ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наибольшего значения:

а) $y=\sqrt{(x-1)(10-x)}$

б) $y=\sqrt{(x+2)(4-x)}$

в) $y=\sqrt{(2x-6)(7-x)}$

г) $y=\sqrt{(5-x)(x-3)}$

а) $y = \sqrt{(x-1)(10-x)} = \sqrt{10x — x^2 — 10 + x} = \sqrt{11x — x^2 — 10}$;

Производная функции:

$$y’ = \left( \sqrt{11x — x^2 — 10} \right)’ = \frac{11 — 2x}{2\sqrt{11x — x^2 — 10}}$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{11 — 2x}{2\sqrt{11x — x^2 — 10}} \geq 0$$ $$11 — 2x \geq 0$$ $$11 \geq 2x, \text{ отсюда } x \leq 5.5$$

Область определения:

$$(x-1)(10-x) \geq 0$$ $$1 \leq x \leq 10$$

Ответ: $x = 5.5$.

б) $y = \sqrt{(x+2)(4-x)} = \sqrt{4x — x^2 + 8 — 2x} = \sqrt{2x — x^2 + 8}$;

Производная функции:

$$y’ = \left( \sqrt{2x — x^2 + 8} \right)’ = \frac{2 — 2x}{2\sqrt{2x — x^2 + 8}} = \frac{1 — x}{\sqrt{2x — x^2 + 8}}$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{1 — x}{\sqrt{2x — x^2 + 8}} \geq 0$$ $$1 — x \geq 0$$ $$1 \geq x, \text{ отсюда } x \leq 1$$

Область определения:

$$(x+2)(4-x) \geq 0$$ $$-2 \leq x \leq 4$$

Ответ: $x = 1$.

в) $y = \sqrt{(2x-6)(7-x)} = \sqrt{14x — 2x^2 — 42 + 6x} = \sqrt{20x — 2x^2 — 42}$;

Производная функции:

$$y’ = \left( \sqrt{20x — 2x^2 — 42} \right)’ = \frac{20 — 2 \cdot 2x}{2\sqrt{20x — 2x^2 — 42}} = \frac{10 — 2x}{\sqrt{20x — 2x^2 — 42}}$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{10 — 2x}{\sqrt{20x — 2x^2 — 42}} \geq 0$$ $$10 — 2x \geq 0$$ $$10 \geq 2x, \text{ отсюда } x \leq 5$$

Область определения:

$$(2x-6)(7-x) \geq 0$$ $$3 \leq x \leq 7$$

Ответ: $x = 5$.

г) $y = \sqrt{(5-x)(x-3)} = \sqrt{5x — 15 — x^2 + 3x} = \sqrt{8x — x^2 — 15}$;

Производная функции:

$$y’ = \left( \sqrt{8x — x^2 — 15} \right)’ = \frac{8 — 2x}{2\sqrt{8x — x^2 — 15}} = \frac{4 — x}{\sqrt{8x — x^2 — 15}}$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{4 — x}{\sqrt{8x — x^2 — 15}} \geq 0$$ $$4 — x \geq 0$$ $$4 \geq x, \text{ отсюда } x \leq 4$$

Область определения:

$$(5-x)(x-3) \geq 0$$ $$3 \leq x \leq 5$$

Ответ: $x = 4$.

а) $y = \sqrt{(x-1)(10-x)} = \sqrt{10x — x^2 — 10 + x} = \sqrt{11x — x^2 — 10}$;

Решение:

Производная функции.

Для нахождения производной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Пусть $f(x) = \sqrt{g(x)}$, тогда $f'(x) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$.

В нашем случае $g(x) = 11x — x^2 — 10$, следовательно:

$$y = \sqrt{11x — x^2 — 10}$$ $$y’ = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{11x — x^2 — 10} \right) = \frac{11 — 2x}{2\sqrt{11x — x^2 — 10}}$$

Промежуток возрастания.

Чтобы найти промежуток возрастания функции, исследуем знак производной. Функция возрастает, когда производная $y’ \geq 0$.

$$y’ = \frac{11 — 2x}{2\sqrt{11x — x^2 — 10}} \geq 0$$

Так как знаменатель всегда положительный (так как подкоренное выражение $11x — x^2 — 10$ не может быть отрицательным на интервале области определения), исследуем числитель:

$$11 — 2x \geq 0$$ $$11 \geq 2x$$ $$x \leq 5.5$$

Таким образом, функция возрастает, когда $x \leq 5.5$.

Область определения.

