ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.45 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Разность двух чисел равна 10. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

б) Разность двух чисел равна 98. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

а) Пусть $x$ и $y$ — данные числа, тогда:
$y — x = 10, \text{ отсюда } y = x + 10;$
$f(x) = x \cdot y = x(x + 10) = x^2 + 10x;$

Производная функции:
$f'(x) = (x^2)’ + (10x)’ = 2x + 10;$

Промежуток возрастания:
$2x + 10 \geq 0;$
$2x \geq -10, \text{ отсюда } x \geq -5;$

Точка минимума:
$x = -5 \text{ и } y = -5 + 10 = 5;$

Ответ: $-5; 5$.

б) Пусть $x$ и $y$ — данные числа, тогда:
$y — x = 98, \text{ отсюда } y = x + 98;$
$f(x) = x \cdot y = x(x + 98) = x^2 + 98x;$

Производная функции:
$f'(x) = (x^2)’ + (98x)’ = 2x + 98;$

Промежуток возрастания:
$2x + 98 \geq 0;$
$2x \geq -98, \text{ отсюда } x \geq -49;$

Точка минимума:
$x = -49 \text{ и } y = -49 + 98 = 49;$

Ответ: $-49; 49$.

Часть а)

Условие: Разность двух чисел равна 10. Найдите эти числа, если их произведение принимает наименьшее значение.

Обозначения и выражение для произведения:

Пусть два числа — $x$ и $y$. Из условия задачи известно, что их разность равна 10:

$$y — x = 10 \quad \Rightarrow \quad y = x + 10.$$

Задача требует найти минимальное произведение этих чисел. Произведение чисел $x$ и $y$ можно записать как:

$$f(x) = x \cdot y.$$

Подставляем выражение для $y$:

$$f(x) = x \cdot (x + 10) = x^2 + 10x.$$

Это и есть функция, которая описывает произведение чисел $x$ и $y$ как функцию от $x$.

Поиск экстремума функции:

Чтобы найти, при каком значении $x$ произведение минимально, нужно найти экстремум функции $f(x)$. Для этого находим первую производную функции $f(x)$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 10x) = 2x + 10.$$

Поиск критических точек:

Чтобы найти критическую точку (точку минимума или максимума), приравниваем первую производную к нулю:

$$2x + 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = -10 \quad \Rightarrow \quad x = -5.$$

Проверка типа критической точки:

Чтобы проверить, является ли точка $x = -5$ минимумом, нужно исследовать знак второй производной функции $f(x)$. Найдем её:

$$f»(x) = \frac{d}{dx}(2x + 10) = 2.$$

Поскольку $f»(x) = 2 > 0$, то функция $f(x)$ имеет минимум в точке $x = -5$.

Нахождение значений $x$ и $y$:

Теперь, когда мы нашли $x = -5$, находим соответствующее значение $y$:

$$y = x + 10 = -5 + 10 = 5.$$

Таким образом, числа, разность которых равна 10, и произведение которых минимально, это $x = -5$ и $y = 5$.

Ответ:

$$(-5; 5).$$

Часть б)

Условие: Разность двух чисел равна 98. Найдите эти числа, если их произведение принимает наименьшее значение.

Обозначения и выражение для произведения:

Пусть два числа — $x$ и $y$. Из условия задачи известно, что их разность равна 98:

$$y — x = 98 \quad \Rightarrow \quad y = x + 98.$$

Задача требует найти минимальное произведение этих чисел. Произведение чисел $x$ и $y$ можно записать как:

$$f(x) = x \cdot y.$$

Подставляем выражение для $y$:

$$f(x) = x \cdot (x + 98) = x^2 + 98x.$$

Это и есть функция, которая описывает произведение чисел $x$ и $y$ как функцию от $x$.

Поиск экстремума функции:

Чтобы найти, при каком значении $x$ произведение минимально, нужно найти экстремум функции $f(x)$. Для этого находим первую производную функции $f(x)$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 98x) = 2x + 98.$$

Поиск критических точек:

Чтобы найти критическую точку (точку минимума или максимума), приравниваем первую производную к нулю:

$$2x + 98 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = -98 \quad \Rightarrow \quad x = -49.$$

Проверка типа критической точки:

Чтобы проверить, является ли точка $x = -49$ минимумом, нужно исследовать знак второй производной функции $f(x)$. Найдем её:

$$f»(x) = \frac{d}{dx}(2x + 98) = 2.$$

Поскольку $f»(x) = 2 > 0$, то функция $f(x)$ имеет минимум в точке $x = -49$.

Нахождение значений $x$ и $y$:

Теперь, когда мы нашли $x = -49$, находим соответствующее значение $y$:

$$y = x + 98 = -49 + 98 = 49.$$

Таким образом, числа, разность которых равна 98, и произведение которых минимально, это $x = -49$ и $y = 49$.

Ответ:

$$(-49; 49).$$

Итоговый ответ:

а) $(-5; 5)$.

б) $(-49; 49)$.