ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y=\sqrt{2x^2-5x+2}$

б) $y=\sqrt{3x^2+6x+4}$

в) $y=\sqrt{x^2+6x-7}$

г) $y=\sqrt{2x^2-2x+1}$

а) $y=\sqrt{2x^2-5x+2}$

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}={\left(\sqrt{2x^2-5x+2}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{2\cdot 2x-5}{2\sqrt{2x^2-5x+2}}=\frac{4x-5}{2\sqrt{2x^2-5x+2}}$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{4x-5}{2\sqrt{2x^2-5x+2}}\ge 0$$$$4x-5\ge 0$$$$4x\ge 5,\text{отсюда }x\ge \frac{5}{4}$$

Область определения:

$$2x^2-5x+2=0$$$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$$$$x_1=\frac{5-3}{2\cdot 2}=\frac{1}{2},x_2=\frac{5+3}{2\cdot 2}=2$$$$(x-0,5)(x-2)\ge 0$$$$x\le 0,5\text{или}x\ge 2$$

Ответ: $y_{\min }=0$; $y_{\max }$ — не существует.

б) $y=\sqrt{3x^2+6x+4}$

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}={\left(\sqrt{3x^2+6x+4}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{3\cdot 2x+6}{2\sqrt{3x^2+6x+4}}=\frac{6x+6}{2\sqrt{3x^2+6x+4}}=$$

$$=\frac{3x+3}{\sqrt{3x^2+6x+4}}$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{3x+3}{\sqrt{3x^2+6x+4}}\ge 0$$$$3x+3\ge 0$$$$x+1\ge 0,\text{отсюда }x\ge -1$$

Область определения:

$$3x^2+6x+4\mathrm{\ne }0$$$$D=6^2-4\cdot 3\cdot 4=36-48=-12$$$$D<0,\text{значит }x\in \mathbb{R}$$

Наименьшее значение:

$$y(-1)=\sqrt{3\cdot (-1{)}^2+6\cdot (-1)+4}=\sqrt{3-6+4}=\sqrt{1}=1$$

Ответ: $y_{\min }=1$; $y_{\max }$ — не существует.

в) $y=\sqrt{x^2+6x-7}$

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}={\left(\sqrt{x^2+6x-7}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{2x+6}{2\sqrt{x^2+6x-7}}=\frac{x+3}{\sqrt{x^2+6x-7}}$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{x+3}{\sqrt{x^2+6x-7}}\ge 0$$$$x+3\ge 0,\text{отсюда }x\ge -3$$

Область определения:

$$x^2+6x-7=0$$$$D=6^2+4\cdot 7=36+28=64$$$$x_1=\frac{-6-8}{2}=-7,x_2=\frac{-6+8}{2}=1$$$$(x+7)(x-1)\ge 0$$$$x\le -7\text{или}x\ge 1$$

Ответ: $y_{\min }=0$; $y_{\max }$ — не существует.

г) $y=\sqrt{2x^2-2x+1}$

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}={\left(\sqrt{2x^2-2x+1}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{2\cdot 2x-2}{2\sqrt{2x^2-2x+1}}=\frac{4x-2}{2\sqrt{2x^2-2x+1}}=$$

$$=\frac{2x-1}{\sqrt{2x^2-2x+1}}$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{2x-1}{\sqrt{2x^2-2x+1}}\ge 0$$$$2x-1\ge 0$$$$2x\ge 1,\text{отсюда }x\ge \frac{1}{2}$$

Область определения:

$$2x^2-2x+1\mathrm{\ne }0$$$$D=2^2-4\cdot 2\cdot 1=4-8=-4$$$$D<0,\text{значит }x\in \mathbb{R}$$

Наименьшее значение:

$$y\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-2\cdot \frac{1}{2}+1}=\sqrt{\frac{2}{4}-1+1}=\sqrt{\frac{2}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $y_{\min }=\frac{\sqrt{2}}{2}$; $y_{\max }$ — не существует.

а) $y=\sqrt{2x^2-5x+2}$

Производная функции:

Для нахождения производной функции $y=\sqrt{2x^2-5x+2}$, используем правило дифференцирования сложной функции. В данном случае, $y$ является составной функцией вида $y=\sqrt{u(x)}$, где $u(x)=2x^2-5x+2$.

Сначала применим правило дифференцирования для корня:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\cdot u^{\mathrm{\prime }}(x)$$

Здесь $u^{\mathrm{\prime }}(x)$ — производная от $u(x)$.

