ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке без помощи производной:

а) $y = \sqrt{1 + \cos 2x}$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$;

б) $y = \sqrt{1 + \sin x}$ на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$;

в) $y = \sqrt{1 — \sin 2x}$ на отрезке $[0; \pi]$;

г) $y = \sqrt{1 + \cos 2x}$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$

а) $y = \sqrt{1 + \cos 2x}$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$;

$$\frac{\pi}{2} — \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi = \frac{T}{2};$$ $$-1 \leq \cos 2x \leq 1;$$ $$0 \leq 1 + \cos 2x \leq 2;$$ $$0 \leq \sqrt{1 + \cos 2x} \leq \sqrt{2};$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 0$; $y_{\text{max}} = \sqrt{2}$.

б) $y = \sqrt{1 + \sin x}$ на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$;

$$\frac{\pi}{2} — 0 = \frac{\pi}{2} < \frac{T}{2};$$ $$\sin 0 = 0 \quad \text{и} \quad \sin \frac{\pi}{2} = 1;$$ $$0 \leq \sin x \leq 1;$$ $$1 \leq 1 + \sin x \leq 2;$$ $$1 \leq \sqrt{1 + \sin x} \leq \sqrt{2};$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 1$; $y_{\text{max}} = \sqrt{2}$.

в) $y = \sqrt{1 — \sin 2x}$ на отрезке $[0; \pi]$;

$$\pi — 0 = \pi = \frac{T}{2};$$ $$-1 \leq \sin 2x \leq 1;$$ $$0 \leq 1 — \sin 2x \leq 2;$$ $$0 \leq \sqrt{1 — \sin 2x} \leq \sqrt{2};$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 0$; $y_{\text{max}} = \sqrt{2}$.

г) $y = \sqrt{1 + \cos 2x}$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$;

$$0 — \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} < \frac{T}{2};$$ $$\cos \left(-\frac{2\pi}{2}\right) = \cos \pi = -1 \quad \text{и} \quad \cos 0 = 1;$$ $$-1 \leq \cos 2x \leq 1;$$ $$0 \leq 1 + \cos 2x \leq 2;$$ $$0 \leq \sqrt{1 + \cos 2x} \leq \sqrt{2};$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 0$; $y_{\text{max}} = \sqrt{2}$.

а) $y = \sqrt{1 + \cos 2x}$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$:

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = \sqrt{1 + \cos 2x}$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.

1. Периодичность функции $\cos 2x$:

• Функция $\cos 2x$ является периодичной с периодом $\pi$, так как $2x$ является аргументом косинуса.
• Отрезок $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ представляет собой половину периода функции $\cos 2x$.

2. Найдем значения $\cos 2x$ на концах отрезка:

• Когда $x = -\frac{\pi}{2}$, то $2x = -\pi$, и $\cos(-\pi) = -1$.
• Когда $x = \frac{\pi}{2}$, то $2x = \pi$, и $\cos(\pi) = -1$.

На отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ значение функции $\cos 2x$ будет изменяться от -1 до 1.

3. Теперь определим область значений для $\sqrt{1 + \cos 2x}$:

• Мы знаем, что $-1 \leq \cos 2x \leq 1$, следовательно, $0 \leq 1 + \cos 2x \leq 2$.
• Поскольку $\cos 2x$ принимает значения от -1 до 1, то $1 + \cos 2x$ будет варьироваться от 0 до 2.
• Следовательно, $\sqrt{1 + \cos 2x}$ будет варьироваться от $\sqrt{0} = 0$ до $\sqrt{2}$.

Ответ:

• $y_{\text{min}} = 0$
• $y_{\text{max}} = \sqrt{2}$

б) $y = \sqrt{1 + \sin x}$ на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$:

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = \sqrt{1 + \sin x}$ на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$.

1. Периодичность функции $\sin x$:

• Функция $\sin x$ является периодичной с периодом $2\pi$.
• На отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ функция $\sin x$ монотонно возрастает, начиная от 0 и заканчивая 1.

