ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее значение функции:

а) $y = -x^8 + 2x^4 + 1$;

б) $y = -x^4 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}$

а) $y = -x^8 + 2x^4 + 1$;

Производная функции:

$$y’ = -(x^8)’ + 2(x^4)’ + (1)’;$$ $$y’ = -8x^7 + 2 \cdot 4x^3 + 0 = 8x^3 — 8x^7;$$

Промежуток возрастания:

$$8x^3 — 8x^7 \geq 0;$$ $$8x^3(1 — x^4) \geq 0;$$ $$x^3(1 — x^2)(1 + x^2) \geq 0;$$ $$x^3(1 — x)(1 + x) \geq 0;$$ $$x \leq -1 \text{ или } 0 \leq x \leq 1;$$

Наибольшее значение:

$$y(\pm 1) = -(-1)^8 + 2 \cdot (-1)^4 + 1 = -1 + 2 + 1 = 2;$$

Ответ: $y_{\max} = 2$; $y_{\min}$ — не существует.

б) $y = -x^4 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}$;

Производная функции:

$$y’ = -(x^4)’ + \frac{4}{3}(x^3)’ + \left( \frac{2}{3} \right)’;$$ $$y’ = -4x^3 + \frac{4}{3} \cdot 3x^2 + 0 = 4x^2 — 4x^3;$$

Промежуток возрастания:

$$4x^2 — 4x^3 \geq 0;$$ $$4x^2(1 — x) \geq 0;$$ $$1 — x \geq 0, \text{ отсюда } x \leq 1;$$

Наибольшее значение:

$$y(1) = -1^4 + \frac{4}{3} \cdot 1^3 + \frac{2}{3} = -1 + \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = -1 + 2 = 1;$$

Ответ: $y_{\max} = 1$; $y_{\min}$ — не существует.

а) $y = -x^8 + 2x^4 + 1$

Шаг 1: Производная функции

Для того чтобы найти производную функции $y = -x^8 + 2x^4 + 1$, используем стандартные правила дифференцирования.

1. Производная от $-x^8$:

   $$\frac{d}{dx}(-x^8) = -8x^7$$

2. Производная от $2x^4$:

   $$\frac{d}{dx}(2x^4) = 2 \cdot 4x^3 = 8x^3$$

3. Производная от постоянной $1$ равна нулю:

   $$\frac{d}{dx}(1) = 0$$

Таким образом, производная функции $y = -x^8 + 2x^4 + 1$ будет:

$$y’ = -8x^7 + 8x^3$$

Или, факторизуя:

$$y’ = 8x^3(1 — x^4)$$

Ответ: Производная функции:

$$y’ = 8x^3(1 — x^4)$$

Шаг 2: Промежуток возрастания

Чтобы найти промежуток возрастания функции, нужно, чтобы производная $y’$ была неотрицательной:

$$y’ = 8x^3(1 — x^4) \geq 0$$

Сначала выделим два множителя:

• $8x^3 \geq 0$, что выполняется при $x \geq 0$.
• $1 — x^4 \geq 0$, что выполняется при $x^4 \leq 1$, то есть $-1 \leq x \leq 1$.

Таким образом, условие $8x^3(1 — x^4) \geq 0$ выполняется, если одновременно:

• $x \geq 0$ (условие для $8x^3$)
• $-1 \leq x \leq 1$ (условие для $1 — x^4$)

Комбинируя эти два условия, получаем:

$$0 \leq x \leq 1$$

Кроме того, анализируем выражение $x^3(1 — x^2)(1 + x^2) \geq 0$ при более глубоком факторизовании:

• $x^3 \geq 0$ при $x \geq 0$,
• $(1 — x^2) \geq 0$ при $-1 \leq x \leq 1$,
• $(1 + x^2) > 0$ для всех $x$.

Таким образом, объединяя все эти условия, получаем, что функция возрастает при:

$$-1 \leq x \leq 0 \quad \text{и} \quad 0 \leq x \leq 1$$

Ответ: Промежуток возрастания:

$$x \in [-1, 1]$$

Шаг 3: Наибольшее значение

Чтобы найти наибольшее значение функции, нужно исследовать значения функции в критических точках (где производная равна нулю) и на границах области.

Находим критические точки, решив $y’ = 0$:

$$8x^3(1 — x^4) = 0$$

Это уравнение выполняется, если либо $x^3 = 0$, либо $1 — x^4 = 0$.

• $x^3 = 0$ даёт $x = 0$,
• $1 — x^4 = 0$ даёт $x^4 = 1$, то есть $x = \pm 1$.

Таким образом, критические точки $x = 0$, $x = 1$ и $x = -1$.

Теперь находим значения функции в этих точках:

• $y(1) = -1^8 + 2 \cdot 1^4 + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$,
• $y(-1) = -(-1)^8 + 2 \cdot (-1)^4 + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$,
• $y(0) = -0^8 + 2 \cdot 0^4 + 1 = 1$.

Таким образом, наибольшее значение функции достигается в точках $x = 1$ и $x = -1$, и оно равно 2.

Ответ: Наибольшее значение $y_{\max} = 2$, минимальное значение не существует (функция не ограничена снизу).

б) $y = -x^4 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}$

Шаг 1: Производная функции

Для нахождения производной функции $y = -x^4 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}$, используем стандартные правила дифференцирования.

1. Производная от $-x^4$:

   $$\frac{d}{dx}(-x^4) = -4x^3$$

2. Производная от $\frac{4}{3}x^3$:

   $$\frac{d}{dx}\left(\frac{4}{3}x^3\right) = \frac{4}{3} \cdot 3x^2 = 4x^2$$

3. Производная от постоянной $\frac{2}{3}$ равна нулю:

   $$\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}\right) = 0$$

Таким образом, производная функции $y = -x^4 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}$ будет:

$$y’ = -4x^3 + 4x^2 = 4x^2 — 4x^3$$

Или, факторизуя:

$$y’ = 4x^2(1 — x)$$

Ответ: Производная функции:

$$y’ = 4x^2(1 — x)$$

Шаг 2: Промежуток возрастания

Чтобы функция возрастала, производная $y’$ должна быть неотрицательной:

$$y’ = 4x^2(1 — x) \geq 0$$

Рассматриваем знак каждого множителя:

• $4x^2 \geq 0$ для всех $x$, так как квадрат любого числа неотрицателен.
• $1 — x \geq 0$, что выполняется при $x \leq 1$.

Таким образом, функция возрастает при:

$$x \leq 1$$

Ответ: Промежуток возрастания:

$$x \leq 1$$

Шаг 3: Наибольшее значение

Для нахождения наибольшего значения функции исследуем значения в критических точках и на границе области.

Находим критические точки, решив $y’ = 0$:

$$4x^2(1 — x) = 0$$

Это уравнение выполняется, если либо $x^2 = 0$, либо $1 — x = 0$.

• $x^2 = 0$ даёт $x = 0$,
• $1 — x = 0$ даёт $x = 1$.

Таким образом, критические точки $x = 0$ и $x = 1$.

Теперь находим значения функции в этих точках:

• $y(0) = -0^4 + \frac{4}{3} \cdot 0^3 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$,
• $y(1) = -1^4 + \frac{4}{3} \cdot 1^3 + \frac{2}{3} = -1 + \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = -1 + 2 = 1$.

Наибольшее значение функции $y_{\max} = 1$.

Ответ: Наибольшее значение $y_{\max} = 1$, минимальное значение не существует.