Область определения функции — это значения $x$, при которых подкоренное выражение не отрицательно. То есть:

$$(x-1)(10-x) \geq 0$$

Решим неравенство. Для этого рассмотрим промежутки, определяемые корнями $x = 1$ и $x = 10$:

• При $x < 1$: оба множителя отрицательны, значит произведение положительное.
• При $1 < x < 10$: один множитель отрицателен, другой — положителен, значит произведение отрицательное.
• При $x > 10$: оба множителя положительные, значит произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется при $1 \leq x \leq 10$.

Ответ: $x = 5.5$.

б) $y = \sqrt{(x+2)(4-x)} = \sqrt{4x — x^2 + 8 — 2x} = \sqrt{2x — x^2 + 8}$;

Решение:

Производная функции.

Для нахождения производной функции применяем то же правило, что и в предыдущем случае:

$$y = \sqrt{2x — x^2 + 8}$$ $$y’ = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{2x — x^2 + 8} \right) = \frac{2 — 2x}{2\sqrt{2x — x^2 + 8}} = \frac{1 — x}{\sqrt{2x — x^2 + 8}}$$

Промежуток возрастания.

Аналогично предыдущему случаю, исследуем знак производной:

$$y’ = \frac{1 — x}{\sqrt{2x — x^2 + 8}} \geq 0$$

Знаменатель всегда положительный, поэтому исследуем числитель:

$$1 — x \geq 0$$ $$x \leq 1$$

Таким образом, функция возрастает, когда $x \leq 1$.

Область определения.

Область определения функции — это значения $x$, при которых подкоренное выражение не отрицательно:

$$(x+2)(4-x) \geq 0$$

Решим неравенство. Для этого рассмотрим промежутки, определяемые корнями $x = -2$ и $x = 4$:

• При $x < -2$: оба множителя отрицательные, произведение положительное.
• При $-2 < x < 4$: один множитель положительный, другой отрицательный, произведение отрицательное.
• При $x > 4$: оба множителя положительные, произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется при $-2 \leq x \leq 4$.

Ответ: $x = 1$.

в) $y = \sqrt{(2x-6)(7-x)} = \sqrt{14x — 2x^2 — 42 + 6x} = \sqrt{20x — 2x^2 — 42}$;

Решение:

Производная функции.

Применим правило дифференцирования:

$$y = \sqrt{20x — 2x^2 — 42}$$ $$y’ = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{20x — 2x^2 — 42} \right) = \frac{20 — 4x}{2\sqrt{20x — 2x^2 — 42}} = \frac{10 — 2x}{\sqrt{20x — 2x^2 — 42}}$$

Промежуток возрастания.

Анализируем знак производной:

$$y’ = \frac{10 — 2x}{\sqrt{20x — 2x^2 — 42}} \geq 0$$

Знаменатель всегда положительный, поэтому исследуем числитель:

$$10 — 2x \geq 0$$ $$10 \geq 2x$$ $$x \leq 5$$

Таким образом, функция возрастает, когда $x \leq 5$.

Область определения.

Область определения функции — это значения $x$, при которых подкоренное выражение не отрицательно:

$$(2x-6)(7-x) \geq 0$$

Решим неравенство. Для этого рассмотрим промежутки, определяемые корнями $x = 3$ и $x = 7$:

• При $x < 3$: оба множителя отрицательны, произведение положительное.
• При $3 < x < 7$: один множитель положительный, другой отрицательный, произведение отрицательное.
• При $x > 7$: оба множителя положительные, произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется при $3 \leq x \leq 7$.

Ответ: $x = 5$.

г) $y = \sqrt{(5-x)(x-3)} = \sqrt{5x — 15 — x^2 + 3x} = \sqrt{8x — x^2 — 15}$;

Решение:

Производная функции.

Применяем правило дифференцирования:

$$y = \sqrt{8x — x^2 — 15}$$ $$y’ = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{8x — x^2 — 15} \right) = \frac{8 — 2x}{2\sqrt{8x — x^2 — 15}} = \frac{4 — x}{\sqrt{8x — x^2 — 15}}$$

Промежуток возрастания.

Анализируем знак производной:

$$y’ = \frac{4 — x}{\sqrt{8x — x^2 — 15}} \geq 0$$

Знаменатель всегда положительный, поэтому исследуем числитель:

$$4 — x \geq 0$$ $$x \leq 4$$

Таким образом, функция возрастает, когда $x \leq 4$.

Область определения.

Область определения функции — это значения $x$, при которых подкоренное выражение не отрицательно:

$$(5-x)(x-3) \geq 0$$

Решим неравенство. Для этого рассмотрим промежутки, определяемые корнями $x = 3$ и $x = 5$:

• При $x < 3$: оба множителя положительны, произведение положительное.
• При $3 < x < 5$: один множитель положительный, другой отрицательный, произведение отрицательное.
• При $x > 5$: оба множителя отрицательны, произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется при $3 \leq x \leq 5$.

Ответ: $x = 4$.