ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке:

а) $y = x^3 — 3x$ на промежутке $(-∞; 0]$

б) $y = \frac{x}{x^4 + 3}$ на промежутке $[0; +∞)$

в) $y = x^3 — 3x$ на промежутке $[0; +∞)$

г) $y = \frac{x}{x^4 + 3}$ на промежутке $(-∞; 0]$

а) $y = x^3 — 3x$ на промежутке $(-∞; 0]$:

Производная функции:

$$y’ = (x^3)’ — (3x)’ = 3x^2 — 3;$$

Промежуток возрастания:

$$3x^2 — 3 \geq 0;$$ $$x^2 — 1 \geq 0;$$ $$x^2 \geq 1, \text{ отсюда } -1 \leq x \leq 1;$$

Наибольшее значение:

$$y(-1) = (-1)^3 — 3 \cdot (-1) = -1 + 3 = 2;$$

Ответ: $y_{\text{max}} = 2$; $y_{\text{min}}$ — не существует.

б) $y = \frac{x}{x^4 + 3}$ на промежутке $[0; +∞)$:

Производная функции:

$$y’ = \frac{(x)'(x^4 + 3) — x(x^4 + 3)’}{(x^4 + 3)^2};$$ $$y’ = \frac{(x^4 + 3) — x \cdot 4x^3}{(x^4 + 3)^2} = \frac{x^4 + 3 — 4x^4}{(x^4 + 3)^2} = \frac{3 — 3x^4}{(x^4 + 3)^2};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{3 — 3x^4}{(x^4 + 3)^2} \geq 0;$$ $$3 — 3x^4 \geq 0;$$ $$1 — x^4 \geq 0;$$ $$1 \geq x^4, \text{ отсюда } -1 \leq x \leq 1;$$

Горизонтальная асимптота:

$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^4 + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^3}}{1 + \frac{3}{x^4}} = \frac{0}{1 + 0} = 0;$$

Значения функции:

$$y(1) = \frac{1}{1^4 + 3} = \frac{1}{1 + 3} = \frac{1}{4};$$ $$y(0) = \frac{0}{0^4 + 3} = \frac{0}{3} = 0;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 0$; $y_{\text{max}} = \frac{1}{4}$.

в) $y = x^3 — 3x$ на промежутке $[0; +∞)$:

Производная функции:

$$y’ = (x^3)’ — (3x)’ = 3x^2 — 3;$$

Промежуток возрастания:

$$3x^2 — 3 \geq 0;$$ $$x^2 — 1 \geq 0;$$ $$x^2 \geq 1, \text{ отсюда } x \leq -1 \text{ или } x \geq 1;$$

Наименьшее значение:

$$y(1) = 1^3 — 3 \cdot 1 = 1 — 3 = -2;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -2$; $y_{\text{max}}$ — не существует.

г) $y = \frac{x}{x^4 + 3}$ на промежутке $(-∞; 0]$:

Производная функции:

$$y’ = \frac{(x)'(x^4 + 3) — x(x^4 + 3)’}{(x^4 + 3)^2};$$ $$y’ = \frac{(x^4 + 3) — x \cdot 4x^3}{(x^4 + 3)^2} = \frac{x^4 + 3 — 4x^4}{(x^4 + 3)^2} = \frac{3 — 3x^4}{(x^4 + 3)^2};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{3 — 3x^4}{(x^4 + 3)^2} \geq 0;$$ $$3 — 3x^4 \geq 0;$$ $$1 — x^4 \geq 0;$$ $$1 \geq x^4, \text{ отсюда } -1 \leq x \leq 1;$$

Горизонтальная асимптота:

$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^4 + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^3}}{1 + \frac{3}{x^4}} = \frac{0}{1 + 0} = 0;$$

Значения функции:

$$y(-1) = \frac{-1}{(-1)^4 + 3} = \frac{-1}{1 + 3} = -\frac{1}{4};$$ $$y(0) = \frac{0}{0^4 + 3} = \frac{0}{3} = 0;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -\frac{1}{4}$; $y_{\text{max}} = 0$.

а) $y = x^3 — 3x$ на промежутке $(-∞; 0]$:

Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = x^3 — 3x$, применим стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x^3$ равна $3x^2$,
• Производная от $-3x$ равна $-3$.

Итак, производная функции:

$$y’ = (x^3)’ — (3x)’ = 3x^2 — 3.$$

Промежуток возрастания:

Для того чтобы определить, на каких промежутках функция возрастает или убывает, необходимо решить неравенство $y’ \geq 0$:

$$3x^2 — 3 \geq 0.$$

Решим это неравенство:

$$3(x^2 — 1) \geq 0,$$ $$x^2 — 1 \geq 0,$$ $$(x — 1)(x + 1) \geq 0.$$

Это неравенство выполняется для:

• $x \leq -1$ или $x \geq 1$.

Однако, поскольку мы рассматриваем промежуток $(-\infty; 0]$, то на этом промежутке возрастание функции возможно при $x \leq -1$.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1]$.

Наибольшее значение:

Поскольку функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1]$, то наибольшее значение функции будет достигаться в точке $x = -1$.