Теперь найдем производную от $u(x)=2x^2-5x+2$:

$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}(2x^2-5x+2)=4x-5$$

Подставляем это в формулу для производной:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{2x^2-5x+2}}\cdot (4x-5)=\frac{4x-5}{2\sqrt{2x^2-5x+2}}$$

Ответ: Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{4x-5}{2\sqrt{2x^2-5x+2}}$$

Промежуток возрастания:

Чтобы найти промежуток возрастания функции, нужно определить, когда производная $y^{\mathrm{\prime }}$ положительна:

$$\frac{4x-5}{2\sqrt{2x^2-5x+2}}\ge 0$$

Обратите внимание, что знаменатель $2\sqrt{2x^2-5x+2}$ всегда положителен для значений $x$, при которых выражение под корнем неотрицательно, так как квадратный корень всегда неотрицателен. Следовательно, знак производной зависит только от числителя $4x-5$.

Таким образом, нужно решить неравенство:

$$4x-5\ge 0$$$$x\ge \frac{5}{4}$$

Ответ: Функция возрастает при $x\ge \frac{5}{4}$.

Область определения:

Для того чтобы функция была определена, выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:

$$2x^2-5x+2\ge 0$$

Решим это неравенство. Для начала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

$$2x^2-5x+2=0$$

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

В нашем случае $a=2$, $b=-5$, $c=2$. Подставим эти значения в формулу:

$$D=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{5-3}{2\cdot 2}=\frac{1}{2},x_2=\frac{5+3}{2\cdot 2}=2$$

Таким образом, корни уравнения — это $x_1=\frac{1}{2}$ и $x_2=2$.

Теперь решим неравенство $2x^2-5x+2\ge 0$. Разбиваем его на интервалы, используя корни $x_1$ и $x_2$:

$$(x-\frac{1}{2})(x-2)\ge 0$$

Решаем это неравенство методом интервалов:

• При $x\le \frac{1}{2}$ и $x\ge 2$ произведение будет положительным.
• При $\frac{1}{2}<x<2$ произведение будет отрицательным.

Таким образом, область определения функции — это объединение интервалов:

$$x\le \frac{1}{2}\text{или}x\ge 2$$

То есть область определения: $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}]\cup [2,\mathrm{\infty })$.

Ответ: Область определения $x\in (-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}]\cup [2,\mathrm{\infty })$.

Наибольшее значение:

Функция имеет наименьшее значение, когда $x=\frac{1}{2}$ или $x=2$, так как в этих точках выражение под квадратным корнем равняется нулю, и функция также будет равна нулю.

Проверим значение функции в этих точках:

$$y(\frac{1}{2})=\sqrt{2\cdot (\frac{1}{2}{)}^2-5\cdot \frac{1}{2}+2}=\sqrt{0}=0$$$$y(2)=\sqrt{2\cdot (2{)}^2-5\cdot 2+2}=\sqrt{0}=0$$

Ответ: $y_{\min }=0$, $y_{\max }$ — не существует, так как значение функции стремится к бесконечности при увеличении $x$.

б) $y=\sqrt{3x^2+6x+4}$

Производная функции:

Функция $y=\sqrt{3x^2+6x+4}$ имеет вид сложной функции, поэтому для нахождения производной снова используем правило дифференцирования для корня:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{3x^2+6x+4}}\cdot (6x+6)$$

Упростим:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{6x+6}{2\sqrt{3x^2+6x+4}}=\frac{3x+3}{\sqrt{3x^2+6x+4}}$$

Ответ: Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{3x+3}{\sqrt{3x^2+6x+4}}$$

Промежуток возрастания:

Функция возрастает, когда производная неотрицательна:

$$\frac{3x+3}{\sqrt{3x^2+6x+4}}\ge 0$$

Поскольку знаменатель всегда положителен (так как выражение под корнем всегда неотрицательно для всех $x$), знак зависит от числителя:

$$3x+3\ge 0$$$$x+1\ge 0,\text{отсюда }x\ge -1$$

Ответ: Функция возрастает при $x\ge -1$.

Область определения:

Для нахождения области определения выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$3x^2+6x+4\ge 0$$

Рассчитаем дискриминант для этого квадратного уравнения:

$$D=6^2-4\cdot 3\cdot 4=36-48=-12$$

Поскольку дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней, и выражение под корнем всегда положительно для всех $x$.

Ответ: Область определения $x\in \mathbb{R}$ (функция определена для всех действительных $x$).

