ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

а) $y = 2x — \sqrt{16x-4}$ и $x \in \left[ \frac{1}{4}; \frac{17}{4} \right]$;

б) $y = 2\sqrt{x-1} — 0,5x$ и $x \in [1; 10]$

а) $y = 2x — \sqrt{16x-4}$ и $x \in \left[ \frac{1}{4}; \frac{17}{4} \right]$;

Производная функции:

$$y’ = (2x)’ — (\sqrt{16x-4})’;$$ $$y’ = 2 — \frac{16}{2\sqrt{16x-4}} = 2 — \frac{8}{\sqrt{16x-4}};$$

Стационарные точки:

$$2 — \frac{8}{\sqrt{16x-4}} = 0;$$ $$1 — \frac{4}{\sqrt{16x-4}} = 0;$$ $$\sqrt{16x-4} — 4 = 0;$$ $$16x — 4 — 16 = 0;$$ $$16x — 20 = 0;$$ $$4x — 5 = 0;$$ $$4x = 5, \text{ отсюда } x = \frac{5}{4};$$

Значения функции:

$$y\left(\frac{1}{4}\right) = 2 \cdot \frac{1}{4} — \sqrt{16 \cdot \frac{1}{4} — 4} = \frac{1}{2} — \sqrt{4 — 4} = \frac{1}{2};$$ $$y\left(\frac{5}{4}\right) = 2 \cdot \frac{5}{4} — \sqrt{16 \cdot \frac{5}{4} — 4} = \frac{5}{2} — \sqrt{20 — 4} = \frac{5}{2} — 4 = -\frac{3}{2};$$ $$y\left(\frac{17}{4}\right) = 2 \cdot \frac{17}{4} — \sqrt{16 \cdot \frac{17}{4} — 4} = \frac{17}{2} — \sqrt{68 — 4} = \frac{17}{2} — 8 = \frac{1}{2};$$

Ответ: $y \in \left[-\frac{3}{2}; \frac{1}{2}\right]$.

б) $y = 2\sqrt{x-1} — 0,5x$ и $x \in [1; 10]$;

Производная функции:

$$y’ = 2(\sqrt{x-1})’ — \frac{1}{2}(x)’;$$ $$y’ = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} — \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{x-1}} — \frac{1}{2};$$

Стационарные точки:

$$\frac{1}{\sqrt{x-1}} — \frac{1}{2} = 0;$$ $$2 — \sqrt{x-1} = 0;$$ $$4 — (x-1) = 0;$$ $$5 — x = 0, \text{ отсюда } x = 5;$$

Значения функции:

$$y(1) = 2\sqrt{1-1} — \frac{1}{2} = 2 \cdot 0 — \frac{1}{2} = -\frac{1}{2};$$ $$y(5) = 2\sqrt{5-1} — \frac{5}{2} = 2 \cdot 2 — \frac{5}{2} = \frac{8}{2} — \frac{5}{2} = \frac{3}{2};$$ $$y(10) = 2\sqrt{10-1} — \frac{10}{2} = 2 \cdot 3 — 5 = 6 — 5 = 1;$$

Ответ: $y \in \left[-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right]$.

а) $y = 2x — \sqrt{16x-4}$ и $x \in \left[ \frac{1}{4}; \frac{17}{4} \right]$;

1. Нахождение производной функции $y’$:

Чтобы найти производную функции $y = 2x — \sqrt{16x-4}$, воспользуемся правилом дифференцирования для суммы и разности функций. Функция состоит из двух частей: линейной функции $2x$ и функции с корнем $\sqrt{16x — 4}$.

• Производная $(2x)’ = 2$.
• Производная $(\sqrt{16x — 4})’$. Для дифференцирования корня применяем цепное правило. Пусть $u = 16x — 4$, тогда производная от $\sqrt{u}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{u}}$, а производная $u = 16x — 4$ равна 16. Итак:

$$\frac{d}{dx}(\sqrt{16x-4}) = \frac{1}{2\sqrt{16x-4}} \cdot 16 = \frac{8}{\sqrt{16x-4}}.$$

Теперь, используя эти результаты, получаем производную всей функции:

$$y’ = (2x)’ — (\sqrt{16x — 4})’ = 2 — \frac{8}{\sqrt{16x — 4}}.$$

2. Нахождение стационарных точек:

Стационарные точки функции находятся там, где её производная равна нулю. Для этого приравняем $y’$ к нулю:

$$2 — \frac{8}{\sqrt{16x — 4}} = 0.$$

Переносим выражение с $\sqrt{16x — 4}$ на другую сторону:

$$\frac{8}{\sqrt{16x — 4}} = 2.$$

Теперь умножим обе части уравнения на $\sqrt{16x — 4}$:

$$8 = 2\sqrt{16x — 4}.$$

Делим обе стороны на 2:

$$4 = \sqrt{16x — 4}.$$

Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат:

$$16 = 16x — 4.$$

Решаем это уравнение:

$$16x = 16 + 4 = 20.$$ $$x = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}.$$

Таким образом, стационарная точка находится в $x = \frac{5}{4}$.

