ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.46 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Известно, что одно из двух чисел на 36 больше другого. Найдите эти числа, если известно, что их произведение минимально.

б) Известно, что одно из двух чисел меньше другого на 28. Найдите эти числа, если известно, что их произведение минимально.

а) Пусть $x$ и $y$ — данные числа, тогда:
$y — x = 36, \text{ отсюда } y = x + 36;$
$f(x) = x \cdot y = x(x + 36) = x^2 + 36x;$

Производная функции:
$f'(x) = (x^2)’ + (36x)’ = 2x + 36;$

Промежуток возрастания:
$2x + 36 \geq 0;$
$2x \geq -36, \text{ отсюда } x \geq -18;$

Точка минимума:
$x = -18 \text{ и } y = -18 + 36 = 18;$

Ответ: $-18; 18$.

б) Пусть $x$ и $y$ — данные числа, тогда:
$y — x = 28, \text{ отсюда } y = x + 28;$
$f(x) = x \cdot y = x(x + 28) = x^2 + 28x;$

Производная функции:
$f'(x) = (x^2)’ + (28x)’ = 2x + 28;$

Промежуток возрастания:
$2x + 28 \geq 0;$
$2x \geq -28, \text{ отсюда } x \geq -14;$

Точка минимума:
$x = -14 \text{ и } y = -14 + 28 = 14;$

Ответ: $-14; 14$.

а) Пусть $x$ и $y$ — два числа. Из условия задачи известно, что одно из чисел на 36 больше другого, то есть:

$$y — x = 36$$

Отсюда можно выразить $y$ через $x$:

$$y = x + 36$$

Шаг 1: Записываем функцию произведения

Нам нужно найти такие значения $x$ и $y$, при которых их произведение $P = x \cdot y$ минимально. Подставим выражение для $y$ в формулу произведения:

$$P(x) = x \cdot y = x(x + 36) = x^2 + 36x$$

Итак, наша целевая функция, которую нужно минимизировать, — это:

$$P(x) = x^2 + 36x$$

Шаг 2: Находим производную функции

Чтобы найти минимальное значение функции, нужно найти её критические точки, для чего вычислим первую производную функции $P(x)$:

$$P'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 36x)$$

Используем правила дифференцирования:

• Производная от $x^2$ равна $2x$,
• Производная от $36x$ равна $36$.

Таким образом, производная функции:

$$P'(x) = 2x + 36$$

Шаг 3: Находим критические точки

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

$$2x + 36 = 0$$

Решаем это уравнение:

$$2x = -36$$ $$x = -18$$

Таким образом, $x = -18$ — это критическая точка.

Шаг 4: Определяем, является ли точка минимумом

Чтобы проверить, является ли $x = -18$ точкой минимума, вычислим вторую производную функции $P(x)$:

$$P»(x) = \frac{d}{dx}(2x + 36) = 2$$

Так как вторая производная положительна ($P»(x) = 2 > 0$), это значит, что точка $x = -18$ является точкой минимума функции.

Шаг 5: Находим значение $y$

Теперь, когда мы нашли $x = -18$, можем найти значение $y$, подставив $x$ в выражение для $y$:

$$y = x + 36 = -18 + 36 = 18$$

Ответ:

Таким образом, значения чисел $x$ и $y$, при которых их произведение минимально, равны $-18$ и $18$, соответственно.

Ответ: $x = -18$, $y = 18$.

б) Пусть $x$ и $y$ — два числа. Из условия задачи известно, что одно из чисел меньше другого на 28, то есть:

$$y — x = 28$$

Отсюда можно выразить $y$ через $x$:

$$y = x + 28$$

Шаг 1: Записываем функцию произведения

Нам нужно найти такие значения $x$ и $y$, при которых их произведение $P = x \cdot y$ минимально. Подставим выражение для $y$ в формулу произведения:

$$P(x) = x \cdot y = x(x + 28) = x^2 + 28x$$

Итак, наша целевая функция, которую нужно минимизировать, — это:

$$P(x) = x^2 + 28x$$

Шаг 2: Находим производную функции

Чтобы найти минимальное значение функции, нужно найти её критические точки, для чего вычислим первую производную функции $P(x)$:

$$P'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 28x)$$

Используем правила дифференцирования:

• Производная от $x^2$ равна $2x$,
• Производная от $28x$ равна $28$.

Таким образом, производная функции:

$$P'(x) = 2x + 28$$

Шаг 3: Находим критические точки

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

$$2x + 28 = 0$$

Решаем это уравнение:

$$2x = -28$$ $$x = -14$$

Таким образом, $x = -14$ — это критическая точка.

Шаг 4: Определяем, является ли точка минимумом

Чтобы проверить, является ли $x = -14$ точкой минимума, вычислим вторую производную функции $P(x)$:

$$P»(x) = \frac{d}{dx}(2x + 28) = 2$$

Так как вторая производная положительна ($P»(x) = 2 > 0$), это значит, что точка $x = -14$ является точкой минимума функции.

Шаг 5: Находим значение $y$

Теперь, когда мы нашли $x = -14$, можем найти значение $y$, подставив $x$ в выражение для $y$:

$$y = x + 28 = -14 + 28 = 14$$

Ответ:

Таким образом, значения чисел $x$ и $y$, при которых их произведение минимально, равны $-14$ и $14$, соответственно.

Ответ: $x = -14$, $y = 14$.