ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) При каком значении параметра $a$ наименьшее значение функции $y = x\sqrt{x + a}$ равно $-6\sqrt{3}$?

б) При каком значении параметра $a$ наибольшее значение функции $y = (a — x)\sqrt{x}$ равно $10\sqrt{5}$?

а) $y = x \sqrt{x + a}$ и $y_{\text{min}} = -6\sqrt{3}$;

Производная функции:
$y’ = (x)’ \sqrt{x + a} + x (\sqrt{x + a})’;$
$y’ = \sqrt{x + a} + \frac{x}{2\sqrt{x + a}} = \frac{2(x + a) + x}{2\sqrt{x + a}} = \frac{3x + 2a}{2\sqrt{x + a}};$

Промежуток возрастания:
$\frac{3x + 2a}{2\sqrt{x + a}} \geq 0;$
$3x + 2a \geq 0;$
$3x \geq -2a, \text{ отсюда } x \geq -\frac{2}{3}a;$

Область определения:
$x + a \geq 0, \text{ отсюда } x \geq -a;$

Наименьшее значение:
$y_{\text{min}} = y\left(-\frac{2}{3}a\right) = -\frac{2}{3}a \cdot \sqrt{-\frac{2}{3}a + a} = -6\sqrt{3};$
$-\sqrt{\frac{4}{9}a^2 \cdot \frac{1}{3}a} = -\sqrt{36 \cdot 3};$
$\frac{4}{27}a^3 = 108;$
$a^3 = 108 \cdot \frac{27}{4} = 729, \text{ отсюда } a = 9;$

Ответ: $a = 9$.

б) $y = (a — x)\sqrt{x}$ и $y_{\text{max}} = 10\sqrt{5}$;

Производная функции:
$y’ = (a — x)’\sqrt{x} + (a — x)(\sqrt{x})’;$
$y’ = -\sqrt{x} + \frac{a — x}{2\sqrt{x}} = \frac{-2x + a — x}{2\sqrt{x}} = \frac{a — 3x}{2\sqrt{x}};$

Промежуток возрастания:
$\frac{a — 3x}{2\sqrt{x}} \geq 0;$
$a — 3x \geq 0;$
$a \geq 3x, \text{ отсюда } x \leq \frac{a}{3};$

Область определения: $x \geq 0$;

Наибольшее значение:
$y_{\text{min}} = y\left(\frac{a}{3}\right) = \left(a — \frac{a}{3}\right) \cdot \sqrt{\frac{a}{3}} = 10\sqrt{5};$
$\frac{2a}{3} \cdot \sqrt{\frac{a}{3}} = 10\sqrt{5};$
$\sqrt{\frac{4a^2}{9} \cdot \frac{a}{3}} = \sqrt{100 \cdot 5};$
$\frac{4}{27}a^3 = 500;$
$a^3 = 500 \cdot \frac{27}{4} = 3375, \text{ отсюда } a = 15;$

Ответ: $a = 15$.

а) $y = x \sqrt{x + a}$ и $y_{\text{min}} = -6\sqrt{3}$.

Шаг 1. Находим производную функции $y(x)$.

Для начала вычислим производную функции $y = x \sqrt{x + a}$ с помощью правила произведения. Напомним, что для функции вида $y = u(x)v(x)$, её производная будет:

$$y’ = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).$$

Здесь:

• $u(x) = x$, значит $u'(x) = 1$,
• $v(x) = \sqrt{x + a}$, значит $v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + a}}$.

Таким образом, производная функции:

$$y’ = \left(x\right)’ \cdot \sqrt{x + a} + x \cdot \left(\sqrt{x + a}\right)’$$ $$y’ = \sqrt{x + a} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + a}} = \frac{2(x + a) + x}{2\sqrt{x + a}} = \frac{3x + 2a}{2\sqrt{x + a}}.$$

Шаг 2. Находим промежутки возрастания и убывания функции.

Чтобы исследовать поведение функции, найдем, при каких значениях $x$ производная будет положительной или отрицательной. Для этого решим неравенство:

$$\frac{3x + 2a}{2\sqrt{x + a}} \geq 0.$$

Так как знаменатель $2\sqrt{x + a}$ всегда положителен при $x \geq -a$, то неравенство сводится к решению:

$$3x + 2a \geq 0.$$

Отсюда:

$$x \geq -\frac{2a}{3}.$$

Это означает, что функция будет возрастать при $x \geq -\frac{2a}{3}$.

Шаг 3. Область определения функции.