Наименьшее значение:

Наименьшее значение функции $y$ достигается в точке, где выражение под корнем минимально. Из уравнения видно, что минимальное значение под корнем будет достигаться при $x=-1$, так как в этом случае $3x+3=0$, и функция $y$ принимает значение:

$$y(-1)=\sqrt{3(-1{)}^2+6(-1)+4}=\sqrt{3-6+4}=\sqrt{1}=1$$

Ответ: $y_{\min }=1$, $y_{\max }$ — не существует.

в) $y=\sqrt{x^2+6x-7}$

Производная функции:

Используем то же правило для нахождения производной:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{2x+6}{2\sqrt{x^2+6x-7}}=\frac{x+3}{\sqrt{x^2+6x-7}}$$

Ответ: Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{x+3}{\sqrt{x^2+6x-7}}$$

Промежуток возрастания:

Для того чтобы функция возрастала, производная должна быть неотрицательной:

$$\frac{x+3}{\sqrt{x^2+6x-7}}\ge 0$$

Поскольку знаменатель всегда положителен, знак функции зависит только от числителя:

$$x+3\ge 0$$$$x\ge -3$$

Ответ: Функция возрастает при $x\ge -3$.

Область определения:

Для того чтобы функция была определена, выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$x^2+6x-7\ge 0$$

Находим корни этого квадратного уравнения:

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot (-7)=36+28=64$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-6-8}{2}=-7,x_2=\frac{-6+8}{2}=1$$

Теперь решаем неравенство $(x+7)(x-1)\ge 0$, которое выполняется, когда $x\le -7$ или $x\ge 1$.

Ответ: Область определения $x\in (-\mathrm{\infty },-7]\cup [1,\mathrm{\infty })$.

Наименьшее значение:

Наименьшее значение функции достигается, когда выражение под корнем равно нулю. Это происходит при $x=-7$ или $x=1$:

$$y(-7)=\sqrt{(-7{)}^2+6(-7)-7}=\sqrt{49-42-7}=\sqrt{0}=0$$$$y(1)=\sqrt{(1{)}^2+6(1)-7}=\sqrt{1+6-7}=\sqrt{0}=0$$

Ответ: $y_{\min }=0$, $y_{\max }$ — не существует.

г) $y=\sqrt{2x^2-2x+1}$

Производная функции:

Для нахождения производной функции $y=\sqrt{2x^2-2x+1}$, применим то же правило дифференцирования, что и в предыдущих задачах.

Выражение имеет вид:

$$y=\sqrt{2x^2-2x+1}$$

Применяем правило дифференцирования для функции вида $y=\sqrt{u(x)}$, где $u(x)=2x^2-2x+1$:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\cdot u^{\mathrm{\prime }}(x)$$

Теперь найдем производную от $u(x)=2x^2-2x+1$:

$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}(2x^2-2x+1)=4x-2$$

Подставляем это в формулу для производной:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{2x^2-2x+1}}\cdot (4x-2)=\frac{4x-2}{2\sqrt{2x^2-2x+1}}=\frac{2x-1}{\sqrt{2x^2-2x+1}}$$

Ответ: Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{2x-1}{\sqrt{2x^2-2x+1}}$$

Промежуток возрастания:

Функция возрастает, когда производная $y^{\mathrm{\prime }}$ неотрицательна:

$$\frac{2x-1}{\sqrt{2x^2-2x+1}}\ge 0$$

Поскольку знаменатель всегда положителен (квадратный корень всегда неотрицателен для всех $x$), знак производной зависит только от числителя $2x-1$. Мы решаем неравенство:

$$2x-1\ge 0$$$$2x\ge 1,\text{отсюда }x\ge \frac{1}{2}$$

Ответ: Функция возрастает при $x\ge \frac{1}{2}$.

Область определения:

Для того чтобы функция была определена, выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:

$$2x^2-2x+1\ge 0$$

Рассмотрим дискриминант для уравнения $2x^2-2x+1=0$:

$$D=(-2{)}^2-4\cdot 2\cdot 1=4-8=-4$$

Поскольку дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что выражение под корнем всегда положительно для всех $x$.

Ответ: Область определения $x\in \mathbb{R}$ (функция определена для всех действительных чисел).

Наименьшее значение:

Чтобы найти наименьшее значение функции, рассмотрим точку, где производная равна нулю. Из условия $y^{\mathrm{\prime }}=\frac{2x-1}{\sqrt{2x^2-2x+1}}$ видно, что производная равна нулю при $x=\frac{1}{2}$.

Подставим $x=\frac{1}{2}$ в исходную функцию для нахождения значения:

$$y\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-2\cdot \frac{1}{2}+1}$$$$y\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2\cdot \frac{1}{4}-1+1}=\sqrt{\frac{2}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $y_{\min }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $y_{\max }$ — не существует.