ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y = \sqrt{(x-5)(15-x)} = \sqrt{15x — x^2 — 75 + 5x} = \sqrt{20x — x^2 — 75};$

б) $y = \sqrt{(2x+4)(3-x)} = \sqrt{6x — 2x^2 + 12 — 4x} = \sqrt{2x — 2x^2 + 12};$

в) $y = \sqrt{(12-x)(x-4)} = \sqrt{12x — 48 — x^2 + 4x} = \sqrt{16x — x^2 — 48};$

г) $y=\sqrt{(5-x)(3x+6)}$$$

а) $y = \sqrt{(x-5)(15-x)} = \sqrt{15x — x^2 — 75 + 5x} = \sqrt{20x — x^2 — 75};$

Производная функции:

$$y’ = \left( \sqrt{20x — x^2 — 75} \right)’ = \frac{20 — 2x}{2\sqrt{20x — x^2 — 75}} = \frac{10 — x}{\sqrt{20x — x^2 — 75}};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{10 — x}{\sqrt{20x — x^2 — 75}} \geq 0;$$ $$10 — x \geq 0, \text{ отсюда } x \leq 10;$$

Область определения:

$$(x-5)(15-x) \geq 0;$$ $$5 \leq x \leq 15;$$

Наибольшее значение:

$$y(10) = \sqrt{(10-5)(15-10)} = \sqrt{5 \cdot 5} = 5;$$

Ответ: $y_{\min} = 0; \, y_{\max} = 5.$

б) $y = \sqrt{(2x+4)(3-x)} = \sqrt{6x — 2x^2 + 12 — 4x} = \sqrt{2x — 2x^2 + 12};$

Производная функции:

$$y’ = \left( \sqrt{2x — 2x^2 + 12} \right)’ = \frac{2 — 2 \cdot 2x}{2\sqrt{2x — 2x^2 + 12}} = \frac{1 — 2x}{\sqrt{2x — 2x^2 + 12}};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{1 — 2x}{\sqrt{2x — 2x^2 + 12}} \geq 0;$$ $$1 — 2x \geq 0;$$ $$1 \geq 2x, \text{ отсюда } x \leq \frac{1}{2};$$

Область определения:

$$(2x+4)(3-x) \geq 0;$$ $$2 \leq x \leq 3;$$

Наибольшее значение:

$$y\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\left(2 \cdot \frac{1}{2} + 4\right)\left(3 — \frac{1}{2}\right)} = \sqrt{5 \cdot \frac{5}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2};$$

Ответ: $y_{\min} = 0; \, y_{\max} = \frac{5\sqrt{2}}{2}.$

в) $y = \sqrt{(12-x)(x-4)} = \sqrt{12x — 48 — x^2 + 4x} = \sqrt{16x — x^2 — 48};$

Производная функции:

$$y’ = \left( \sqrt{16x — x^2 — 48} \right)’ = \frac{16 — 2x}{2\sqrt{16x — x^2 — 48}} = \frac{8 — x}{\sqrt{16x — x^2 — 48}};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{8 — x}{\sqrt{16x — x^2 — 48}} \geq 0;$$ $$8 — x \geq 0, \text{ отсюда } x \leq 8;$$

Область определения:

$$(12-x)(x-4) \geq 0;$$ $$4 \leq x \leq 12;$$

Наибольшее значение:

$$y(8) = \sqrt{(12-8)(8-4)} = \sqrt{4 \cdot 4} = 4;$$

Ответ: $y_{\min} = 0; \, y_{\max} = 4.$

г) $y = \sqrt{(5-x)(3x+6)} = \sqrt{15x + 30 — 3x^2 — 6x} = \sqrt{9x — 3x^2 + 30};$

Производная функции:

$$y’ = \left( \sqrt{9x — 3x^2 + 30} \right)’ = \frac{9 — 6x}{2\sqrt{9x — 3x^2 + 30}};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{9 — 6x}{2\sqrt{9x — 3x^2 + 30}} \geq 0;$$ $$9 — 6x \geq 0;$$ $$9 \geq 6x, \text{ отсюда } x \leq \frac{3}{2};$$

Область определения:

$$(5-x)(3x+6) \geq 0;$$ $$-2 \leq x \leq 5;$$

Наибольшее значение:

$$y\left(\frac{3}{2}\right) = \sqrt{\left(5 — \frac{3}{2}\right)\left(3 \cdot \frac{3}{2} + 6\right)} = \sqrt{\frac{7}{2} \cdot \frac{21}{2}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 7 \cdot 7}{2 \cdot 2}} = \frac{7\sqrt{3}}{2};$$

