ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.47 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей.

б) Представьте число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого было наибольшим.

а) Пусть $x$ и $y$ — данные числа, тогда:

$x + y = 3, \text{ отсюда } y = 3 — x;$
$f(x) = x^3 + 3y = x^3 + 3(3 — x) = x^3 + 9 — 3x;$

Производная функции:
$f'(x) = (x^3)’ + (9 — 3x)’ = 3x^2 — 3;$

Промежуток возрастания:
$3x^2 — 3x \geq 0;$
$x^2 — x \geq 0;$
$x(x — 1) \geq 0;$
$x \leq 0 \text{ или } x \geq 1;$

Точка минимума:
$x = 1 \text{ и } y = 3 — 1 = 2;$

Ответ: $1; 2$.

б) Пусть $x$ и $y$ — данные числа, тогда:

$x + y = 5, \text{ отсюда } y = 5 — x;$
$f(x) = x^3 \cdot y = x^3 \cdot (5 — x) = 5x^3 — x^4;$

Производная функции:
$f'(x) = 5(x^3)’ — (x^4)’;$
$f'(x) = 5 \cdot 3x^2 — 4x^3 = 15x^2 — 4x^3;$

Промежуток возрастания:
$15x^2 — 4x^3 \geq 0;$
$x^2(15 — 4x) \geq 0;$
$15 — 4x \geq 0;$
$15 \geq 4x, \text{ отсюда } x \leq \frac{15}{4};$

Точка максимума:
$x = 3\frac{3}{4} \text{ и } y = 5 — 3\frac{3}{4} = 1\frac{1}{4};$

Ответ: $1\frac{1}{4}; 3\frac{3}{4}$.

Часть а) Минимизация выражения для суммы слагаемых

Задача: Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей.

Решение:

Предположим, что $x$ — это первое слагаемое, а $y$ — второе слагаемое. Тогда из условия задачи нам нужно, чтобы выполнялось:

$$x + y = 3$$

и минимизировать выражение:

$$S(x, y) = 3x + y^3.$$

Наша цель — минимизировать $S(x, y)$, при этом $x + y = 3$.

Шаг 1. Избавляемся от $y$

Используем условие $x + y = 3$, чтобы выразить $y$ через $x$:

$$y = 3 — x.$$

Шаг 2. Подставляем в функцию

Теперь подставим это выражение в функцию:

$$S(x) = 3x + (3 — x)^3.$$

Шаг 3. Раскрываем куб

Раскроем куб:

$$(3 — x)^3 = 27 — 27x + 9x^2 — x^3.$$

И тогда:

$$S(x) = 3x + 27 — 27x + 9x^2 — x^3.$$

Упростим выражение:

$$S(x) = -x^3 + 9x^2 — 24x + 27.$$

Шаг 4. Находим производную

Теперь для минимизации функции $S(x)$ найдем её производную:

$$S'(x) = -3x^2 + 18x — 24.$$

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

$$-3x^2 + 18x — 24 = 0.$$

Разделим уравнение на -3:

$$x^2 — 6x + 8 = 0.$$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней:

$$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}.$$ $$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 — 32}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}.$$

Таким образом, получаем два корня:

$$x = \frac{6 + 2}{2} = 4 \quad \text{или} \quad x = \frac{6 — 2}{2} = 2.$$

Шаг 5. Проверяем, что минимизация происходит при $x = 2$

Проверим, что минимизация происходит при $x = 2$, подставив это значение в выражение для функции:

$$S(2) = -2^3 + 9 \cdot 2^2 — 24 \cdot 2 + 27 = -8 + 36 — 48 + 27 = 7.$$

Теперь подставим $x = 4$ (второй корень):

$$S(4) = -4^3 + 9 \cdot 4^2 — 24 \cdot 4 + 27 = -64 + 144 — 96 + 27 = 11.$$

Значит, минимум функции $S(x)$ достигается при $x = 2$, а $y = 3 — x = 1$.

Ответ: Чтобы минимизировать сумму $3x + y^3$, необходимо выбрать $x = 2$ и $y = 1$.

Часть б) Максимизация произведения слагаемых

Задача: Представьте число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого было наибольшим.

Решение:

Предположим, что $x$ — это первое слагаемое, а $y$ — второе слагаемое. Тогда из условия задачи нам нужно, чтобы выполнялось:

$$x + y = 5$$

и максимизировать выражение:

$$P(x, y) = x \cdot y^3.$$

Наша цель — максимизировать $P(x, y)$, при этом $x + y = 5$.

Шаг 1. Избавляемся от $x$

Используем условие $x + y = 5$, чтобы выразить $x$ через $y$:

$$x = 5 — y.$$

Шаг 2. Подставляем в функцию

Теперь подставим это выражение в функцию:

$$P(y) = (5 — y) \cdot y^3.$$

Шаг 3. Упростим выражение

Раскроем скобки:

$$P(y) = 5y^3 — y^4.$$

Это выражение для произведения, которое нужно максимизировать.

Шаг 4. Находим производную

Теперь для максимизации функции $P(y)$ найдем её производную:

$$P'(y) = 15y^2 — 4y^3.$$

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

$$15y^2 — 4y^3 = 0.$$

Вынесем общий множитель:

$$y^2(15 — 4y) = 0.$$

Получаем два решения:

$$y^2 = 0 \quad \text{или} \quad 15 — 4y = 0.$$

Первое решение даёт $y = 0$, что не подходит, так как оба слагаемых должны быть положительными. Второе решение даёт:

$$4y = 15 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}.$$

Шаг 5. Проверяем на максимизацию

Теперь подставим $y = 3\frac{3}{4}$ в исходное условие для $x$:

$$x = 5 — y = 5 — 3\frac{3}{4} = 5 — \frac{15}{4} = \frac{20}{4} — \frac{15}{4} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}.$$

Итак, значения $x = 1\frac{1}{4}$ и $y = 3\frac{3}{4}$ обеспечивают максимизацию произведения.

Ответ: Чтобы максимизировать произведение $x \cdot y^3$, необходимо выбрать $x = 1\frac{1}{4}$ и $y = 3\frac{3}{4}$.