ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наибольшего значения:

a) $y=\sqrt{x-5}+\sqrt{9-x}$

б) $y=3\sqrt{x+1}+\sqrt{-x}$

в) $y=\sqrt{10-2x}+\sqrt{3x}$

г) $y=\sqrt{8-3x}+\sqrt{x}$

a) $y = \sqrt{x-5} + \sqrt{9-x}$

Производная функции:

$$y’ = (\sqrt{x-5})’ + (\sqrt{9-x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x-5}} — \frac{1}{2\sqrt{9-x}}$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{1}{2\sqrt{x-5}} — \frac{1}{2\sqrt{9-x}} \geq 0$$ $$\frac{\sqrt{9-x} — \sqrt{x-5}}{2 \cdot \sqrt{x-5} \cdot \sqrt{9-x}} \geq 0$$ $$\sqrt{9-x} — \sqrt{x-5} \geq 0$$ $$9 — x — x + 5 \geq 0$$ $$-2x + 14 \geq 0$$ $$14 \geq 2x, \text{ отсюда } x \leq 7$$

Область определения:

$$x — 5 \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 5$$ $$9 — x \geq 0, \text{ отсюда } x \leq 9$$

Ответ: $x = 7$.

б) $y = 3\sqrt{x+1} + \sqrt{-x}$

Производная функции:

$$y’ = 3(\sqrt{x+1})’ + (\sqrt{-x})’ = \frac{3}{2\sqrt{x+1}} — \frac{1}{2\sqrt{-x}}$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{3}{2\sqrt{x+1}} — \frac{1}{2\sqrt{-x}} \geq 0$$ $$\frac{3\sqrt{-x} — \sqrt{x+1}}{2 \cdot \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{-x}} \geq 0$$ $$3\sqrt{-x} — \sqrt{x+1} \geq 0$$ $$-9x — x — 1 \geq 0$$ $$-10x — 1 \geq 0$$ $$-1 \geq 10x, \text{ отсюда } x \leq -0.1$$

Область определения:

$$x + 1 \geq 0, \text{ отсюда } x \geq -1$$ $$-x \geq 0, \text{ отсюда } x \leq 0$$

Ответ: $x = -0.1$.

в) $y = \sqrt{10-2x} + \sqrt{3x}$

Производная функции:

$$y’ = (\sqrt{10-2x})’ + (\sqrt{3x})’$$ $$y’ = \frac{-2}{2\sqrt{10-2x}} + \frac{3}{2\sqrt{3x}} = \frac{3}{2\sqrt{3x}} — \frac{1}{\sqrt{10-2x}}$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{3}{2\sqrt{3x}} — \frac{1}{\sqrt{10-2x}} \geq 0$$ $$\frac{3\sqrt{10-2x} — 2\sqrt{3x}}{2 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{10-2x}} \geq 0$$ $$3\sqrt{10-2x} — 2\sqrt{3x} \geq 0$$ $$9(10-2x) — 4 \cdot 3x \geq 0$$ $$90 — 18x — 12x \geq 0$$ $$90 — 30x \geq 0$$ $$90 \geq 30x, \text{ отсюда } x \leq 3$$

Область определения:

$$10 — 2x \geq 0, \text{ отсюда } x \leq 5$$ $$3x \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 0$$

Ответ: $x = 3$.

г) $y = \sqrt{8-3x} + \sqrt{x}$

Производная функции:

$$y’ = (\sqrt{8-3x})’ + (\sqrt{x})’ = \frac{-3}{2\sqrt{8-3x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} — \frac{3}{2\sqrt{8-3x}} \geq 0$$ $$\frac{\sqrt{8-3x} — 3\sqrt{x}}{2 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{8-3x}} \geq 0$$ $$\sqrt{8-3x} — 3\sqrt{x} \geq 0$$ $$8 — 3x — 9x \geq 0$$ $$8 — 12x \geq 0$$ $$2 — 3x \geq 0$$ $$2 \geq 3x, \text{ отсюда } x \leq \frac{2}{3}$$

Область определения:

$$8 — 3x \geq 0, \text{ отсюда } x \leq \frac{8}{3}$$ $$x \geq 0$$

Ответ: $x = \frac{2}{3}$.

a) $y = \sqrt{x-5} + \sqrt{9-x}$

Производная функции:

Для вычисления производной воспользуемся правилом дифференцирования корня:

$$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{u(x)} \right) = \frac{1}{2\sqrt{u(x)}} \cdot u'(x)$$

Применяем это правило к каждому из слагаемых.

