ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.42 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$$y = \left| \sqrt{2 — x^2} — 2 \right| + \sqrt{2 — x^2} — 2 + 2x — x^2.$$

$$y = \left| \sqrt{2 — x^2} — 2 \right| + \sqrt{2 — x^2} — 2 + 2x — x^2;$$

Выражение под модулем:

$$\sqrt{2 — x^2} — 2 \leq 0;$$ $$2 — x^2 — 4 \leq 0;$$ $$-2 — x^2 \leq 0;$$ $$-2 \leq x^2, \text{ отсюда } x \in \mathbb{R};$$

По определению модуля числа:

$$y = -\sqrt{2 — x^2} + 2 + \sqrt{2 — x^2} — 2 + 2x — x^2 = 2x — x^2;$$

Производная функции:

$$y’ = (2x)’ — (x^2)’ = 2 — 2x;$$

Стационарные точки:

$$2 — 2x = 0;$$ $$2 = 2x, \text{ отсюда } x = 1;$$

Область определения:

$$2 — x^2 \geq 0;$$ $$2 \geq x^2, \text{ отсюда } -\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2};$$

Значения функции:

$$y(-\sqrt{2}) = 2 \cdot (-\sqrt{2}) — (\sqrt{2})^2 = -2\sqrt{2} — 2 \approx -4.8;$$ $$y(1) = 2 \cdot 1 — 1^2 = 2 — 1 = 1;$$ $$y(\sqrt{2}) = 2 \cdot (\sqrt{2}) — (\sqrt{2})^2 = 2\sqrt{2} — 2 \approx 0.8;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -2\sqrt{2} — 2$; $y_{\text{max}} = 1$.

Давайте решим задачу на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:

$$y = \left| \sqrt{2 — x^2} — 2 \right| + \sqrt{2 — x^2} — 2 + 2x — x^2.$$

Шаг 1: Определение области определения функции

Прежде чем приступать к анализу самой функции, нужно выяснить, для каких значений $x$ выражение $\sqrt{2 — x^2}$ будет определено.

• Корень $\sqrt{2 — x^2}$ определен, если подкоренное выражение $2 — x^2 \geq 0$.
• То есть, $2 \geq x^2$.
• Из этого неравенства получаем, что $-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$.

Таким образом, область определения функции — это отрезок:

$$x \in \left[ -\sqrt{2}, \sqrt{2} \right].$$

Шаг 2: Анализ выражения под модулем

Теперь рассмотрим выражение под модулем:

$$\sqrt{2 — x^2} — 2.$$

Нужно выяснить, при каких значениях $x$ это выражение будет неотрицательным, а при каких — отрицательным. Для этого решим неравенство:

$$\sqrt{2 — x^2} — 2 \leq 0.$$

Добавим 2 к обеим частям неравенства:

$$\sqrt{2 — x^2} \leq 2.$$

Теперь возведем обе части неравенства в квадрат (заметим, что корень $\sqrt{2 — x^2}$ всегда неотрицателен):

$$2 — x^2 \leq 4.$$

Решим неравенство:

$$-x^2 \leq 2,$$ $$x^2 \geq -2.$$

Так как $x^2 \geq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, это неравенство всегда выполняется, и следовательно, для всех $x$ из области определения $\left[ -\sqrt{2}, \sqrt{2} \right]$, выражение $\sqrt{2 — x^2} — 2$ всегда неотрицательно.

Таким образом, на всем интервале $\left[ -\sqrt{2}, \sqrt{2} \right]$ выражение под модулем всегда будет отрицательным или равным нулю.

Шаг 3: Удаление модуля

С учетом, что выражение под модулем всегда неотрицательно, можем записать функцию без модуля:

$$y = -\sqrt{2 — x^2} + 2 + \sqrt{2 — x^2} — 2 + 2x — x^2.$$

Упростим её:

$$y = 2x — x^2.$$

Теперь у нас есть простая квадратичная функция $y = 2x — x^2$, и нужно найти её наибольшее и наименьшее значения на отрезке $x \in \left[ -\sqrt{2}, \sqrt{2} \right]$.

Шаг 4: Нахождение производной

Для поиска экстремумов функции, найдём её производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}(2x — x^2) = 2 — 2x.$$

Шаг 5: Нахождение стационарных точек

Для нахождения стационарных точек приравняем производную к нулю:

$$2 — 2x = 0,$$ $$2 = 2x,$$ $$x = 1.$$

Это точка, в которой функция может принимать экстремум. Проверим, входит ли эта точка в область определения. Поскольку $1 \in \left[ -\sqrt{2}, \sqrt{2} \right]$, эта точка лежит в области определения.

Шаг 6: Анализ наибольшего и наименьшего значений функции

Теперь вычислим значения функции $y = 2x — x^2$ на концах области определения и в стационарной точке $x = 1$.

1. При $x = -\sqrt{2}$:

   $$y(-\sqrt{2}) = 2(-\sqrt{2}) — (-\sqrt{2})^2 = -2\sqrt{2} — 2 \approx -4.8.$$

2. При $x = 1$:

   $$y(1) = 2(1) — 1^2 = 2 — 1 = 1.$$

3. При $x = \sqrt{2}$:

   $$y(\sqrt{2}) = 2(\sqrt{2}) — (\sqrt{2})^2 = 2\sqrt{2} — 2 \approx 0.8.$$

Шаг 7: Окончательный ответ

На основе вычислений:

• Минимальное значение функции $y_{\text{min}}$ равно $-2\sqrt{2} — 2 \approx -4.8$.
• Максимальное значение функции $y_{\text{max}}$ равно $1$.

Ответ:

$$y_{\text{min}} = -2\sqrt{2} — 2, \quad y_{\text{max}} = 1.$$