Подставляем $x = -1$ в исходную функцию $y = x^3 — 3x$:

$$y(-1) = (-1)^3 — 3 \cdot (-1) = -1 + 3 = 2.$$

Ответ: $y_{\text{max}} = 2$; $y_{\text{min}}$ — не существует, так как функция убывает на $(-\infty; -1)$.

б) $y = \frac{x}{x^4 + 3}$ на промежутке $[0; +∞)$:

Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = \frac{x}{x^4 + 3}$ используем правило дифференцирования частного. Для функции вида $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ производная вычисляется по формуле:

$$y’ = \frac{u'(x) v(x) — u(x) v'(x)}{v(x)^2}.$$

Здесь $u(x) = x$ и $v(x) = x^4 + 3$, поэтому их производные:

$$u'(x) = 1, \quad v'(x) = 4x^3.$$

Теперь подставляем в формулу для производной:

$$y’ = \frac{1 \cdot (x^4 + 3) — x \cdot 4x^3}{(x^4 + 3)^2} = \frac{x^4 + 3 — 4x^4}{(x^4 + 3)^2} = \frac{3 — 3x^4}{(x^4 + 3)^2}.$$

Промежуток возрастания:

Для нахождения промежутка возрастания функции нужно решить неравенство $y’ \geq 0$:

$$\frac{3 — 3x^4}{(x^4 + 3)^2} \geq 0.$$

Знаменатель всегда положителен, поэтому неравенство зависит только от числителя:

$$3 — 3x^4 \geq 0,$$ $$1 — x^4 \geq 0,$$ $$x^4 \leq 1,$$ $$-1 \leq x \leq 1.$$

Поскольку мы рассматриваем промежуток $[0; +\infty)$, на этом промежутке функция возрастает при $0 \leq x \leq 1$.

Горизонтальная асимптота:

Для нахождения горизонтальной асимптоты, вычислим предел функции при $x \to \infty$:

$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^4 + 3}.$$

Разделим числитель и знаменатель на $x^4$:

$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^3}}{1 + \frac{3}{x^4}} = \frac{0}{1 + 0} = 0.$$

Таким образом, горизонтальная асимптота функции равна $y = 0$.

Значения функции:

Подставляем $x = 0$ и $x = 1$ в исходную функцию:

• При $x = 0$:

  $$y(0) = \frac{0}{0^4 + 3} = \frac{0}{3} = 0.$$

• При $x = 1$:

  $$y(1) = \frac{1}{1^4 + 3} = \frac{1}{4}.$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 0$; $y_{\text{max}} = \frac{1}{4}$.

в) $y = x^3 — 3x$ на промежутке $[0; +∞)$:

Производная функции:

Производная функции $y = x^3 — 3x$ была уже найдена ранее:

$$y’ = 3x^2 — 3.$$

Промежуток возрастания:

Для нахождения промежутка возрастания функции нужно решить неравенство $y’ \geq 0$:

$$3x^2 — 3 \geq 0,$$ $$x^2 — 1 \geq 0,$$ $$(x — 1)(x + 1) \geq 0.$$

Это неравенство выполняется для:

• $x \leq -1$ или $x \geq 1$.

Однако на промежутке $[0; +\infty)$ функция возрастает для $x \geq 1$.

Наименьшее значение:

Поскольку функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$, наименьшее значение функции будет достигаться в точке $x = 1$.

Подставляем $x = 1$ в исходную функцию $y = x^3 — 3x$:

$$y(1) = 1^3 — 3 \cdot 1 = 1 — 3 = -2.$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -2$; $y_{\text{max}}$ — не существует, так как функция стремится к бесконечности при $x \to \infty$.

г) $y = \frac{x}{x^4 + 3}$ на промежутке $(-∞; 0]$:

Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = \frac{x}{x^4 + 3}$ используем правило дифференцирования частного, как и в пункте б):

$$y’ = \frac{(x)'(x^4 + 3) — x(x^4 + 3)’}{(x^4 + 3)^2}.$$

Это даёт:

$$y’ = \frac{3 — 3x^4}{(x^4 + 3)^2}.$$

Промежуток возрастания:

Для нахождения промежутка возрастания функции решим неравенство $y’ \geq 0$:

$$\frac{3 — 3x^4}{(x^4 + 3)^2} \geq 0,$$ $$3 — 3x^4 \geq 0,$$ $$1 — x^4 \geq 0,$$ $$x^4 \leq 1,$$ $$-1 \leq x \leq 1.$$

На промежутке $(-\infty; 0]$ функция возрастает при $x \leq -1$.

Горизонтальная асимптота:

Для нахождения горизонтальной асимптоты вычислим предел функции при $x \to \infty$:

$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^4 + 3} = \frac{0}{1} = 0.$$

Значения функции:

Подставляем $x = -1$ и $x = 0$ в исходную функцию:

• При $x = -1$:

  $$y(-1) = \frac{-1}{(-1)^4 + 3} = \frac{-1}{1 + 3} = -\frac{1}{4}.$$

• При $x = 0$:

  $$y(0) = \frac{0}{0^4 + 3} = \frac{0}{3} = 0.$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -\frac{1}{4}$; $y_{\text{max}} = 0$.