ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке без помощи производной:

а) $y=$$y=\mathrm{\mid |}x\mathrm{\mid }-4$$y$$= |x| — 4∣$ на отрезке $[-3; 3]$;

б) $y = |3 — |x||$ на отрезке $[-4; 4]$

а) $y=\mathrm{\mid |}x\mathrm{\mid }-4$$y$$= |x| — 4∣$ на отрезке $[-3; 3]$;

$$-3 \leq x \leq 3;$$ $$0 \leq |x| \leq 3;$$ $$-4 \leq |x| — 4 \leq -1;$$ $$1 \leq |x| — 4 \leq 4;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 1$; $y_{\text{max}} = 4$.

б) $y = |3 — |x||$ на отрезке $[-4; 4]$;

$$-4 \leq x \leq 4;$$ $$0 \leq |x| \leq 4;$$ $$-1 \leq 3 — |x| \leq 3;$$ $$0 \leq |3 — |x|| \leq 3;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = 0$; $y_{\text{max}} = 3$.

а) $y = ||x| — 4|$ на отрезке $[-3; 3]$:

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = ||x| — 4|$ на отрезке $[-3; 3]$.

1. Разбор функции $y = ||x| — 4|$:

• Функция состоит из двух вложенных абсолютных значений.
• Сначала вычисляется $|x|$, то есть абсолютное значение $x$, а затем из этого значения вычитается 4, после чего снова применяется абсолютное значение.

2. Исследуем диапазон значений для $|x|$:

• На отрезке $[-3; 3]$ значение $|x|$ изменяется от 0 до 3:
  • $|x| = 0$ при $x = 0$,
  • $|x| = 3$ при $x = 3$ и $x = -3$.

Следовательно, на отрезке $[-3; 3]$ $|x|$ принимает все значения от 0 до 3.

3. Определим диапазон значений для $|x| — 4$:

• Когда $x = 0$, то $|x| = 0$, и $|x| — 4 = 0 — 4 = -4$.
• Когда $x = 3$ или $x = -3$, то $|x| = 3$, и $|x| — 4 = 3 — 4 = -1$.

Таким образом, значение $|x| — 4$ на отрезке $[-3; 3]$ изменяется от -4 до -1.

4. Теперь применим абсолютное значение:

• Когда $|x| — 4 = -4$, то $||x| — 4| = 4$.
• Когда $|x| — 4 = -1$, то $||x| — 4| = 1$.

Таким образом, $y = ||x| — 4|$ на отрезке $[-3; 3]$ изменяется от 1 до 4.

Ответ:

• $y_{\text{min}} = 1$
• $y_{\text{max}} = 4$

б) $y = |3 — |x||$ на отрезке $[-4; 4]$:

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = |3 — |x||$ на отрезке $[-4; 4]$.

1. Разбор функции $y = |3 — |x||$:

• В этой функции мы имеем абсолютное значение сначала от $x$, затем от выражения $3 — |x|$.
• Функция сначала вычисляет $|x|$, затем из 3 вычитается значение $|x|$, и после этого применяется абсолютное значение результата.

2. Исследуем диапазон значений для $|x|$:

• На отрезке $[-4; 4]$ значение $|x|$ изменяется от 0 до 4:
  • $|x| = 0$ при $x = 0$,
  • $|x| = 4$ при $x = -4$ и $x = 4$.

3. Определим диапазон значений для $3 — |x|$:

• Когда $x = 0$, то $|x| = 0$, и $3 — |x| = 3 — 0 = 3$.
• Когда $x = -4$ или $x = 4$, то $|x| = 4$, и $3 — |x| = 3 — 4 = -1$.

Таким образом, значение $3 — |x|$ на отрезке $[-4; 4]$ изменяется от -1 до 3.

4. Теперь применим абсолютное значение:

• Когда $3 — |x| = 3$, то $|3 — |x|| = 3$.
• Когда $3 — |x| = -1$, то $|3 — |x|| = 1$.

Таким образом, $y = |3 — |x||$ на отрезке $[-4; 4]$ изменяется от 0 до 3.

Ответ:

• $y_{\text{min}} = 0$
• $y_{\text{max}} = 3$

Ответы для всех пунктов:

а) $y_{\text{min}} = 1$; $y_{\text{max}} = 4$.

б) $y_{\text{min}} = 0$; $y_{\text{max}} = 3$.