ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.41 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сколько натуральных чисел принадлежит области значений функции $y = \sqrt{(x^3 — x^2)^3} + \sqrt{9 — 6x + x^2}$, $x \in [3; 5]$?

$y = \sqrt{(x^3 — x^2)^3} + \sqrt{9 — 6x + x^2}$ и $x \in [3; 5]$;

Область определения:
$x^3 — x^2 \geq 0 \quad => \quad x^2(x — 1) \geq 0 \quad => \quad x = 0 \text{ или } x \geq 1;$
$x^2 — 6x + 9 \geq 0 \quad => \quad (x — 3)^2 \geq 0, \text{ отсюда } x \in \mathbb{R};$

Сократим выражение, учитывая что $x \geq 3$:
$y = \sqrt{(x^3 — x^2)^3} + \sqrt{(x — 3)^2} = (x^3 — x^2)\sqrt{x^3 — x^2} + (x — 3);$

Производная функции:
$y’ = (x^3 — x^2)’ \sqrt{x^3 — x^2} + (x^3 — x^2) \left( \sqrt{x^3 — x^2} \right)’ + (x — 3)’;$
$y’ = (3x^2 — 2x) \cdot \sqrt{x^3 — x^2} + (x^3 — x^2) \cdot \frac{3x^2 — 2x}{2\sqrt{x^3 — x^2}} + 1;$
$y’ = \frac{2(3x^2 — 2x)(x^3 — x^2) + (x^3 — x^2)(3x^2 — 2x)}{2\sqrt{x^3 — x^2}} + 1;$
$y’ = \frac{3(3x^2 — 2x)(x^3 — x^2)}{2\sqrt{x^3 — x^2}} + 1;$
$y’ = \frac{3}{2} \cdot (3x^2 — 2x) \cdot \sqrt{x^3 — x^2} + 1;$

На указанном промежутке функция возрастает:
$3x^2 — 2x \geq 0;$
$x(3x — 2) \geq 0;$
$x \leq 0 \text{ или } x \geq \frac{2}{3};$

Значения функции:
$y(3) = \sqrt{(27 — 9)^3} + \sqrt{9 — 18 + 9} = \sqrt{18^3} + \sqrt{0} = \sqrt{5832} \approx 76,36;$
$y(5) = \sqrt{(125 — 25)^3} + \sqrt{9 — 30 + 25} = \sqrt{1000000} + \sqrt{4} = 1002;$

Натуральные числа:
$N = (1002 — 76) + 1 = 926;$

Ответ: 926.

Дано выражение:

$$y = \sqrt{(x^3 — x^2)^3} + \sqrt{9 — 6x + x^2}, \quad x \in [3; 5].$$

Задача состоит из нескольких шагов. Давайте подробно разберём каждый из них.

Шаг 1. Область определения функции.

Для того чтобы функция $y$ была определена, должны быть выполнены следующие условия:

1. В первом корне подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поскольку в случае с действительными числами корень из отрицательного числа не существует. Подкоренное выражение в первой части — это $(x^3 — x^2)^3$. Нам нужно, чтобы $(x^3 — x^2) \geq 0$.
2. Во втором корне подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а именно $9 — 6x + x^2 \geq 0$.

1.1. Условие для $(x^3 — x^2)^3$:

Прежде всего заметим, что

$$(x^3 — x^2)^3 = x^6 — 2x^5 + x^4.$$

Поскольку выражение возводится в куб, нам важно, чтобы $x^3 — x^2 \geq 0$.

Разберём это неравенство:

$$x^3 — x^2 = x^2(x — 1) \geq 0.$$

Это произведение будет неотрицательным, когда хотя бы одна из следующих ситуаций выполняется:

1. $x^2 \geq 0$, что всегда верно для любого действительного $x$.
2. $x — 1 \geq 0$, то есть $x \geq 1$.

Таким образом, условие $(x^3 — x^2) \geq 0$ выполняется при $x \geq 1$. Важно заметить, что при $x = 0$ это выражение будет равно нулю, что также допустимо для корня.

1.2. Условие для $\sqrt{9 — 6x + x^2}$:

Рассмотрим выражение $9 — 6x + x^2$. Это квадратное выражение, и для того, чтобы оно было неотрицательным, нужно решить неравенство:

$$9 — 6x + x^2 \geq 0.$$

Перепишем его в виде:

$$x^2 — 6x + 9 \geq 0.$$

Это полное квадратное выражение:

$$(x — 3)^2 \geq 0.$$

Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, это неравенство всегда выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

1.3. Область определения:

Из вышеизложенного мы видим, что:

• $(x^3 — x^2)^3$ определено для $x \geq 1$.
• $\sqrt{9 — 6x + x^2}$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$.

Таким образом, область определения функции $y$ — это $x \in [1; \infty)$, но так как нам дано, что $x \in [3; 5]$, то область определения ограничена этим интервалом. Таким образом, область определения: $x \in [3; 5]$.

Шаг 2. Сокращение выражения функции.

Теперь упростим выражение для $y$, принимая во внимание, что $x \geq 3$.

