ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y=\sqrt{5-x^2}+\sqrt{x}$;

б) $y=\sqrt{-x}+\sqrt{5-x^2}$

а) $y=\sqrt{5-x^2}+\sqrt{x}$;

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}={\left(\sqrt{5-x^2}\right)}^{\mathrm{\prime }}+{\left(\sqrt{x}\right)}^{\mathrm{\prime }};$$$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{-2x}{2\sqrt{5-x^2}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}\ge 0;$$$$\frac{\sqrt{5-x^2}-2x\sqrt{x}}{2\cdot \sqrt{x}\cdot \sqrt{5-x^2}}\ge 0;$$$$\sqrt{5-x^2}-2x\sqrt{x}\ge 0;$$$$5-x^2-4x^2\ge 0;$$$$(4x^3+x^2)-5\le 0;$$$$x\le 1;$$

Область определения:

$$5-x^2\ge 0,\text{ отсюда }-\sqrt{5}\le x\le \sqrt{5};$$$$x\ge 0;$$

Значения функции:

$$y(0)=\sqrt{5-0^2}+\sqrt{0}=\sqrt{5};$$$$y(1)=\sqrt{5-1^2}+\sqrt{1}=\sqrt{4}+1=2+1=3;$$$$y(\sqrt{5})=\sqrt{5-(\sqrt{5}{)}^2}+\sqrt{(\sqrt{5})}=\sqrt{5-5}+\sqrt[4]{5}=\sqrt{0}+\sqrt[4]{5}=\sqrt[4]{5};$$

Ответ: $y_{\min }=\sqrt[4]{5};y_{\max }=3.$

б) $y=\sqrt{-x}+\sqrt{5-x^2}$;

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}={\left(\sqrt{-x}\right)}^{\mathrm{\prime }}+{\left(\sqrt{5-x^2}\right)}^{\mathrm{\prime }};$$$$y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{2\sqrt{-x}}+\frac{-2x}{2\sqrt{5-x^2}}=-\frac{1}{2\sqrt{-x}}-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}};$$

Промежуток возрастания:

$$-\frac{1}{2\sqrt{-x}}-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}\ge 0;$$$$\frac{-\sqrt{5-x^2}+(-2x)\cdot \sqrt{-x}}{2\cdot \sqrt{-x}\cdot \sqrt{5-x^2}}\ge 0;$$$$-(5-x^2)+4x^2\cdot (-x)\ge 0;$$$$(x^2-4x^3)-5\ge 0;$$$$x\le -1;$$

Область определения:

$$5-x^2\ge 0,\text{ отсюда }-\sqrt{5}\le x\le \sqrt{5};$$$$-x\ge 0,\text{ отсюда }x\le 0;$$

Значения функции:

$$y(-\sqrt{5})=\sqrt{(-\sqrt{5})}+\sqrt{5-(-\sqrt{5}{)}^2}=\sqrt[4]{5}+\sqrt{5-5}=\sqrt[4]{5};$$$$y(-1)=\sqrt{1}+\sqrt{5-(-1{)}^2}=1+\sqrt{4}=1+2=3;$$$$y(0)=\sqrt{0}+\sqrt{5-0^2}=\sqrt{5};$$

Ответ: $y_{\min }=\sqrt[4]{5};y_{\max }=3.$

а) $y=\sqrt{5-x^2}+\sqrt{x}$

Шаг 1: Производная функции

Для нахождения производной функции $y=\sqrt{5-x^2}+\sqrt{x}$, используем стандартные правила дифференцирования для корня и степенных функций.

Производная от $\sqrt{5-x^2}$:

$$y_1=\sqrt{5-x^2}$$

Применяем правило дифференцирования для сложной функции $y=\sqrt{u(x)}$, где $u(x)=5-x^2$:

$$y_1^{\mathrm{\prime }}=\frac{d}{dx}\left(\sqrt{5-x^2}\right)=\frac{-2x}{2\sqrt{5-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{5-x^2}}$$

Производная от $\sqrt{x}$:

$$y_2=\sqrt{x}$$

Для этой функции применяем правило дифференцирования:

$$y_2^{\mathrm{\prime }}=\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Теперь, сложив эти две производные, получаем:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}$$

Ответ: Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}$$

Шаг 2: Промежуток возрастания

Для того чтобы функция $y$ возрастала, ее производная $y^{\mathrm{\prime }}$ должна быть неотрицательной:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}\ge 0$$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$$\frac{\sqrt{5-x^2}-2x\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\cdot \sqrt{5-x^2}}\ge 0$$

Рассмотрим числитель:

$$\sqrt{5-x^2}-2x\sqrt{x}\ge 0$$

Решим это неравенство:

$$\sqrt{5-x^2}\ge 2x\sqrt{x}$$

Возведем обе стороны в квадрат:

$$5-x^2\ge 4x^3$$

Теперь приводим все элементы на одну сторону:

$$5-x^2-4x^3\ge 0$$

Это уравнение можно решить численно или с использованием анализа. Однако, для простоты, рассмотрим $x\le 1$.

