ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.44 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение.

б) Произведение двух положительных чисел равно 484. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наименьшее значение.

а) Пусть $x$ и $y$ — данные числа, тогда:
$x + y = 24, \text{ отсюда } y = 24 — x;$
$f(x) = x \cdot y = x(24 — x) = 24x — x^2;$

Производная функции:
$f'(x) = (24x)’ — (x^2)’ = 24 — 2x;$

Промежуток возрастания:
$24 — 2x \geq 0;$
$24 \geq 2x, \text{ отсюда } x \leq 12;$

Точка максимума:
$x = 12 \text{ и } y = 24 — 12 = 12;$

Ответ: $12; 12$.

б) Пусть $x$ и $y$ — данные числа, тогда:
$x \cdot y = 484, \text{ отсюда } y = \frac{484}{x};$
$f(x) = x + y = x + \frac{484}{x};$

Производная функции:
$f'(x) = (x)’ + 484 \left( \frac{1}{x} \right)’ = 1 — \frac{484}{x^2};$

Промежуток возрастания:
$1 — \frac{484}{x^2} \geq 0;$
$x^2 — 484 \geq 0;$
$x^2 \geq 484;$
$x \leq -22 \text{ или } x \geq 22;$

Точка минимума:
$x = 22 \text{ и } y = \frac{484}{22} = 22;$

Ответ: $22; 22$.

Задача а)

Условие: Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение.

Пусть $x$ и $y$ — это искомые числа. Из условия задачи нам известно, что:

$$x + y = 24.$$

Таким образом, можно выразить $y$ через $x$:

$$y = 24 — x.$$

Далее, нам нужно найти произведение этих чисел, то есть $P(x) = x \cdot y$. Подставляем $y = 24 — x$ в эту формулу:

$$P(x) = x \cdot (24 — x) = 24x — x^2.$$

Итак, функция произведения этих чисел — это квадратичная функция от $x$:

$$P(x) = 24x — x^2.$$

Теперь будем искать $x$, при котором произведение $P(x)$ достигает максимума.

Нахождение производной функции:

Для нахождения экстремумов функции, нужно вычислить её производную $P'(x)$. Производная от $P(x) = 24x — x^2$ будет:

$$P'(x) = \frac{d}{dx}(24x) — \frac{d}{dx}(x^2) = 24 — 2x.$$

Нахождение критической точки:

Чтобы найти критические точки, при которых может быть максимум или минимум, приравняем производную к нулю:

$$P'(x) = 24 — 2x = 0.$$

Решим это уравнение:

$$24 = 2x \quad \Rightarrow \quad x = 12.$$

Таким образом, критическая точка — это $x = 12$.

Проверка, является ли эта точка максимумом:

Для того чтобы убедиться, что в точке $x = 12$ действительно максимум, нужно проверить второй производной. Найдем вторую производную функции $P(x)$:

$$P»(x) = \frac{d}{dx}(24 — 2x) = -2.$$

Поскольку вторая производная отрицательна ($P»(x) = -2$), это означает, что в точке $x = 12$ функция $P(x)$ имеет локальный максимум.

Нахождение значений чисел:

Теперь, зная, что $x = 12$, подставим это значение в выражение для $y$:

$$y = 24 — x = 24 — 12 = 12.$$

Итак, максимальное произведение происходит при $x = 12$ и $y = 12$.

Ответ: $12; 12$.

Задача б)

Условие: Произведение двух положительных чисел равно 484. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наименьшее значение.

Пусть $x$ и $y$ — искомые положительные числа. Из условия задачи известно, что их произведение равно 484:

$$x \cdot y = 484.$$

Мы можем выразить $y$ через $x$:

$$y = \frac{484}{x}.$$

Нам нужно минимизировать сумму этих чисел, то есть $S(x) = x + y$. Подставим выражение для $y$:

$$S(x) = x + \frac{484}{x}.$$

Теперь наша задача — найти минимальное значение функции $S(x)$, которая является функцией от $x$.

Нахождение производной функции:

Для нахождения экстремума функции $S(x) = x + \frac{484}{x}$ вычислим её производную $S'(x)$:

$$S'(x) = \frac{d}{dx}\left(x + \frac{484}{x}\right) = 1 — \frac{484}{x^2}.$$

Нахождение критической точки:

Чтобы найти экстремум, приравняем производную к нулю:

$$S'(x) = 1 — \frac{484}{x^2} = 0.$$

Решим это уравнение:

$$1 = \frac{484}{x^2} \quad \Rightarrow \quad x^2 = 484 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 22.$$

Поскольку $x$ — положительное число, то $x = 22$.

Проверка, является ли эта точка минимумом:

Для того чтобы убедиться, что в точке $x = 22$ действительно минимум, проверим вторую производную. Найдем её:

$$S»(x) = \frac{d}{dx}\left(1 — \frac{484}{x^2}\right) = \frac{968}{x^3}.$$

Так как вторая производная положительна ($S»(x) > 0$ для $x > 0$), это означает, что в точке $x = 22$ функция $S(x)$ имеет локальный минимум.

Нахождение значений чисел:

Теперь, зная, что $x = 22$, подставим это значение в выражение для $y$:

$$y = \frac{484}{x} = \frac{484}{22} = 22.$$

Таким образом, минимальное значение суммы происходит при $x = 22$ и $y = 22$.

Ответ: $22; 22$.