2 = 0.$$

Ответ: $y_{\max} = 0$; $y_{\min}$ — не существует.

г) $y = \frac{x^4}{x^4 + 1}$ на промежутке $(-∞; +∞)$:

Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = \frac{x^4}{x^4 + 1}$ используем правило дифференцирования частного:

$$y’ = \frac{(x^4)'(x^4 + 1) — x^4(x^4 + 1)’}{(x^4 + 1)^2}.$$

Теперь вычислим каждую часть:

• Производная от $x^4$ равна $4x^3$,
• Производная от $x^4 + 1$ равна $4x^3$.

Подставляем:

$$y’ = \frac{4x^3(x^4 + 1) — x^4 \cdot 4x^3}{(x^4 + 1)^2} = \frac{4x^7 + 4x^3 — 4x^7}{(x^4 + 1)^2} = \frac{4x^3}{(x^4 + 1)^2}.$$

Промежуток возрастания:

Для нахождения промежутков возрастания функции, нужно решить неравенство:

$$\frac{4x^3}{(x^4 + 1)^2} \geq 0.$$

Так как знаменатель всегда положителен, решение зависит только от числителя:

$$x^3 \geq 0, \quad \text{отсюда} \quad x \geq 0.$$

Таким образом, функция возрастает для $x \geq 0$.

Горизонтальная асимптота:

Для нахождения горизонтальной асимптоты нужно найти предел функции при $x \to \infty$:

$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4}{x^4 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^4}} = \frac{1}{1 + 0} = 1.$$

Наименьшее значение:

Подставляем $x = 0$ в исходную функцию:

$$y(0) = \frac{0^4}{0^4 + 1} = \frac{0}{1} = 0.$$

Ответ: $y_{\min} = 0$; $y_{\max}$ — не существует.