ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наименьшего значения:

а) $y = \sqrt{x^2 — 8x + 17}$;

б) $y = \sqrt{7(x + 9)(x — 6)}$;

в) $y = \sqrt{x^2 + 4x + 10}$;

г) $y = \sqrt{2(x — 4)(x + 8)}$

а) $y = \sqrt{x^2 — 8x + 17}$;

Производная функции:

$$y’ = \left( \sqrt{x^2 — 8x + 17} \right)’;$$ $$y’ = \frac{2x — 8}{2\sqrt{x^2 — 8x + 17}} = \frac{x — 4}{\sqrt{x^2 — 8x + 17}};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{x — 4}{\sqrt{x^2 — 8x + 17}} \geq 0;$$ $$x — 4 \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 4;$$

Область определения:

$$x^2 — 8x + 17 \neq 0;$$ $$D = 8^2 — 4 \cdot 17 = 64 — 68 = -4;$$ $$D < 0, \text{ значит } x \in \mathbb{R};$$

Ответ: $x = 4$.

б) $y = \sqrt{7(x + 9)(x — 6)}$;

$$y = \sqrt{7x^2 — 42x + 63x — 378} = \sqrt{7x^2 + 21x — 378};$$

Производная функции:

$$y’ = \left( \sqrt{7x^2 + 21x — 378} \right)’ = \frac{7 \cdot 2x + 21}{2\sqrt{7x^2 + 21x — 378}};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{14x + 21}{2\sqrt{7x^2 + 21x — 378}} \geq 0;$$ $$14x + 21 \geq 0;$$ $$2x + 3 \geq 0;$$ $$2x \geq -3, \text{ отсюда } x \geq -1.5;$$

Область определения:

$$7(x + 9)(x — 6) \geq 0;$$ $$x \leq -9 \text{ или } x \geq 6;$$

Ответ: $x = -9; \, x = 6$.

в) $y = \sqrt{x^2 + 4x + 10}$;

Производная функции:

$$y’ = \left( \sqrt{x^2 + 4x + 10} \right)’;$$ $$y’ = \frac{2x + 4}{2\sqrt{x^2 + 4x + 10}} = \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x + 10}};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x + 10}} \geq 0;$$ $$x + 2 \geq 0, \text{ отсюда } x \geq -2;$$

Область определения:

$$x^2 + 4x + 10 \neq 0;$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 10 = 16 — 40 = -24;$$ $$D < 0, \text{ значит } x \in \mathbb{R};$$

Ответ: $x = -2$.

г) $y = \sqrt{2(x — 4)(x + 8)}$;

$$y = \sqrt{2x^2 + 16x — 8x — 64} = \sqrt{2x^2 + 8x — 64};$$

Производная функции:

$$y’ = \left( \sqrt{2x^2 + 8x — 64} \right)’;$$ $$y’ = \frac{2 \cdot 2x + 8}{2\sqrt{2x^2 + 8x — 64}} = \frac{2x + 4}{\sqrt{2x^2 + 8x — 64}};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{2x + 4}{\sqrt{2x^2 + 8x — 64}} \geq 0;$$ $$2x + 4 \geq 0;$$ $$2x \geq -4, \text{ отсюда } x \geq -2;$$

Область определения:

$$2(x — 4)(x + 8) \geq 0;$$ $$x \leq -8 \text{ или } x \geq 4;$$

Ответ: $x = -8; \, x = 4$.

а) $y = \sqrt{x^2 — 8x + 17}$;

Производная функции:

Для нахождения производной функции используем правило дифференцирования сложных функций. Производная функции $y = \sqrt{u(x)}$, где $u(x) = x^2 — 8x + 17$, по правилу дифференцирования составных функций будет равна:

$$y’ = \frac{d}{dx}\left( \sqrt{x^2 — 8x + 17} \right)$$

Применим цепное правило:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{x^2 — 8x + 17}} \cdot \frac{d}{dx} \left( x^2 — 8x + 17 \right)$$

Дифференцируем выражение внутри корня:

$$\frac{d}{dx}(x^2 — 8x + 17) = 2x — 8$$

Подставляем в формулу для производной:

$$y’ = \frac{2x — 8}{2\sqrt{x^2 — 8x + 17}} = \frac{x — 4}{\sqrt{x^2 — 8x + 17}}$$

Промежуток возрастания:

Промежуток возрастания функции находим, исследуя знак производной. Для этого приравняем производную к неотрицательному значению:

$$y’ = \frac{x — 4}{\sqrt{x^2 — 8x + 17}} \geq 0$$

Поскольку знаменатель $\sqrt{x^2 — 8x + 17}$ всегда положителен (он является квадратным корнем из выражения, которое всегда больше нуля), знак дроби определяется только числителем:

$$x — 4 \geq 0$$

Отсюда получаем:

$$x \geq 4$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[4, +\infty)$.

Область определения:

Область определения функции $y = \sqrt{x^2 — 8x + 17}$ определяется тем, чтобы выражение под корнем было неотрицательным, то есть:

$$x^2 — 8x + 17 \geq 0$$

Для того, чтобы понять, когда это выражение больше или равно нулю, найдем дискриминант квадратного выражения:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 17 = 64 — 68 = -4$$

Так как дискриминант меньше нуля ($D < 0$), это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс и всегда имеет положительные значения для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа:

$$D < 0 \quad \Rightarrow \quad x \in \mathbb{R}$$

Ответ: $x = 4$.

