ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке:

а) $y = x + \frac{1}{x}$ на промежутке $(-∞; 0)$

б) $y = \frac{3x}{x^2 + 3}$ на промежутке $[0; +∞)$

в) $y = -2x — \frac{1}{2x}$ на промежутке $(0; +∞)$

г) $y = \sqrt{2x + 6} — x$ на промежутке $[-3; +∞)$

а) $y = x + \frac{1}{x}$ на промежутке $(-∞; 0)$:

Производная функции:

$$y’ = (x)’ + \left( \frac{1}{x} \right)’ = 1 — \frac{1}{x^2};$$

Промежуток возрастания:

$$1 — \frac{1}{x^2} \geq 0;$$ $$x^2 — 1 \geq 0;$$ $$x^2 \geq 1, \text{ отсюда } x \leq -1 \text{ или } x \geq 1;$$

Вертикальная асимптота:

$$x = 0;$$

Наибольшее значение:

$$y(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -1 — 1 = -2;$$

Ответ: $y_{\text{max}} = -2$; $y_{\text{min}}$ — не существует.

б) $y = \frac{3x}{x^2 + 3}$ на промежутке $[0; +∞)$:

Производная функции:

$$y’ = \frac{(3x)'(x^2 + 3) — 3x(x^2 + 3)’}{(x^2 + 3)^2};$$ $$y’ = \frac{3(x^2 + 3) — 3x \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{3x^2 + 9 — 6x^2}{(x^2 + 3)^2} = \frac{9 — 3x^2}{(x^2 + 3)^2};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{9 — 3x^2}{(x^2 + 3)^2} \geq 0;$$ $$9 — 3x^2 \geq 0;$$ $$9 \geq 3x^2;$$ $$x^2 \leq 3, \text{ отсюда } -\sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3};$$

Горизонтальная асимптота:

$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{3x}{x^2 + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x}}{1 + \frac{3}{x^2}} = \frac{0}{1 + 0} = 0;$$

Значения функции:

$$y(0) = \frac{3 \cdot 0}{0^2 + 3} = \frac{0}{3} = 0;$$ $$y(\sqrt{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2 + 3} = \frac{3\sqrt{3}}{3 + 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 0$; $y_{\text{max}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) $y = -2x — \frac{1}{2x}$ на промежутке $(0; +∞)$:

Производная функции:

$$y’ = -2(x)’ — \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x} \right)’ = -2 + \frac{1}{2x^2};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{1}{2x^2} — 2 \geq 0;$$ $$1 — 4x^2 \geq 0;$$ $$1 \geq 4x^2;$$ $$x^2 \leq \frac{1}{4}, \text{ отсюда } -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2};$$

Вертикальная асимптота:

$$x = 0;$$

Наибольшее значение:

$$y\left( \frac{1}{2} \right) = -2 \cdot \frac{1}{2} — \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -1 — 1 = -2;$$

Ответ: $y_{\text{max}} = -2$; $y_{\text{min}}$ — не существует.

г) $y = \sqrt{2x + 6} — x$ на промежутке $[-3; +∞)$:

Производная функции:

$$y’ = (\sqrt{2x + 6})’ — (x)’;$$ $$y’ = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x + 6}} — 1 = \frac{1}{\sqrt{2x + 6}} — 1;$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{1}{\sqrt{2x + 6}} — 1 \geq 0;$$ $$1 — \sqrt{2x + 6} \geq 0;$$ $$1 — 2x — 6 \geq 0;$$ $$2x + 5 \leq 0;$$ $$2x \leq -5, \text{ отсюда } x \leq -2.5;$$

Область определения:

$$2x + 6 \geq 0;$$ $$2x \geq -6, \text{ отсюда } x \geq -3;$$

Наибольшее значение:

$$y(-2.5) = \sqrt{-2.5 \cdot 2 + 6} + 2.5 = \sqrt{1} + 2.5 = 3.5;$$

Ответ: $y_{\text{max}} = 3.5$; $y_{\text{min}}$ — не существует.

а) $y = x + \frac{1}{x}$ на промежутке $(-∞; 0)$:

Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = x + \frac{1}{x}$, используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x$ равна 1,
• Производная от $\frac{1}{x}$ равна $-\frac{1}{x^2}$ (используем правило дифференцирования степени).

Итак, производная функции будет:

$$y’ = (x)’ + \left( \frac{1}{x} \right)’ = 1 — \frac{1}{x^2}.$$

Промежуток возрастания:

Для нахождения промежутков возрастания функции, нужно решить неравенство $y’ \geq 0$, то есть:

$$1 — \frac{1}{x^2} \geq 0.$$

Решим это неравенство:

$$1 \geq \frac{1}{x^2}.$$

Так как $x^2 > 0$, неравенство эквивалентно:

$$x^2 \geq 1.$$

Это выражение верно, если:

$$x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 1.$$

Поскольку мы рассматриваем промежуток $(-\infty; 0)$, то на этом интервале условие выполняется для $x \leq -1$.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1]$.

Вертикальная асимптота:

Функция имеет вертикальную асимптоту при $x = 0$, потому что при приближении $x$ к нулю значение функции стремится к бесконечности. Это связано с тем, что член $\frac{1}{x}$ стремится к бесконечности при $x \to 0$.

Наибольшее значение:

Теперь находим наибольшее значение функции на промежутке $(-\infty; 0)$. Мы уже выяснили, что функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1]$, следовательно, наибольшее значение функции будет достигаться в точке $x = -1$.

