ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.43 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область значений функции

$$y = \left| \sqrt{8 + 2x — x^2} — 4 \right| + \sqrt{8 + 2x — x^2} + x^3 — 3x^2 — 9x.$$

$y = \left| \sqrt{8 + 2x — x^2} — 4 \right| + \sqrt{8 + 2x — x^2} + x^3 — 3x^2 — 9x;$

Выражение под модулем:

$$\sqrt{8+2x-x^2}-4\le 0;$$

$$\sqrt{8 + 2x — x^2} — 4 \leq 0;$$ $$8+2x-x^2-16\le 0;$$

$$8 + 2x — x^2 — 16 \leq 0;$$ $$-x^2+2x-8\le 0;$$

$$-x^2 + 2x — 8 \leq 0;$$ $$D = 2^2 — 4 \cdot 8 = 4 — 32 = -28 < 0;$$

$a = -1 < 0$, значит $x \in \mathbb{R}$;

По определению модуля числа:

$$y=-\sqrt{8+2x-x^2}+4+\sqrt{8+2x-x^2}+x^3-3x^2-9x;$$

$$y = -\sqrt{8 + 2x — x^2} + 4 + \sqrt{8 + 2x — x^2} + x^3 — 3x^2 — 9x;$$ $$y = x^3 — 3x^2 — 9x + 4;$$

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}-3(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(9x-4{)}^{\mathrm{\prime }};$$

$$y’ = (x^3)’ — 3(x^2)’ — (9x — 4)’;$$ $$y’ = 3x^2 — 3 \cdot 2x — 9 = 3x^2 — 6x — 9;$$

Стационарные точки:

$$3x^2-6x-9=0;$$

$$3x^2 — 6x — 9 = 0;$$ $$x^2-2x-3=0;$$

$$x^2 — 2x — 3 = 0;$$ $$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16,\text{ тогда: }$$

$$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;$$

Область определения:

$$8+2x-x^2\ge 0;$$

$$8 + 2x — x^2 \geq 0;$$ $$x^2-2x-8\le 0;$$

$$x^2 — 2x — 8 \leq 0;$$ $$D=2^2+4\cdot 8=4+32=36,\text{ тогда: }$$

$$D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36, \text{ тогда: }$$ $$x_1=\frac{2-6}{2}=-2\text{и}{x}_2=\frac{2+6}{2}=4;$$

$$x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4;$$ $$(x+2)(x-4)\le 0;$$

$$(x + 2)(x — 4) \leq 0;$$ $$-2 \leq x \leq 4;$$

Значения функции:

$$y(-2)=-8-3\cdot 4-9\cdot (-2)+4=-8-12+18+4=2;$$

$$y(-2) = -8 — 3 \cdot 4 — 9 \cdot (-2) + 4 = -8 — 12 + 18 + 4 = 2;$$ $$y(-1)=-1-3\cdot 1-9\cdot (-1)+4=-1-3+9+4=9;$$

$$y(-1) = -1 — 3 \cdot 1 — 9 \cdot (-1) + 4 = -1 — 3 + 9 + 4 = 9;$$ $$y(3)=27-3\cdot 9-9\cdot 3+4=27-27-27+4=-23;$$

$$y(3) = 27 — 3 \cdot 9 — 9 \cdot 3 + 4 = 27 — 27 — 27 + 4 = -23;$$ $$y(4) = 64 — 3 \cdot 16 — 9 \cdot 4 + 4 = 64 — 48 — 36 + 4 = -16;$$

Ответ: $y \in [-23; 9]$.

Найти область значений функции

$$y = \left| \sqrt{8 + 2x — x^2} — 4 \right| + \sqrt{8 + 2x — x^2} + x^3 — 3x^2 — 9x.$$

1) Выражение под модулем:

Вначале разберемся с выражением под модулем:

$$\left| \sqrt{8 + 2x — x^2} — 4 \right|.$$

Для того чтобы модуль был определён, выражение под ним должно быть вычисляемым. Это означает, что выражение под корнем $8 + 2x — x^2$ должно быть неотрицательным, так как корень из отрицательных чисел не существует в действительных числах.