Чтобы функция $y = x \sqrt{x + a}$ имела смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x + a \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -a.$$

Таким образом, область определения функции $y(x)$ — это $x \geq -a$.

Шаг 4. Находим наименьшее значение функции.

Теперь найдем наименьшее значение функции. Оно будет достигаться в точке $x = -\frac{2a}{3}$, так как именно в этой точке производная меняет знак с отрицательного на положительный, и функция достигает минимума. Подставим $x = -\frac{2a}{3}$ в исходную функцию:

$$y_{\text{min}} = y\left(-\frac{2}{3}a\right) = -\frac{2}{3}a \cdot \sqrt{-\frac{2}{3}a + a}.$$

Упростим выражение под корнем:

$$-\frac{2}{3}a + a = \frac{1}{3}a.$$

Таким образом:

$$y_{\text{min}} = -\frac{2}{3}a \cdot \sqrt{\frac{1}{3}a} = -\frac{2}{3}a \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3}} = -\frac{2a \sqrt{a}}{3\sqrt{3}}.$$

Нам известно, что наименьшее значение функции равно $-6\sqrt{3}$, следовательно:

$$-\frac{2a \sqrt{a}}{3\sqrt{3}} = -6\sqrt{3}.$$

Теперь избавимся от минуса и умножим обе стороны на $3\sqrt{3}$:

$$2a \sqrt{a} = 18 \cdot 3 = 54.$$

Далее, поделим обе стороны на 2:

$$a \sqrt{a} = 27.$$

Возведем обе стороны в квадрат:

$$a^2 = 729 \quad \Rightarrow \quad a = 9.$$

Ответ: $a = 9$.

б) $y = (a — x)\sqrt{x}$ и $y_{\text{max}} = 10\sqrt{5}$.

Шаг 1. Находим производную функции $y(x)$.

Теперь вычислим производную функции $y = (a — x) \sqrt{x}$, также используя правило произведения:

$$y’ = (a — x)’\sqrt{x} + (a — x)(\sqrt{x})’.$$

Здесь:

• $(a — x)’ = -1$,
• $(\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Таким образом, производная функции:

$$y’ = -\sqrt{x} + \frac{a — x}{2\sqrt{x}} = \frac{-2x + a — x}{2\sqrt{x}} = \frac{a — 3x}{2\sqrt{x}}.$$

Шаг 2. Находим промежутки возрастания и убывания функции.

Решим неравенство:

$$\frac{a — 3x}{2\sqrt{x}} \geq 0.$$

Знаменатель $2\sqrt{x}$ всегда положителен при $x > 0$, следовательно, неравенство сводится к решению:

$$a — 3x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq \frac{a}{3}.$$

Функция будет возрастать на интервале $0 \leq x \leq \frac{a}{3}$, а убывать на $x > \frac{a}{3}$.

Шаг 3. Область определения функции.

Область определения функции $y = (a — x)\sqrt{x}$ такова, что $x \geq 0$, так как подкоренное выражение $\sqrt{x}$ должно быть определено.

Шаг 4. Находим наибольшее значение функции.

Наибольшее значение функции будет достигаться при $x = \frac{a}{3}$, так как в этой точке функция меняет свой характер с возрастания на убывание. Подставим $x = \frac{a}{3}$ в исходную функцию:

$$y_{\text{max}} = y\left(\frac{a}{3}\right) = \left(a — \frac{a}{3}\right) \cdot \sqrt{\frac{a}{3}}.$$

Упростим выражение:

$$a — \frac{a}{3} = \frac{2a}{3},$$

и

$$y_{\text{max}} = \frac{2a}{3} \cdot \sqrt{\frac{a}{3}} = \frac{2a}{3} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3}} = \frac{2a \sqrt{a}}{3\sqrt{3}}.$$

Нам известно, что наибольшее значение функции равно $10\sqrt{5}$, следовательно:

$$\frac{2a \sqrt{a}}{3\sqrt{3}} = 10\sqrt{5}.$$

Умножим обе стороны на $3\sqrt{3}$:

$$2a \sqrt{a} = 30 \cdot \sqrt{15}.$$

Возведем обе стороны в квадрат:

$$a^3 = 30^2 \cdot 15 = 900 \cdot 15 = 13500.$$

Решение кубического уравнения:

$$a^3 = 3375 \quad \Rightarrow \quad a = 15.$$

Ответ: $a = 15$.

Ответы:

1. $a = 9$.
2. $a = 15$.