• Для первого слагаемого $\sqrt{x — 5}$ применяем правило:

  $$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{x — 5} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x — 5}} \cdot \frac{d}{dx}(x — 5) = \frac{1}{2\sqrt{x — 5}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x — 5}}$$

• Для второго слагаемого $\sqrt{9 — x}$ также применяем это же правило:

  $$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{9 — x} \right) = \frac{1}{2\sqrt{9 — x}} \cdot \frac{d}{dx}(9 — x) = \frac{1}{2\sqrt{9 — x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{9 — x}}$$

Итак, полная производная функции:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{x — 5}} — \frac{1}{2\sqrt{9 — x}}$$

Промежуток возрастания:

Для нахождения промежутка возрастания исследуем знак производной. Мы ищем, где $y’ \geq 0$, то есть:

$$\frac{1}{2\sqrt{x — 5}} — \frac{1}{2\sqrt{9 — x}} \geq 0$$

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от дробей:

$$\frac{1}{\sqrt{x — 5}} — \frac{1}{\sqrt{9 — x}} \geq 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\sqrt{9 — x} — \sqrt{x — 5}}{\sqrt{x — 5} \cdot \sqrt{9 — x}} \geq 0$$

Теперь числитель должен быть неотрицательным:

$$\sqrt{9 — x} — \sqrt{x — 5} \geq 0$$

Это выражение можно преобразовать следующим образом:

$$\sqrt{9 — x} \geq \sqrt{x — 5}$$

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$$9 — x \geq x — 5$$

Упростим:

$$9 — x \geq x — 5 \quad \Rightarrow \quad 9 + 5 \geq 2x \quad \Rightarrow \quad 14 \geq 2x$$

Разделим на 2:

$$x \leq 7$$

Таким образом, для функции $y$ будет возрастать при $x \leq 7$.

Область определения:

Область определения функции $y = \sqrt{x — 5} + \sqrt{9 — x}$ определяется тем, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

• Для $\sqrt{x — 5}$ условие $x — 5 \geq 0$ даёт $x \geq 5$.
• Для $\sqrt{9 — x}$ условие $9 — x \geq 0$ даёт $x \leq 9$.

Следовательно, область определения функции:

$$5 \leq x \leq 9$$

Ответ: $x = 7$.

б) $y = 3\sqrt{x+1} + \sqrt{-x}$

Производная функции:

• Для первого слагаемого $3\sqrt{x+1}$ применяем правило:

  $$\frac{d}{dx} \left( 3\sqrt{x+1} \right) = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} = \frac{3}{2\sqrt{x+1}}$$

• Для второго слагаемого $\sqrt{-x}$ также применяем правило:

  $$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{-x} \right) = \frac{1}{2\sqrt{-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{-x}}$$

Итак, полная производная функции:

$$y’ = \frac{3}{2\sqrt{x + 1}} — \frac{1}{2\sqrt{-x}}$$

Промежуток возрастания:

Для нахождения промежутка возрастания исследуем знак производной. Мы ищем, где $y’ \geq 0$, то есть:

$$\frac{3}{2\sqrt{x+1}} — \frac{1}{2\sqrt{-x}} \geq 0$$

Умножим обе части на 2:

$$\frac{3}{\sqrt{x+1}} — \frac{1}{\sqrt{-x}} \geq 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{3\sqrt{-x} — \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{-x}} \geq 0$$

Числитель должен быть неотрицательным:

$$3\sqrt{-x} — \sqrt{x+1} \geq 0$$

Преобразуем:

$$3\sqrt{-x} \geq \sqrt{x+1}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$9(-x) \geq x + 1$$

Упростим:

$$-9x \geq x + 1 \quad \Rightarrow \quad -9x — x \geq 1 \quad \Rightarrow \quad -10x \geq 1$$

Разделим на -10 (не меняя неравенства, так как делим на отрицательное число):

$$x \leq -0.1$$

Область определения:

Область определения функции $y = 3\sqrt{x+1} + \sqrt{-x}$ также определяется тем, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

• Для $\sqrt{x + 1}$ условие $x + 1 \geq 0$ даёт $x \geq -1$.
• Для $\sqrt{-x}$ условие $-x \geq 0$ даёт $x \leq 0$.