3. Нахождение значений функции в граничных точках интервала и в стационарной точке:

Теперь найдем значения функции в точках $x = \frac{1}{4}$, $x = \frac{5}{4}$ и $x = \frac{17}{4}$.

• В точке $x = \frac{1}{4}$:

$$y\left(\frac{1}{4}\right) = 2 \cdot \frac{1}{4} — \sqrt{16 \cdot \frac{1}{4} — 4} = \frac{1}{2} — \sqrt{4 — 4} = \frac{1}{2} — 0 = \frac{1}{2}.$$

• В точке $x = \frac{5}{4}$:

$$y\left(\frac{5}{4}\right) = 2 \cdot \frac{5}{4} — \sqrt{16 \cdot \frac{5}{4} — 4} = \frac{5}{2} — \sqrt{20 — 4} = \frac{5}{2} — \sqrt{16} = \frac{5}{2} — 4 = -\frac{3}{2}.$$

• В точке $x = \frac{17}{4}$:

$$y\left(\frac{17}{4}\right)=2\cdot \frac{17}{4}-\sqrt{16\cdot \frac{17}{4}-4}=\frac{17}{2}-\sqrt{68-4}=\frac{17}{2}-\sqrt{64}=$$

$$y\left(\frac{17}{4}\right) = 2 \cdot \frac{17}{4} — \sqrt{16 \cdot \frac{17}{4} — 4} = \frac{17}{2} — \sqrt{68 — 4} = \frac{17}{2} — \sqrt{64} = \frac{17}{2} — 8 = \frac{17}{2} — \frac{16}{2} = \frac{1}{2}.$$

Таким образом, значения функции в этих точках:

$$y\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}, \quad y\left(\frac{5}{4}\right) = -\frac{3}{2}, \quad y\left(\frac{17}{4}\right) = \frac{1}{2}.$$

4. Ответ:

Мы нашли значения функции в трёх точках интервала $\left[ \frac{1}{4}; \frac{17}{4} \right]$, и на основании этого можем утверждать, что минимум функции достигается в точке $x = \frac{5}{4}$, где $y = -\frac{3}{2}$, а максимум функции достигается в точках $x = \frac{1}{4}$ и $x = \frac{17}{4}$, где $y = \frac{1}{2}$.

Ответ: $y \in \left[-\frac{3}{2}; \frac{1}{2}\right]$.

б) $y = 2\sqrt{x-1} — 0,5x$ и $x \in [1; 10]$;

1. Нахождение производной функции $y’$:

Для функции $y = 2\sqrt{x — 1} — 0,5x$, опять же воспользуемся правилами дифференцирования.

• Производная $(2\sqrt{x — 1})’$ применяется по цепному правилу. Пусть $u = x — 1$, тогда производная от $\sqrt{u}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{u}}$, и производная $u = x — 1$ равна 1. Итак:

$$\frac{d}{dx}(2\sqrt{x — 1}) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x — 1}} = \frac{1}{\sqrt{x — 1}}.$$

• Производная $(-0,5x)’ = -0,5$.

Теперь получаем производную всей функции:

$$y’ = \frac{1}{\sqrt{x — 1}} — \frac{1}{2}.$$

2. Нахождение стационарных точек:

Стационарные точки функции находятся там, где её производная равна нулю. Приравниваем $y’$ к нулю:

$$\frac{1}{\sqrt{x — 1}} — \frac{1}{2} = 0.$$

Переносим $\frac{1}{2}$ на правую сторону:

$$\frac{1}{\sqrt{x — 1}} = \frac{1}{2}.$$

Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат:

$$\frac{1}{x — 1} = \frac{1}{4}.$$

Решаем это уравнение:

$$x — 1 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 5.$$

Таким образом, стационарная точка находится в $x = 5$.

3. Нахождение значений функции в граничных точках интервала и в стационарной точке:

Теперь вычислим значения функции в точках $x = 1$, $x = 5$ и $x = 10$.

• В точке $x = 1$:

$$y(1) = 2\sqrt{1 — 1} — \frac{1}{2} = 2 \cdot 0 — \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}.$$

• В точке $x = 5$:

$$y(5) = 2\sqrt{5 — 1} — \frac{5}{2} = 2 \cdot 2 — \frac{5}{2} = \frac{8}{2} — \frac{5}{2} = \frac{3}{2}.$$

• В точке $x = 10$:

$$y(10) = 2\sqrt{10 — 1} — \frac{10}{2} = 2 \cdot 3 — 5 = 6 — 5 = 1.$$

Таким образом, значения функции в этих точках:

$$y(1) = -\frac{1}{2}, \quad y(5) = \frac{3}{2}, \quad y(10) = 1.$$

4. Ответ:

Мы нашли значения функции в трёх точках интервала $[1; 10]$, и на основании этого можем утверждать, что минимум функции достигается в точке $x = 1$, где $y = -\frac{1}{2}$, а максимум функции достигается в точке $x = 5$, где $y = \frac{3}{2}$.

Ответ: $y \in \left[-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right]$.