2. Найдем значения $\sin x$ на концах отрезка:

• Когда $x = 0$, то $\sin 0 = 0$.
• Когда $x = \frac{\pi}{2}$, то $\sin \frac{\pi}{2} = 1$.

3. Теперь определим область значений для $\sqrt{1 + \sin x}$:

• Так как $0 \leq \sin x \leq 1$, следовательно, $1 \leq 1 + \sin x \leq 2$.
• Следовательно, $\sqrt{1 + \sin x}$ будет варьироваться от $\sqrt{1} = 1$ до $\sqrt{2}$.

Ответ:

• $y_{\text{min}} = 1$
• $y_{\text{max}} = \sqrt{2}$

в) $y = \sqrt{1 — \sin 2x}$ на отрезке $[0; \pi]$:

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = \sqrt{1 — \sin 2x}$ на отрезке $[0; \pi]$.

1. Периодичность функции $\sin 2x$:

• Функция $\sin 2x$ является периодичной с периодом $\pi$, так как $2x$ является аргументом синуса.
• Отрезок $[0; \pi]$ соответствует половине периода функции $\sin 2x$.

2. Найдем значения $\sin 2x$ на концах отрезка:

• Когда $x = 0$, то $2x = 0$, и $\sin 0 = 0$.
• Когда $x = \pi$, то $2x = 2\pi$, и $\sin 2\pi = 0$.

На отрезке $[0; \pi]$ значение функции $\sin 2x$ будет изменяться от -1 до 1.

3. Теперь определим область значений для $\sqrt{1 — \sin 2x}$:

• Мы знаем, что $-1 \leq \sin 2x \leq 1$, следовательно, $0 \leq 1 — \sin 2x \leq 2$.
• Поскольку $\sin 2x$ принимает значения от -1 до 1, то $1 — \sin 2x$ будет варьироваться от 0 до 2.
• Следовательно, $\sqrt{1 — \sin 2x}$ будет варьироваться от $\sqrt{0} = 0$ до $\sqrt{2}$.

Ответ:

• $y_{\text{min}} = 0$
• $y_{\text{max}} = \sqrt{2}$

г) $y = \sqrt{1 + \cos 2x}$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$:

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = \sqrt{1 + \cos 2x}$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$.

1. Периодичность функции $\cos 2x$:

• Функция $\cos 2x$ является периодичной с периодом $\pi$, так как $2x$ является аргументом косинуса.
• Отрезок $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$ представляет собой половину периода функции $\cos 2x$.

2. Найдем значения $\cos 2x$ на концах отрезка:

• Когда $x = -\frac{\pi}{2}$, то $2x = -\pi$, и $\cos(-\pi) = -1$.
• Когда $x = 0$, то $2x = 0$, и $\cos 0 = 1$.

На отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$ значение функции $\cos 2x$ будет изменяться от -1 до 1.

3. Теперь определим область значений для $\sqrt{1 + \cos 2x}$:

• Мы знаем, что $-1 \leq \cos 2x \leq 1$, следовательно, $0 \leq 1 + \cos 2x \leq 2$.
• Поскольку $\cos 2x$ принимает значения от -1 до 1, то $1 + \cos 2x$ будет варьироваться от 0 до 2.
• Следовательно, $\sqrt{1 + \cos 2x}$ будет варьироваться от $\sqrt{0} = 0$ до $\sqrt{2}$.

Ответ:

• $y_{\text{min}} = 0$
• $y_{\text{max}} = \sqrt{2}$

Ответы для всех пунктов:

а) $y_{\text{min}} = 0$; $y_{\text{max}} = \sqrt{2}$.

б) $y_{\text{min}} = 1$; $y_{\text{max}} = \sqrt{2}$.

в) $y_{\text{min}} = 0$; $y_{\text{max}} = \sqrt{2}$.

г) $y_{\text{min}} = 0$; $y_{\text{max}} = \sqrt{2}$.