Ответ: $y_{\min }=0;y_{\max }=\frac{7\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$

а) $y = \sqrt{(x-5)(15-x)}$

Преобразование выражения:

Исходное выражение:

$$y = \sqrt{(x-5)(15-x)}$$

Раскроем скобки внутри корня:

$$(x-5)(15-x) = 15x — x^2 — 75 + 5x = 20x — x^2 — 75$$

Таким образом:

$$y = \sqrt{20x — x^2 — 75}$$

Нахождение производной:

Применяем правило дифференцирования сложной функции для функции вида $y = \sqrt{u(x)}$, где $u(x) = 20x — x^2 — 75$:

$$y’ = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{20x — x^2 — 75} \right)$$

Используем производную для корня:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{u(x)}} \cdot \frac{d}{dx}[u(x)]$$

Сначала найдем производную от $u(x)$:

$$u(x) = 20x — x^2 — 75$$ $$u'(x) = 20 — 2x$$

Подставляем это в выражение для производной:

$$y’ = \frac{20 — 2x}{2\sqrt{20x — x^2 — 75}} = \frac{10 — x}{\sqrt{20x — x^2 — 75}}$$

Промежуток возрастания:

Функция возрастает, когда производная $y’$ неотрицательна:

$$\frac{10 — x}{\sqrt{20x — x^2 — 75}} \geq 0$$

Поскольку знаменатель всегда положителен (корень из выражения в нем всегда неотрицателен для допустимых значений $x$), достаточно решить неравенство в числителе:

$$10 — x \geq 0$$ $$x \leq 10$$

Таким образом, функция возрастает при $x \leq 10$.

Область определения:

Функция определена, когда выражение под корнем неотрицательно:

$$(x-5)(15-x) \geq 0$$

Для решения этого неравенства нужно найти, при каких значениях $x$ произведение двух множителей неотрицательно. Это произойдет, когда оба множителя либо оба положительные, либо оба отрицательные:

• $x — 5 \geq 0$ и $15 — x \geq 0$, что дает $5 \leq x \leq 15$
• или $x — 5 \leq 0$ и $15 — x \leq 0$, что также дает $5 \leq x \leq 15$

Таким образом, область определения: $5 \leq x \leq 15$.

Наибольшее значение:

Для нахождения наибольшего значения функции нужно найти значение $y$ при $x = 10$ (так как это граничная точка на интервале):

$$y(10) = \sqrt{(10-5)(15-10)} = \sqrt{5 \cdot 5} = 5$$

Ответ: $y_{\min} = 0$, $y_{\max} = 5$.

б) $y = \sqrt{(2x+4)(3-x)}$

Преобразование выражения:

Исходное выражение:

$$y = \sqrt{(2x+4)(3-x)}$$

Раскроем скобки внутри корня:

$$(2x+4)(3-x) = 6x — 2x^2 + 12 — 4x = 2x — 2x^2 + 12$$

Таким образом:

$$y = \sqrt{2x — 2x^2 + 12}$$

Нахождение производной:

Применяем правило дифференцирования для корня:

$$y’ = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{2x — 2x^2 + 12} \right)$$

Производная от $u(x) = 2x — 2x^2 + 12$ будет:

$$u'(x) = 2 — 4x$$

Таким образом, производная $y’$ будет:

$$y’ = \frac{2 — 4x}{2\sqrt{2x — 2x^2 + 12}} = \frac{1 — 2x}{\sqrt{2x — 2x^2 + 12}}$$

Промежуток возрастания:

Функция возрастает, когда производная неотрицательна:

$$\frac{1 — 2x}{\sqrt{2x — 2x^2 + 12}} \geq 0$$

Поскольку знаменатель всегда положителен, достаточно решить неравенство в числителе:

$$1 — 2x \geq 0$$ $$x \leq \frac{1}{2}$$

Таким образом, функция возрастает при $x \leq \frac{1}{2}$.

Область определения:

Для определения области определения необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным:

$$(2x+4)(3-x) \geq 0$$

Решаем это неравенство методом интервалов:

• $2x + 4 \geq 0$ при $x \geq -2$
• $3 — x \geq 0$ при $x \leq 3$

Пересечение этих интервалов дает область определения: $-2 \leq x \leq 3$.