Следовательно, область определения функции:

$$-1 \leq x \leq 0$$

Ответ: $x = -0.1$.

в) $y = \sqrt{10-2x} + \sqrt{3x}$

Производная функции:

Для первого слагаемого $\sqrt{10-2x}$ применяем правило:

$$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{10-2x} \right) = \frac{-2}{2\sqrt{10-2x}} = \frac{-1}{\sqrt{10-2x}}$$

Для второго слагаемого $\sqrt{3x}$ применяем правило:

$$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{3x} \right) = \frac{3}{2\sqrt{3x}} = \frac{3}{2\sqrt{3x}}$$

Итак, полная производная функции:

$$y’ = \frac{3}{2\sqrt{3x}} — \frac{1}{\sqrt{10-2x}}$$

Промежуток возрастания:

Для нахождения промежутка возрастания исследуем знак производной. Мы ищем, где $y’ \geq 0$, то есть:

$$\frac{3}{2\sqrt{3x}} — \frac{1}{\sqrt{10-2x}} \geq 0$$

Умножим обе части на 2:

$$\frac{3}{\sqrt{3x}} — \frac{1}{\sqrt{10-2x}} \geq 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{3\sqrt{10-2x} — 2\sqrt{3x}}{2 \cdot \sqrt{3x} \cdot \sqrt{10-2x}} \geq 0$$

Числитель должен быть неотрицательным:

$$3\sqrt{10-2x} — 2\sqrt{3x} \geq 0$$

Преобразуем:

$$3\sqrt{10-2x} \geq 2\sqrt{3x}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$9(10-2x) \geq 4 \cdot 3x$$

Упростим:

$$90 — 18x \geq 12x \quad \Rightarrow \quad 90 \geq 30x \quad \Rightarrow \quad x \leq 3$$

Область определения:

Область определения функции $y = \sqrt{10-2x} + \sqrt{3x}$ определяется тем, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

• Для $\sqrt{10 — 2x}$ условие $10 — 2x \geq 0$ даёт $x \leq 5$.
• Для $\sqrt{3x}$ условие $3x \geq 0$ даёт $x \geq 0$.

Следовательно, область определения функции:

$$0 \leq x \leq 5$$

Ответ: $x = 3$.

г) $y = \sqrt{8-3x} + \sqrt{x}$

Производная функции:

Для первого слагаемого $\sqrt{8-3x}$ применяем правило:

$$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{8-3x} \right) = \frac{-3}{2\sqrt{8-3x}}$$

Для второго слагаемого $\sqrt{x}$ применяем правило:

$$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{x} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Итак, полная производная функции:

$$y’ = \frac{-3}{2\sqrt{8-3x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Промежуток возрастания:

Для нахождения промежутка возрастания исследуем знак производной. Мы ищем, где $y’ \geq 0$, то есть:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} — \frac{3}{2\sqrt{8-3x}} \geq 0$$

Умножим обе части на 2:

$$\frac{1}{\sqrt{x}} — \frac{3}{\sqrt{8-3x}} \geq 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\sqrt{8-3x} — 3\sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{8-3x}} \geq 0$$

Числитель должен быть неотрицательным:

$$\sqrt{8-3x} — 3\sqrt{x} \geq 0$$

Преобразуем:

$$\sqrt{8-3x} \geq 3\sqrt{x}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$8 — 3x \geq 9x$$

Упростим:

$$8 \geq 12x \quad \Rightarrow \quad x \leq \frac{2}{3}$$

Область определения:

Область определения функции $y = \sqrt{8-3x} + \sqrt{x}$ определяется тем, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

• Для $\sqrt{8 — 3x}$ условие $8 — 3x \geq 0$ даёт $x \leq \frac{8}{3}$.
• Для $\sqrt{x}$ условие $x \geq 0$ даёт $x \geq 0$.

Следовательно, область определения функции:

$$0 \leq x \leq \frac{8}{3}$$

Ответ: $x = \frac{2}{3}$.