ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.48 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?

б) Периметр прямоугольника составляет 72 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?

а) Пусть стороны равны $x$ см и $y$ см, тогда:
$P = 2x + 2y = 56, \text{ отсюда } y = \frac{56 — 2x}{2} = 28 — x;$
$S(x) = x \cdot y = x(28 — x) = 28x — x^2;$

Производная функции:
$S'(x) = (28x)’ — (x^2)’ = 28 — 2x;$

Промежуток возрастания:
$28 — 2x \geq 0;$
$28 \geq 2x, \text{ отсюда } x \leq 14;$

Точка максимума:
$x = 14 \text{ и } y = 28 — 14 = 14;$

Ответ: $14$ см; $14$ см.

б) Пусть стороны равны $x$ см и $y$ см, тогда:
$P = 2x + 2y = 72, \text{ отсюда } y = \frac{72 — 2x}{2} = 36 — x;$
$S(x) = x \cdot y = x(36 — x) = 36x — x^2;$

Производная функции:
$S'(x) = (36x)’ — (x^2)’ = 36 — 2x;$

Промежуток возрастания:
$36 — 2x \geq 0;$
$36 \geq 2x, \text{ отсюда } x \leq 18;$

Точка максимума:
$x = 18 \text{ и } y = 36 — 18 = 18;$

Ответ: $18$ см; $18$ см.

а) Пусть стороны прямоугольника равны $x$ см и $y$ см, тогда:

Периметр прямоугольника:

Периметр прямоугольника равен:

$$P = 2x + 2y$$

Из условия задачи известно, что периметр составляет 56 см:

$$2x + 2y = 56$$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$x + y = 28$$

Теперь выразим $y$ через $x$:

$$y = 28 — x$$

Площадь прямоугольника:

Площадь прямоугольника $S(x)$ выражается через стороны $x$ и $y$:

$$S(x) = x \cdot y$$

Подставим в это выражение $y = 28 — x$:

$$S(x) = x \cdot (28 — x) = 28x — x^2$$

Теперь у нас есть функция площади $S(x) = 28x — x^2$, которую нужно максимизировать.

Нахождение производной функции площади:

Чтобы найти максимальное значение площади, нужно найти производную функции площади $S(x)$. Найдем её:

$$S'(x) = \frac{d}{dx}(28x — x^2)$$

Пусть $(28x)’ = 28$, а $(x^2)’ = 2x$, тогда производная:

$$S'(x) = 28 — 2x$$

Нахождение промежутка возрастания и убывания:

Для нахождения максимума или минимума функции $S(x)$, нужно изучить знак её производной. Пусть $S'(x) = 28 — 2x$. Найдем, при каком $x$ производная равна нулю:

$$28 — 2x = 0$$

Решим это уравнение:

$$2x = 28$$ $$x = 14$$

Это критическая точка. Теперь определим, на каком промежутке функция возрастает, а на каком убывает. Для этого исследуем знак производной на интервалах:

• Если $x < 14$, то $S'(x) = 28 — 2x > 0$, функция возрастает.
• Если $x > 14$, то $S'(x) = 28 — 2x < 0$, функция убывает.

Следовательно, функция $S(x)$ возрастает до $x = 14$ и убывает после. Это означает, что при $x = 14$ достигается максимальное значение площади.

Определение сторон прямоугольника:

Из найденного максимума $x = 14$, подставим это значение в выражение для $y$:

$$y = 28 — x = 28 — 14 = 14$$

Таким образом, обе стороны прямоугольника равны 14 см.

Ответ: $14$ см и $14$ см.

б) Пусть стороны прямоугольника равны $x$ см и $y$ см, тогда:

Периметр прямоугольника:

Периметр прямоугольника равен:

$$P = 2x + 2y$$

Из условия задачи известно, что периметр составляет 72 см:

$$2x + 2y = 72$$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$x + y = 36$$

Теперь выразим $y$ через $x$:

$$y = 36 — x$$

Площадь прямоугольника:

Площадь прямоугольника $S(x)$ выражается через стороны $x$ и $y$:

$$S(x) = x \cdot y$$

Подставим в это выражение $y = 36 — x$:

$$S(x) = x \cdot (36 — x) = 36x — x^2$$

Теперь у нас есть функция площади $S(x) = 36x — x^2$, которую нужно максимизировать.

Нахождение производной функции площади:

Чтобы найти максимальное значение площади, нужно найти производную функции площади $S(x)$. Найдем её:

$$S'(x) = \frac{d}{dx}(36x — x^2)$$

Пусть $(36x)’ = 36$, а $(x^2)’ = 2x$, тогда производная:

$$S'(x) = 36 — 2x$$

Нахождение промежутка возрастания и убывания:

Для нахождения максимума или минимума функции $S(x)$, нужно изучить знак её производной. Пусть $S'(x) = 36 — 2x$. Найдем, при каком $x$ производная равна нулю:

$$36 — 2x = 0$$

Решим это уравнение:

$$2x = 36$$ $$x = 18$$

Это критическая точка. Теперь определим, на каком промежутке функция возрастает, а на каком убывает. Для этого исследуем знак производной на интервалах:

• Если $x < 18$, то $S'(x) = 36 — 2x > 0$, функция возрастает.
• Если $x > 18$, то $S'(x) = 36 — 2x < 0$, функция убывает.

Следовательно, функция $S(x)$ возрастает до $x = 18$ и убывает после. Это означает, что при $x = 18$ достигается максимальное значение площади.

Определение сторон прямоугольника:

Из найденного максимума $x = 18$, подставим это значение в выражение для $y$:

$$y = 36 — x = 36 — 18 = 18$$

Таким образом, обе стороны прямоугольника равны 18 см.

Ответ: $18$ см и $18$ см.