ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции:

а) $y = x^4 — 2x^2 — 6$ на отрезке $[-2; 2]$;

б) $y = x^3 — 3x^2 + 2$ на отрезке $[-1; 2]$

а) $y = x^4 — 2x^2 — 6$ на отрезке $[-2; 2]$;

Производная функции:
$y’ = (x^4)’ — 2(x^2)’ — (6)’;$
$y’ = 4x^3 — 2 \cdot 2x — 0 = 4x^3 — 4x;$

Стационарные точки:
$4x^3 — 4x = 0;$
$4x(x^2 — 1) = 0;$
$4x(x — 1)(x + 1) = 0;$
$x_1 = 0 \text{ и } x_2 = \pm 1;$

Значения функции:
$y(\pm 2) = (\pm 2)^4 — 2(\pm 2)^2 — 6 = 16 — 2 \cdot 4 — 6 = 2;$
$y(\pm 1) = (\pm 1)^4 — 2(\pm 1)^2 — 6 = 1 — 2 \cdot 1 — 6 = -7;$
$y(0) = 0^4 — 2 \cdot 0^2 — 6 = -6;$
$S = y_{\min} + y_{\max} = -7 + 2 = -5;$
Ответ: $-5$.

б) $y = x^3 — 3x^2 + 2$ на отрезке $[-1; 2]$;

Производная функции:
$y’ = (x^3)’ — 3(x^2)’ + (2)’;$
$y’ = 3x^2 — 3 \cdot 2x + 0 = 3x^2 — 6x;$

Стационарные точки:
$3x^2 — 6x = 0;$
$3x(x — 2) = 0;$
$x_1 = 0 \text{ и } x_2 = 2;$

Значения функции:
$y(-1) = (-1)^3 — 3(-1)^2 + 2 = -1 — 3 + 2 = -2;$
$y(0) = 0^3 — 3 \cdot 0^2 + 2 = 2;$
$y(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 — 3 \cdot 4 + 2 = -2;$
$S = y_{\min} + y_{\max} = -2 + 2 = 0;$
Ответ: $0$.

а) $y = x^4 — 2x^2 — 6$ на отрезке $[-2; 2]$

Шаг 1. Находим производную функции.

Нам нужно вычислить первую производную функции $y = x^4 — 2x^2 — 6$. Для этого применяем стандартные правила дифференцирования для каждого слагаемого:

1. Производная от $x^4$ по правилу дифференцирования степенной функции $(x^n)’ = nx^{n-1}$, где $n = 4$, то есть $(x^4)’ = 4x^3$.
2. Производная от $-2x^2$ — это произведение константы и производной $(x^2)’ = 2x$, то есть $(-2x^2)’ = -2 \cdot 2x = -4x$.
3. Производная от постоянной величины $-6$ равна 0, то есть $(-6)’ = 0$.

Таким образом, получаем производную:

$$y’ = 4x^3 — 4x.$$

Шаг 2. Находим стационарные точки.

Стационарные точки функции $y$ — это такие точки, где производная равна нулю, то есть $y’ = 0$. Решим уравнение:

$$4x^3 — 4x = 0.$$

Для удобства вынесем общий множитель $4x$:

$$4x(x^2 — 1) = 0.$$

Решим полученное уравнение:

$$4x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 — 1 = 0.$$

Из $4x = 0$ получаем $x = 0$.

Из $x^2 — 1 = 0$ получаем:

$$x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1.$$

Таким образом, стационарные точки функции — это $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, и $x_3 = -1$.

Шаг 3. Находим значения функции в ключевых точках.

Теперь нужно найти значения функции в точках, которые нас интересуют:

1. В точках границ отрезка: $x = -2$ и $x = 2$,
2. В стационарных точках: $x = -1$, $x = 0$, и $x = 1$.

Для этого подставим соответствующие значения $x$ в исходную функцию $y = x^4 — 2x^2 — 6$.