б) $y = \sqrt{7(x + 9)(x — 6)}$;

Производная функции:

Для нахождения производной функции используем те же принципы, что и в предыдущем пункте. Сначала упростим подкоренное выражение:

$$y = \sqrt{7(x + 9)(x — 6)} = \sqrt{7x^2 — 42x + 63x — 378} = \sqrt{7x^2 + 21x — 378}$$

Теперь найдем производную:

$$y’ = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{7x^2 + 21x — 378} \right)$$

Применим цепное правило:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{7x^2 + 21x — 378}} \cdot \frac{d}{dx} \left( 7x^2 + 21x — 378 \right)$$

Дифференцируем выражение внутри корня:

$$\frac{d}{dx}(7x^2 + 21x — 378) = 14x + 21$$

Подставляем в формулу для производной:

$$y’ = \frac{14x + 21}{2\sqrt{7x^2 + 21x — 378}}$$

Промежуток возрастания:

Промежуток возрастания функции находим, исследуя знак производной. Для этого приравняем производную к неотрицательному значению:

$$y’ = \frac{14x + 21}{2\sqrt{7x^2 + 21x — 378}} \geq 0$$

Знаменатель всегда положителен, так как это квадратный корень. Поэтому знак дроби зависит только от числителя:

$$14x + 21 \geq 0$$

Упрощаем:

$$2x + 3 \geq 0$$ $$2x \geq -3$$ $$x \geq -1.5$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[-1.5, +\infty)$.

Область определения:

Область определения функции $y = \sqrt{7(x + 9)(x — 6)}$ определяется тем, чтобы выражение под корнем было неотрицательным:

$$7(x + 9)(x — 6) \geq 0$$

Для нахождения промежутков, где это неравенство выполняется, раскроем скобки и рассмотрим знаки произведения:

$$(x + 9)(x — 6) \geq 0$$

Решаем неравенство:

$$(x + 9) \geq 0 \quad \text{или} \quad (x — 6) \geq 0$$

Промежутки, где это неравенство выполняется, это:

$$x \leq -9 \quad \text{или} \quad x \geq 6$$

Ответ: $x = -9; \, x = 6$.

в) $y = \sqrt{x^2 + 4x + 10}$;

Производная функции:

Для нахождения производной снова применим цепное правило. Дифференцируем $y = \sqrt{x^2 + 4x + 10}$:

$$y’ = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 + 4x + 10} \right)$$ $$y’ = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4x + 10}} \cdot \frac{d}{dx} \left( x^2 + 4x + 10 \right)$$

Дифференцируем выражение внутри корня:

$$\frac{d}{dx}(x^2 + 4x + 10) = 2x + 4$$

Подставляем в формулу для производной:

$$y’ = \frac{2x + 4}{2\sqrt{x^2 + 4x + 10}} = \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x + 10}}$$

Промежуток возрастания:

Промежуток возрастания функции находим, исследуя знак производной. Для этого приравняем производную к неотрицательному значению:

$$y’ = \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x + 10}} \geq 0$$

Знаменатель всегда положителен, так как это квадратный корень. Поэтому знак дроби зависит только от числителя:

$$x + 2 \geq 0$$

Отсюда получаем:

$$x \geq -2$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[-2, +\infty)$.

Область определения:

Область определения функции $y = \sqrt{x^2 + 4x + 10}$ определяется тем, чтобы выражение под корнем было неотрицательным:

$$x^2 + 4x + 10 \geq 0$$

Для нахождения области определения находим дискриминант квадратного выражения:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 16 — 40 = -24$$

Так как дискриминант меньше нуля, это означает, что выражение под корнем всегда положительно. Следовательно, область определения функции — все действительные числа:

$$D < 0 \quad \Rightarrow \quad x \in \mathbb{R}$$

Ответ: $x = -2$.

г) $y = \sqrt{2(x — 4)(x + 8)}$;

Производная функции:

Для нахождения производной, опять же, используем цепное правило. Упростим выражение под корнем:

$$y = \sqrt{2(x — 4)(x + 8)} = \sqrt{2x^2 + 16x — 8x — 64} = \sqrt{2x^2 + 8x — 64}$$

Теперь находим производную:

$$y’ = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{2x^2 + 8x — 64} \right)$$

Применяем цепное правило:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 + 8x — 64}} \cdot \frac{d}{dx} \left( 2x^2 + 8x — 64 \right)$$

Дифференцируем выражение внутри корня:

$$\frac{d}{dx}(2x^2 + 8x — 64) = 4x + 8$$

Подставляем в формулу для производной:

$$y’ = \frac{4x + 8}{2\sqrt{2x^2 + 8x — 64}} = \frac{2x + 4}{\sqrt{2x^2 + 8x — 64}}$$

Промежуток возрастания:

Промежуток возрастания функции находим, исследуя знак производной. Для этого приравняем производную к неотрицательному значению:

$$y’ = \frac{2x + 4}{\sqrt{2x^2 + 8x — 64}} \geq 0$$

Знаменатель всегда положителен, так как это квадратный корень. Поэтому знак дроби зависит только от числителя:

$$2x + 4 \geq 0$$

Упрощаем:

$$2x \geq -4$$ $$x \geq -2$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[-2, +\infty)$.

Область определения:

Область определения функции $y = \sqrt{2(x — 4)(x + 8)}$ определяется тем, чтобы выражение под корнем было неотрицательным:

$$2(x — 4)(x + 8) \geq 0$$

Решаем неравенство:

$$(x — 4)(x + 8) \geq 0$$

Промежутки, где это неравенство выполняется, это:

$$x \leq -8 \quad \text{или} \quad x \geq 4$$

Ответ: $x = -8; \, x = 4$.