ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.39 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) При каком значении параметра $n$ сумма квадратов корней уравнения $x^2-2nx+4n^2+3n=0$ будет наибольшей?

б) При каком значении параметра $n$ сумма квадратов корней уравнения $x^2+nx+2n-1=0$ будет наименьшей?

а) $x^2-2nx+4n^2+3n=0$;

Корни уравнения:

$$D=(2n{)}^2-4(4n^2+3n)=4n^2-16n^2-12n=-12n^2-12n;$$$$x=\frac{2n\pm \sqrt{-12n^2-12n}}{2}=\frac{2n\pm 2\sqrt{-3n^2-3n}}{2}=n\pm \sqrt{-3(n^2+n)};$$

Сумма квадратов:

$$S=x_1^2+x_2^2={(n-\sqrt{-3(n^2+n)})}^2+{(n+\sqrt{-3(n^2+n)})}^2;$$$$S=n^2-3(n^2+n)+n^2-3(n^2+n)=2n^2-6n^2-6n=-4n^2-6n;$$

Производная функции:

$$S^{\mathrm{\prime }}=-4(n^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(6n{)}^{\mathrm{\prime }}=-4\cdot 2n-6=-8n-6;$$

Промежуток возрастания:

$$-8n-6\ge 0;$$$$-8n\ge 6,\text{ отсюда }n\le -\frac{3}{4};$$

Область определения:

$$-12n^2-12n\ge 0;$$$$n^2+n\le 0;$$$$n(n+1)\le 0;$$$$-1\le n\le 0;$$

Ответ: $n=-\frac{3}{4}$.

б) $x^2+nx+2n-1=0$;

Корни уравнения:

$$D=n^2-4(2n-1)=n^2-8n+4;$$$$x=\frac{-n\pm \sqrt{n^2-8n+4}}{2};$$

Сумма квадратов:

$$S=x_1^2+x_2^2={\left(\frac{-n-\sqrt{n^2-8n+4}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{-n+\sqrt{n^2-8n+4}}{2}\right)}^2;$$$$S=\frac{n^2+n^2-8n+4+n^2+n^2-8n+4}{4}=\frac{4n^2-16n+8}{4}=n^2-4n+2;$$

Производная функции:

$$S^{\mathrm{\prime }}=(n^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(4n{)}^{\mathrm{\prime }}=2n-4;$$

Промежуток возрастания:

$$2n-4\ge 0;$$$$2n\ge 4,\text{ отсюда }n\ge 2;$$

Область определения:

$$n^2-8n+4=0;$$$$D=8^2-4\cdot 4=64-16=48,\text{ тогда:}$$$$x=\frac{8\pm \sqrt{48}}{2}=\frac{8\pm 4\sqrt{3}}{2}=4\pm 2\sqrt{3};$$$$(x-4+2\sqrt{3})(x-4-2\sqrt{3})\ge 0;$$$$x\le 4-2\sqrt{3}\text{ или }x\ge 4+2\sqrt{3};$$

Ответ: $n=4-2\sqrt{3}$.

а) Уравнение: $x^2-2nx+4n^2+3n=0$

Корни уравнения:

Прежде всего, рассмотрим дискриминант $D$ для данного квадратного уравнения. Для уравнения вида $a{x}^2+bx+c=0$ дискриминант вычисляется по формуле:

$$D=b^2-4ac$$

В нашем случае коэффициенты:

• $a=1$,
• $b=-2n$,
• $c=4n^2+3n$.

Подставим их в формулу для дискриминанта:

$$D=(-2n{)}^2-4\cdot 1\cdot (4n^2+3n)$$$$D=4n^2-4\cdot (4n^2+3n)=4n^2-16n^2-12n=-12n^2-12n\mathrm{.}$$

Теперь выразим корни уравнения. Корни для уравнения $x^2+bx+c=0$ находятся по формуле:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\mathrm{.}$$

В данном случае:

$$x=\frac{-(-2n)\pm \sqrt{-12n^2-12n}}{2\cdot 1}=\frac{2n\pm \sqrt{-12n^2-12n}}{2}\mathrm{.}$$

Выносим общий множитель $-12$ под корень:

$$x=\frac{2n\pm \sqrt{-12(n^2+n)}}{2}=n\pm \sqrt{-3(n^2+n)}\mathrm{.}$$

Таким образом, корни уравнения выражаются как:

$$x_1=n-\sqrt{-3(n^2+n)},x_2=n+\sqrt{-3(n^2+n)}\mathrm{.}$$

Сумма квадратов корней:

