ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.49 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

б) Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 240 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

а) Пусть стороны равны $x$ м и $y$ м, тогда:
$P = 2x + 2y = 200, \text{ отсюда } y = \frac{200 — 2x}{2} = 100 — x;$
$S(x) = x \cdot y = x(100 — x) = 100x — x^2;$

Производная функции:
$S'(x) = (100x)’ — (x^2)’ = 100 — 2x;$

Промежуток возрастания:
$100 — 2x \geq 0;$
$100 \geq 2x, \text{ отсюда } x \leq 50;$

Точка максимума:
$x = 50 \text{ и } y = 100 — 50 = 50;$

Ответ: $50 \, \text{м} \times 50 \, \text{м}$.

б) Пусть стороны равны $x$ м и $y$ м, тогда:
$P = 2x + 2y = 240, \text{ отсюда } y = \frac{240 — 2x}{2} = 120 — x;$
$S(x) = x \cdot y = x(120 — x) = 120x — x^2;$

Производная функции:
$S'(x) = (120x)’ — (x^2)’ = 120 — 2x;$

Промежуток возрастания:
$120 — 2x \geq 0;$
$120 \geq 2x, \text{ отсюда } x \leq 60;$

Точка максимума:
$x = 60 \text{ и } y = 120 — 60 = 60;$

Ответ: $60 \, \text{м} \times 60 \, \text{м}$.

а) Ограждение участка забором длиной 200 м

Условие задачи:

Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200 м. Необходимо найти размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей.

Шаг 1: Ввод переменных и выражение для площади

Пусть стороны прямоугольника равны $x$ м и $y$ м. Тогда периметр прямоугольника выражается формулой:

$$P = 2x + 2y = 200.$$

Из этого уравнения выразим одну из сторон, например $y$:

$$2y = 200 — 2x \quad \Rightarrow \quad y = 100 — x.$$

Теперь выразим площадь прямоугольника $S(x)$ через одну переменную $x$:

$$S(x) = x \cdot y = x(100 — x) = 100x — x^2.$$

Это квадратная функция, которая зависит от $x$.

Шаг 2: Найдем производную функции площади

Для нахождения максимума площади вычислим производную функции площади $S(x)$:

$$S'(x) = \frac{d}{dx}(100x — x^2) = 100 — 2x.$$

Это производная функции площади, и она поможет нам найти критические точки.

Шаг 3: Найдем критические точки

Для нахождения точек максимума или минимума приравняем производную к нулю:

$$100 — 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = 100 \quad \Rightarrow \quad x = 50.$$

Шаг 4: Проверим, является ли точка максимума

Чтобы убедиться, что найденная точка $x = 50$ соответствует максимуму, можно вычислить вторую производную:

$$S»(x) = \frac{d}{dx}(100 — 2x) = -2.$$

Так как вторая производная отрицательна ($S»(x) = -2 < 0$), то точка $x = 50$ является точкой максимума функции площади.

Шаг 5: Определим значение $y$

Теперь, зная, что $x = 50$, подставим это значение в выражение для $y$:

$$y = 100 — x = 100 — 50 = 50.$$

Ответ для пункта а

Размеры прямоугольника, при которых его площадь будет наибольшей, составляют $50 \, \text{м} \times 50 \, \text{м}$.

б) Ограждение участка забором длиной 240 м

Условие задачи:

Теперь нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 240 м. Необходимо найти размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей.

Шаг 1: Ввод переменных и выражение для площади

Пусть стороны прямоугольника равны $x$ м и $y$ м. Тогда периметр прямоугольника выражается формулой:

$$P = 2x + 2y = 240.$$

Из этого уравнения выразим одну из сторон, например $y$:

$$2y = 240 — 2x \quad \Rightarrow \quad y = 120 — x.$$

Теперь выразим площадь прямоугольника $S(x)$ через одну переменную $x$:

$$S(x) = x \cdot y = x(120 — x) = 120x — x^2.$$

Это тоже квадратная функция, которая зависит от $x$.

Шаг 2: Найдем производную функции площади

Для нахождения максимума площади вычислим производную функции площади $S(x)$:

$$S'(x) = \frac{d}{dx}(120x — x^2) = 120 — 2x.$$

Это производная функции площади, и она поможет нам найти критические точки.

Шаг 3: Найдем критические точки

Для нахождения точек максимума или минимума приравняем производную к нулю:

$$120 — 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = 120 \quad \Rightarrow \quad x = 60.$$

Шаг 4: Проверим, является ли точка максимума

Чтобы убедиться, что найденная точка $x = 60$ соответствует максимуму, можно вычислить вторую производную:

$$S»(x) = \frac{d}{dx}(120 — 2x) = -2.$$

Так как вторая производная отрицательна ($S»(x) = -2 < 0$), то точка $x = 60$ является точкой максимума функции площади.

Шаг 5: Определим значение $y$

Теперь, зная, что $x = 60$, подставим это значение в выражение для $y$:

$$y = 120 — x = 120 — 60 = 60.$$

Ответ для пункта б

Размеры прямоугольника, при которых его площадь будет наибольшей, составляют $60 \, \text{м} \times 60 \, \text{м}$.