Подставляем $x = -1$ в исходную функцию:

$$y(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -1 — 1 = -2.$$

Ответ: $y_{\text{max}} = -2$; $y_{\text{min}}$ — не существует, так как $y \to -\infty$, когда $x \to -\infty$.

б) $y = \frac{3x}{x^2 + 3}$ на промежутке $[0; +∞)$:

Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = \frac{3x}{x^2 + 3}$ используем правило дифференцирования частного:

$$y’ = \frac{(u'(x) \cdot v(x)) — (u(x) \cdot v'(x))}{v(x)^2},$$

где $u(x) = 3x$ и $v(x) = x^2 + 3$.

Сначала находим производные от $u(x)$ и $v(x)$:

$$u'(x) = 3, \quad v'(x) = 2x.$$

Теперь подставляем в формулу для производной:

$$y’ = \frac{3(x^2 + 3) — 3x \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{3x^2 + 9 — 6x^2}{(x^2 + 3)^2} = \frac{9 — 3x^2}{(x^2 + 3)^2}.$$

Промежуток возрастания:

Теперь находим промежуток возрастания функции. Для этого нужно решить неравенство $y’ \geq 0$:

$$\frac{9 — 3x^2}{(x^2 + 3)^2} \geq 0.$$

Поскольку знаменатель $(x^2 + 3)^2$ всегда положителен, знак производной зависит только от числителя:

$$9 — 3x^2 \geq 0.$$

Решим неравенство:

$$9 \geq 3x^2,$$ $$x^2 \leq 3.$$

Это неравенство выполняется, если:

$$-\sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3}.$$

Однако, так как функция задана на промежутке $[0; +\infty)$, то на этом промежутке она возрастает при $x \in [0; \sqrt{3}]$.

Горизонтальная асимптота:

Для нахождения горизонтальной асимптоты функции на промежутке $[0; +\infty)$, нам нужно вычислить предел функции при $x \to \infty$:

$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{3x}{x^2 + 3}.$$

Делим числитель и знаменатель на $x$:

$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x}}{1 + \frac{3}{x^2}} = \frac{0}{1 + 0} = 0.$$

Таким образом, горизонтальная асимптота равна $y = 0$.

Значения функции:

Теперь находим значения функции в точках:

• В точке $x = 0$:

  $$y(0) = \frac{3 \cdot 0}{0^2 + 3} = \frac{0}{3} = 0.$$

• В точке $x = \sqrt{3}$:

  $$y(\sqrt{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2 + 3} = \frac{3\sqrt{3}}{3 + 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 0$; $y_{\text{max}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) $y = -2x — \frac{1}{2x}$ на промежутке $(0; +∞)$:

Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = -2x — \frac{1}{2x}$ используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $-2x$ равна $-2$,
• Производная от $-\frac{1}{2x}$ равна $\frac{1}{2x^2}$.

Итак, производная функции:

$$y’ = -2 + \frac{1}{2x^2}.$$

Промежуток возрастания:

Для нахождения промежутков возрастания функции нужно решить неравенство $y’ \geq 0$:

$$-2 + \frac{1}{2x^2} \geq 0,$$ $$\frac{1}{2x^2} \geq 2,$$ $$\frac{1}{x^2} \geq 4,$$ $$x^2 \leq \frac{1}{4}.$$

Это неравенство выполняется при:

$$-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}.$$

Поскольку мы рассматриваем промежуток $(0; +\infty)$, то на этом промежутке функция возрастает при $x \leq \frac{1}{2}$.

Вертикальная асимптота:

Функция имеет вертикальную асимптоту при $x = 0$, потому что при $x \to 0$ функция $\frac{1}{2x}$ стремится к бесконечности.

Наибольшее значение:

Для нахождения наибольшего значения функции на промежутке $(0; +\infty)$, подставляем $x = \frac{1}{2}$ в исходную функцию:

$$y\left( \frac{1}{2} \right) = -2 \cdot \frac{1}{2} — \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -1 — 1 = -2.$$

Ответ: $y_{\text{max}} = -2$; $y_{\text{min}}$ — не существует.

г) $y = \sqrt{2x + 6} — x$ на промежутке $[-3; +∞)$:

Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = \sqrt{2x + 6} — x$ используем правило дифференцирования:

• Производная от $\sqrt{2x + 6}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{2x + 6}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 6}}$,
• Производная от $-x$ равна $-1$.

Итак, производная функции:

$$y’ = \frac{1}{\sqrt{2x + 6}} — 1.$$

Промежуток возрастания:

Для нахождения промежутков возрастания функции, решим неравенство $y’ \geq 0$:

$$\frac{1}{\sqrt{2x + 6}} — 1 \geq 0,$$ $$\frac{1}{\sqrt{2x + 6}} \geq 1,$$ $$1 \geq \sqrt{2x + 6},$$ $$1 \geq 2x + 6,$$ $$2x \leq -5,$$ $$x \leq -2.5.$$

Область определения:

Для области определения функции $y = \sqrt{2x + 6}$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$2x + 6 \geq 0,$$ $$x \geq -3.$$

Таким образом, область определения функции: $x \geq -3$.

Наибольшее значение:

Подставляем $x = -2.5$ в исходную функцию:

$$y(-2.5) = \sqrt{-2.5 \cdot 2 + 6} + 2.5 = \sqrt{1} + 2.5 = 3.5.$$

Ответ: $y_{\text{max}} = 3.5$; $y_{\text{min}}$ — не существует.