Наибольшее значение:

Для нахождения наибольшего значения функции нужно найти значение $y$ при $x = \frac{1}{2}$:

$$y\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\left(2 \cdot \frac{1}{2} + 4\right)\left(3 — \frac{1}{2}\right)} = \sqrt{5 \cdot \frac{5}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $y_{\min} = 0$, $y_{\max} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

в) $y = \sqrt{(12-x)(x-4)}$

Преобразование выражения:

Исходное выражение:

$$y = \sqrt{(12-x)(x-4)}$$

Раскроем скобки внутри корня:

$$(12-x)(x-4) = 12x — 48 — x^2 + 4x = 16x — x^2 — 48$$

Таким образом:

$$y = \sqrt{16x — x^2 — 48}$$

Нахождение производной:

Применяем правило дифференцирования для корня:

$$y’ = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{16x — x^2 — 48} \right)$$

Производная от $u(x) = 16x — x^2 — 48$ будет:

$$u'(x) = 16 — 2x$$

Таким образом, производная $y’$ будет:

$$y’ = \frac{16 — 2x}{2\sqrt{16x — x^2 — 48}} = \frac{8 — x}{\sqrt{16x — x^2 — 48}}$$

Промежуток возрастания:

Функция возрастает, когда производная неотрицательна:

$$\frac{8 — x}{\sqrt{16x — x^2 — 48}} \geq 0$$

Поскольку знаменатель всегда положителен, достаточно решить неравенство в числителе:

$$8 — x \geq 0$$ $$x \leq 8$$

Таким образом, функция возрастает при $x \leq 8$.

Область определения:

Для определения области определения необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным:

$$(12-x)(x-4) \geq 0$$

Решаем это неравенство методом интервалов:

• $12 — x \geq 0$ при $x \leq 12$
• $x — 4 \geq 0$ при $x \geq 4$

Пересечение этих интервалов дает область определения: $4 \leq x \leq 12$.

Наибольшее значение:

Для нахождения наибольшего значения функции нужно найти значение $y$ при $x = 8$:

$$y(8) = \sqrt{(12-8)(8-4)} = \sqrt{4 \cdot 4} = 4$$

Ответ: $y_{\min} = 0$, $y_{\max} = 4$.

г) $y = \sqrt{(5-x)(3x+6)}$

Преобразование выражения:

Исходное выражение:

$$y = \sqrt{(5-x)(3x+6)}$$

Раскроем скобки внутри корня:

$$(5-x)(3x+6) = 15x + 30 — 3x^2 — 6x = 9x — 3x^2 + 30$$

Таким образом:

$$y = \sqrt{9x — 3x^2 + 30}$$

Нахождение производной:

Применяем правило дифференцирования для корня:

$$y’ = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{9x — 3x^2 + 30} \right)$$

Производная от $u(x) = 9x — 3x^2 + 30$ будет:

$$u'(x) = 9 — 6x$$

Таким образом, производная $y’$ будет:

$$y’ = \frac{9 — 6x}{2\sqrt{9x — 3x^2 + 30}}$$

Промежуток возрастания:

Функция возрастает, когда производная неотрицательна:

$$\frac{9 — 6x}{2\sqrt{9x — 3x^2 + 30}} \geq 0$$

Поскольку знаменатель всегда положителен, достаточно решить неравенство в числителе:

$$9 — 6x \geq 0$$ $$x \leq \frac{3}{2}$$

Таким образом, функция возрастает при $x \leq \frac{3}{2}$.

Область определения:

Для определения области определения необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным:

$$(5-x)(3x+6) \geq 0$$

Решаем это неравенство методом интервалов:

• $5 — x \geq 0$ при $x \leq 5$
• $3x + 6 \geq 0$ при $x \geq -2$

Пересечение этих интервалов дает область определения: $-2 \leq x \leq 5$.

Наибольшее значение:

Для нахождения наибольшего значения функции нужно найти значение $y$ при $x = \frac{3}{2}$:

$$y\left(\frac{3}{2}\right) = \sqrt{\left(5 — \frac{3}{2}\right)\left(3 \cdot \frac{3}{2} + 6\right)} = \sqrt{\frac{7}{2} \cdot \frac{21}{2}} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $y_{\min} = 0$, $y_{\max} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$.