Необходимо решить неравенство:

$$8 + 2x — x^2 \geq 0.$$

Перепишем его в стандартную форму:

$$-x^2 + 2x + 8 \geq 0.$$

Умножим обе стороны неравенства на -1 (не забываем, что при этом знак неравенства меняется):

$$x^2 — 2x — 8 \leq 0.$$

Решим это квадратное неравенство с помощью дискриминанта. Для начала найдем дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36.$$

Корни уравнения:

$$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6}{2}.$$

Таким образом, получаем два корня:

$$x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4.$$

Это значит, что решение неравенства $x^2 — 2x — 8 \leq 0$ будет на интервале:

$$-2 \leq x \leq 4.$$

Значит, область определения функции $y$ будет ограничена интервалом $x \in [-2, 4]$.

2) Модуль и упрощение выражения:

Теперь рассмотрим сам модуль. Для этого необходимо рассмотреть два случая: когда выражение внутри модуля положительно или отрицательно.

2.1) Если $\sqrt{8 + 2x — x^2} — 4 \geq 0$, то:

$$y = \sqrt{8 + 2x — x^2} — 4 + \sqrt{8 + 2x — x^2} + x^3 — 3x^2 — 9x.$$

Упростим выражение:

$$y = 2 \sqrt{8 + 2x — x^2} — 4 + x^3 — 3x^2 — 9x.$$

2.2) Если $\sqrt{8 + 2x — x^2} — 4 < 0$, то:

$$y = -\left( \sqrt{8 + 2x — x^2} — 4 \right) + \sqrt{8 + 2x — x^2} + x^3 — 3x^2 — 9x.$$

Упростим выражение:

$$y = -\sqrt{8 + 2x — x^2} + 4 + \sqrt{8 + 2x — x^2} + x^3 — 3x^2 — 9x.$$

Здесь выражение под корнем сокращается:

$$y = x^3 — 3x^2 — 9x + 4.$$

Теперь мы имеем функцию, зависящую от $x$:

$$y = x^3 — 3x^2 — 9x + 4.$$

3) Производная функции:

Для поиска экстремумов функции $y = x^3 — 3x^2 — 9x + 4$ найдём её производную:

$$y’ = (x^3)’ — 3(x^2)’ — (9x)’ + (4)’.$$

Вычислим производную каждого слагаемого:

$$y’ = 3x^2 — 6x — 9.$$

Это производная функции $y$.

4) Стационарные точки:

Для нахождения стационарных точек приравняем производную к нулю:

$$3x^2 — 6x — 9 = 0.$$

Разделим обе части уравнения на 3:

$$x^2 — 2x — 3 = 0.$$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.$$

Корни уравнения:

$$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2}.$$

Получаем два корня:

$$x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3.$$

Таким образом, стационарные точки функции находятся в точках $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

5) Область определения функции:

Мы уже нашли, что область определения функции ограничена интервалом $x \in [-2, 4]$.

6) Значения функции в критических точках:

Теперь вычислим значения функции $y = x^3 — 3x^2 — 9x + 4$ в критических точках и на границах области определения.

При $x = -2$:

$$y(-2) = (-2)^3 — 3(-2)^2 — 9(-2) + 4 = -8 — 12 + 18 + 4 = 2.$$

При $x = -1$:

$$y(-1) = (-1)^3 — 3(-1)^2 — 9(-1) + 4 = -1 — 3 + 9 + 4 = 9.$$

При $x = 3$:

$$y(3) = 3^3 — 3(3)^2 — 9(3) + 4 = 27 — 27 — 27 + 4 = -23.$$

При $x = 4$:

$$y(4) = 4^3 — 3(4)^2 — 9(4) + 4 = 64 — 48 — 36 + 4 = -16.$$

7) Ответ:

Таким образом, на интервале $[-2, 4]$ функция $y = x^3 — 3x^2 — 9x + 4$ принимает минимальное значение $-23$ при $x = 3$ и максимальное значение $9$ при $x = -1$.

Ответ: область значений функции:

$$y \in [-23, 9].$$