Для $x = -2$:

$$y(-2) = (-2)^4 — 2(-2)^2 — 6 = 16 — 2 \cdot 4 — 6 = 16 — 8 — 6 = 2.$$

Для $x = 2$:

$$y(2) = 2^4 — 2 \cdot 2^2 — 6 = 16 — 2 \cdot 4 — 6 = 16 — 8 — 6 = 2.$$

Для $x = -1$:

$$y(-1) = (-1)^4 — 2(-1)^2 — 6 = 1 — 2 \cdot 1 — 6 = 1 — 2 — 6 = -7.$$

Для $x = 0$:

$$y(0) = 0^4 — 2 \cdot 0^2 — 6 = 0 — 0 — 6 = -6.$$

Для $x = 1$:

$$y(1) = 1^4 — 2 \cdot 1^2 — 6 = 1 — 2 \cdot 1 — 6 = 1 — 2 — 6 = -7.$$

Шаг 4. Находим наибольшее и наименьшее значения функции.

Теперь мы можем вычислить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-2; 2]$. Мы нашли следующие значения функции:

• $y(-2) = 2$,
• $y(2) = 2$,
• $y(-1) = -7$,
• $y(0) = -6$,
• $y(1) = -7$.

Наибольшее значение функции на отрезке $y_{\max} = 2$, а наименьшее $y_{\min} = -7$.

Шаг 5. Находим значение суммы наибольшего и наименьшего значений.

Итак, сумма наименьшего и наибольшего значений функции:

$$S = y_{\min} + y_{\max} = -7 + 2 = -5.$$

Ответ: $-5$.

б) $y = x^3 — 3x^2 + 2$ на отрезке $[-1; 2]$

Шаг 1. Находим производную функции.

Нам нужно вычислить первую производную функции $y = x^3 — 3x^2 + 2$. Для этого применяем стандартные правила дифференцирования:

1. Производная от $x^3$ по правилу дифференцирования степенной функции $(x^n)’ = nx^{n-1}$, где $n = 3$, то есть $(x^3)’ = 3x^2$.
2. Производная от $-3x^2$ — это произведение константы и производной $(x^2)’ = 2x$, то есть $(-3x^2)’ = -3 \cdot 2x = -6x$.
3. Производная от постоянной величины $2$ равна 0, то есть $(2)’ = 0$.

Таким образом, получаем производную:

$$y’ = 3x^2 — 6x.$$

Шаг 2. Находим стационарные точки.

Стационарные точки функции $y$ — это такие точки, где производная равна нулю, то есть $y’ = 0$. Решим уравнение:

$$3x^2 — 6x = 0.$$

Для удобства вынесем общий множитель $3x$:

$$3x(x — 2) = 0.$$

Решим полученное уравнение:

$$3x = 0 \quad \text{или} \quad x — 2 = 0.$$

Из $3x = 0$ получаем $x = 0$.

Из $x — 2 = 0$ получаем:

$$x = 2.$$

Таким образом, стационарные точки функции — это $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Шаг 3. Находим значения функции в ключевых точках.

Теперь нужно найти значения функции в точках, которые нас интересуют:

1. В точках границ отрезка: $x = -1$ и $x = 2$,
2. В стационарных точках: $x = 0$.

Для этого подставим соответствующие значения $x$ в исходную функцию $y = x^3 — 3x^2 + 2$.

Для $x = -1$:

$$y(-1) = (-1)^3 — 3(-1)^2 + 2 = -1 — 3 + 2 = -2.$$

Для $x = 0$:

$$y(0) = 0^3 — 3 \cdot 0^2 + 2 = 2.$$

Для $x = 2$:

$$y(2) = 2^3 — 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 — 3 \cdot 4 + 2 = 8 — 12 + 2 = -2.$$

Шаг 4. Находим наибольшее и наименьшее значения функции.

Теперь мы можем вычислить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-1; 2]$. Мы нашли следующие значения функции:

• $y(-1) = -2$,
• $y(0) = 2$,
• $y(2) = -2$.

Наибольшее значение функции на отрезке $y_{\max} = 2$, а наименьшее $y_{\min} = -2$.

Шаг 5. Находим значение суммы наибольшего и наименьшего значений.

Итак, сумма наименьшего и наибольшего значений функции:

$$S = y_{\min} + y_{\max} = -2 + 2 = 0.$$

Ответ: $0$.