Теперь найдем сумму квадратов корней уравнения. Сумма квадратов корней для уравнения $x^2+bx+c=0$ равна:

$$S=x_1^2+x_2^2\mathrm{.}$$

Из формулы для суммы квадратов корней:

$$S=(n-\sqrt{-3(n^2+n)}{)}^2+(n+\sqrt{-3(n^2+n)}{)}^2\mathrm{.}$$

Раскроем скобки:

$$S=(n^2-2n\sqrt{-3(n^2+n)}+(-3(n^2+n)))+(n^2+2n\sqrt{-3(n^2+n)}+$$

$$+(-3(n^2+n)))\mathrm{.}$$

Упростим выражение:

$$S=n^2-3(n^2+n)+n^2-3(n^2+n)=2n^2-6n^2-6n=-4n^2-6n\mathrm{.}$$

Производная функции суммы квадратов:

Чтобы найти экстремум функции $S(n)=-4n^2-6n$, необходимо найти её производную:

$$S^{\mathrm{\prime }}=\frac{d}{dn}(-4n^2-6n)=-8n-6.$$

Нахождение промежутка возрастания:

Для нахождения промежутка возрастания функции $S(n)$, приравняем производную к нулю:

$$-8n-6=0.$$

Решим это уравнение:

$$-8n=6\Rightarrow n=-\frac{3}{4}\mathrm{.}$$

Это значение $n$ будет точкой максимума или минимума.

Чтобы определить, на каком промежутке функция возрастает, рассмотрим знак производной. Для $n\le -\frac{3}{4}$ производная будет отрицательной (функция убывает), а для $n\ge -\frac{3}{4}$ — положительной (функция возрастает).

Область определения:

Дискриминант $D$ должен быть неотрицательным для существования корней уравнения. Рассмотрим:

$$D=-12n^2-12n\ge 0.$$

Вынесем общий множитель $-12n(n+1)$:

$$-12n(n+1)\ge 0.$$

Умножая обе части на $-1$ (что меняет знак неравенства):

$$12n(n+1)\le 0.$$

Это неравенство выполняется для $-1\le n\le 0$.

Таким образом, область определения для $n$ — это $-1\le n\le 0$.

Ответ:
Максимум функции $S(n)$ достигается при $n=-\frac{3}{4}$. Это значение находится внутри области определения, поэтому ответ:

$$n=-\frac{3}{4}\mathrm{.}$$

б) Уравнение: $x^2+nx+2n-1=0$

Корни уравнения:

Рассчитаем дискриминант для уравнения $x^2+nx+(2n-1)=0$:

$$D=n^2-4\cdot 1\cdot (2n-1)=n^2-8n+4.$$

Корни уравнения найдём по формуле:

$$x=\frac{-n\pm \sqrt{n^2-8n+4}}{2}\mathrm{.}$$

Сумма квадратов корней:

Сумма квадратов корней для уравнения $x^2+nx+c=0$ равна:

$$S=x_1^2+x_2^2={\left(\frac{-n-\sqrt{n^2-8n+4}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{-n+\sqrt{n^2-8n+4}}{2}\right)}^2\mathrm{.}$$

Раскроем квадрат:

$$S=\frac{n^2+(n^2-8n+4)+n^2+(n^2-8n+4)}{4}=\frac{4n^2-16n+8}{4}=n^2-4n+2.$$

Производная функции суммы квадратов:

Найдем производную от функции суммы квадратов:

$$S^{\mathrm{\prime }}(n)=\frac{d}{dn}(n^2-4n+2)=2n-4.$$

Нахождение промежутка возрастания:

Для нахождения промежутка возрастания функции $S(n)$, приравняем производную к нулю:

$$2n-4=0.$$

Решим это уравнение:

$$2n=4\Rightarrow n=2.$$

Для $n\ge 2$ производная будет положительной (функция возрастает), а для $n\le 2$ — отрицательной (функция убывает).

Область определения:

Рассмотрим область определения функции. Для этого дискриминант $D$ должен быть неотрицательным:

$$n^2-8n+4\ge 0.$$

Найдем корни этого квадратного неравенства:

$$D=(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot 4=64-16=48.$$

Корни:

$$x=\frac{8\pm \sqrt{48}}{2}=4\pm 2\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Таким образом, область определения будет $x\le 4-2\sqrt{3}$ или $x\ge 4+2\sqrt{3}$, то есть $n=4-2\sqrt{3}$.

Ответ:
Ответ для $n$ — это значение $n=4-2\sqrt{3}$.