Ответ: Промежуток возрастания:

$$x\le 1$$

Шаг 3: Область определения

Для того чтобы функция была определена, выражение под квадратными корнями должно быть неотрицательным.

Для $\sqrt{5-x^2}$, чтобы выражение под корнем было неотрицательным:

$$5-x^2\ge 0\Rightarrow -\sqrt{5}\le x\le \sqrt{5}$$

Для $\sqrt{x}$, чтобы выражение под корнем было неотрицательным:

$$x\ge 0$$

Таким образом, область определения функции $y$ будет:

$$0\le x\le \sqrt{5}$$

Ответ: Область определения:

$$x\in [0,\sqrt{5}]$$

Шаг 4: Значения функции

Теперь найдем значения функции в ключевых точках.

$y(0)$:

$$y(0)=\sqrt{5-0^2}+\sqrt{0}=\sqrt{5}$$

$y(1)$:

$$y(1)=\sqrt{5-1^2}+\sqrt{1}=\sqrt{4}+1=2+1=3$$

$y(\sqrt{5})$:

$$y(\sqrt{5})=\sqrt{5-(\sqrt{5}{)}^2}+\sqrt{\sqrt{5}}=\sqrt{5-5}+\sqrt[4]{5}=\sqrt{0}+\sqrt[4]{5}=\sqrt[4]{5}$$

Ответ: Значения функции:

$$y_{\min }=\sqrt[4]{5},y_{\max }=3$$

б) $y=\sqrt{-x}+\sqrt{5-x^2}$

Шаг 1: Производная функции

Для нахождения производной функции $y=\sqrt{-x}+\sqrt{5-x^2}$ используем стандартные правила дифференцирования.

Производная от $\sqrt{-x}$:

$$y_1=\sqrt{-x}$$

Применяем правило дифференцирования:

$$y_1^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{2\sqrt{-x}}$$

Производная от $\sqrt{5-x^2}$:

$$y_2=\sqrt{5-x^2}$$

Используем стандартное правило для дифференцирования:

$$y_2^{\mathrm{\prime }}=\frac{-2x}{2\sqrt{5-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{5-x^2}}$$

Теперь сложим эти две производные:

$$y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{2\sqrt{-x}}-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}$$

Ответ: Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{2\sqrt{-x}}-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}$$

Шаг 2: Промежуток возрастания

Чтобы функция возрастала, ее производная $y^{\mathrm{\prime }}$ должна быть неотрицательной:

$$-\frac{1}{2\sqrt{-x}}-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}\ge 0$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{-\sqrt{5-x^2}+(-2x)\cdot \sqrt{-x}}{2\cdot \sqrt{-x}\cdot \sqrt{5-x^2}}\ge 0$$

Теперь анализируем числитель:

$$-(5-x^2)+4x^2\cdot (-x)\ge 0$$

Приводим все выражения на одну сторону:

$$x^2-4x^3-5\ge 0$$

Это неравенство выполняется при $x\le -1$.

Ответ: Промежуток возрастания:

$$x\le -1$$

Шаг 3: Область определения

Для того чтобы функция была определена, выражение под квадратными корнями должно быть неотрицательным.

Для $\sqrt{5-x^2}$, чтобы выражение под корнем было неотрицательным:

$$5-x^2\ge 0\Rightarrow -\sqrt{5}\le x\le \sqrt{5}$$

Для $\sqrt{-x}$, чтобы выражение под корнем было неотрицательным:

$$-x\ge 0\Rightarrow x\le 0$$

Таким образом, область определения функции $y$ будет:

$$-\sqrt{5}\le x\le 0$$

Ответ: Область определения:

$$x\in [-\sqrt{5},0]$$

Шаг 4: Значения функции

Теперь найдем значения функции в ключевых точках.

$y(-\sqrt{5})$:

$$y(-\sqrt{5})=\sqrt{-(-\sqrt{5})}+\sqrt{5-(-\sqrt{5}{)}^2}=\sqrt[4]{5}+\sqrt{5-5}=\sqrt[4]{5}$$

$y(-1)$:

$$y(-1)=\sqrt{1}+\sqrt{5-(-1{)}^2}=1+\sqrt{4}=1+2=3$$

$y(0)$:

$$y(0)=\sqrt{0}+\sqrt{5-0^2}=\sqrt{5}$$

Ответ: Значения функции:

$$y_{\min }=\sqrt[4]{5},y_{\max }=3$$