Исходное выражение:

$$y = \sqrt{(x^3 — x^2)^3} + \sqrt{9 — 6x + x^2}.$$

1. В первой части выражения $\sqrt{(x^3 — x^2)^3}$ можно сделать замену $u = x^3 — x^2$, так что $\sqrt{(x^3 — x^2)^3} = (x^3 — x^2)\sqrt{x^3 — x^2}$.
2. Во второй части подкоренное выражение — это $(x — 3)^2$, и его квадратный корень равен $|x — 3|$. Так как $x \geq 3$, то $|x — 3| = x — 3$.

Таким образом, упрощённое выражение для $y$:

$$y = (x^3 — x^2)\sqrt{x^3 — x^2} + (x — 3).$$

Шаг 3. Производная функции.

Теперь найдём производную функции $y$. Для этого используем правило производной суммы и производной произведения.

$$y = (x^3 — x^2)\sqrt{x^3 — x^2} + (x — 3).$$

Найдем производную каждого из слагаемых:

Производная первого слагаемого $(x^3 — x^2)\sqrt{x^3 — x^2}$ по правилу произведения:

$$\frac{d}{dx}\left( (x^3 — x^2)\sqrt{x^3 — x^2} \right) = (x^3 — x^2)’ \cdot \sqrt{x^3 — x^2} + (x^3 — x^2) \cdot \left( \sqrt{x^3 — x^2} \right)’.$$

Используем производную для $(x^3 — x^2)’ = 3x^2 — 2x$, а производную от $\sqrt{x^3 — x^2}$ по цепному правилу:

$$\left( \sqrt{x^3 — x^2} \right)’ = \frac{1}{2\sqrt{x^3 — x^2}} \cdot (3x^2 — 2x).$$

Таким образом, производная первого слагаемого:

$$= (3x^2 — 2x) \cdot \sqrt{x^3 — x^2} + (x^3 — x^2) \cdot \frac{3x^2 — 2x}{2\sqrt{x^3 — x^2}}.$$

Производная второго слагаемого $(x — 3)$ равна:

$$1.$$

Итак, полная производная:

$$y’ = (3x^2 — 2x) \cdot \sqrt{x^3 — x^2} + (x^3 — x^2) \cdot \frac{3x^2 — 2x}{2\sqrt{x^3 — x^2}} + 1.$$

Упростим выражение:

$$y’ = \frac{2(3x^2 — 2x)(x^3 — x^2) + (x^3 — x^2)(3x^2 — 2x)}{2\sqrt{x^3 — x^2}} + 1.$$ $$y’ = \frac{3(3x^2 — 2x)(x^3 — x^2)}{2\sqrt{x^3 — x^2}} + 1.$$ $$y’ = \frac{3}{2} \cdot (3x^2 — 2x) \cdot \sqrt{x^3 — x^2} + 1.$$

Шаг 4. Монотонность функции.

Для того чтобы функция возрастала, нужно, чтобы её производная была положительной:

$$y’ \geq 0.$$

Рассмотрим выражение для производной:

$$y’ = \frac{3}{2} \cdot (3x^2 — 2x) \cdot \sqrt{x^3 — x^2} + 1.$$

Поскольку $\sqrt{x^3 — x^2} \geq 0$ при $x \geq 3$, нужно, чтобы $3x^2 — 2x \geq 0$.

Решим неравенство:

$$3x^2 — 2x \geq 0.$$

Выносим $x$:

$$x(3x — 2) \geq 0.$$

Решение этого неравенства: $x \geq \frac{2}{3}$ или $x \leq 0$. Так как $x \geq 3$, это условие выполняется при $x \geq 3$.

Таким образом, на интервале $[3; 5]$ функция возрастает.

Шаг 5. Значения функции.

Теперь вычислим значения функции на концах интервала $[3; 5]$.

Для $x = 3$:

$$y(3)=\sqrt{(3^3-3^2{)}^3}+\sqrt{9-6(3)+3^2}=\sqrt{(27-9{)}^3}+\sqrt{9-18+9}=$$

$$y(3) = \sqrt{(3^3 — 3^2)^3} + \sqrt{9 — 6(3) + 3^2} = \sqrt{(27 — 9)^3} + \sqrt{9 — 18 + 9} = \sqrt{18^3} + \sqrt{0} = \sqrt{5832} \approx 76,36.$$

Для $x = 5$:

$$y(5)=\sqrt{(5^3-5^2{)}^3}+\sqrt{9-6(5)+5^2}=\sqrt{(125-25{)}^3}+\sqrt{9-30+25}=$$

$$y(5) = \sqrt{(5^3 — 5^2)^3} + \sqrt{9 — 6(5) + 5^2} = \sqrt{(125 — 25)^3} + \sqrt{9 — 30 + 25} = \sqrt{1000000} + \sqrt{4} = 1002.$$

Шаг 6. Натуральные числа.

Теперь найдём количество натуральных чисел на интервале $[76,36; 1002]$.

Количество натуральных чисел от 76 до 1002 включительно:

$$N = (1002 — 76) + 1 = 926.$$

Ответ:

$$\boxed{926}.$$