ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.50 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Площадь прямоугольника составляет $16 \, \text{см}^2$. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

б) Площадь прямоугольника составляет $64 \, \text{см}^2$. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

а) Пусть стороны равны $x$ см и $y$ см, тогда:

$S = x \cdot y = 16, \text{ отсюда } y = \frac{16}{x};$

$P(x) = x + y = x + \frac{16}{x};$

Производная функции:
$P'(x) = (x)’ + 16 \left( \frac{1}{x} \right)’ = 1 — \frac{16}{x^2};$

Промежуток возрастания:
$1 — \frac{16}{x^2} \geq 0;$
$x^2 — 16 \geq 0;$
$x^2 \geq 16;$
$x \leq -4 \text{ или } x \geq 4;$

Точка минимума:
$x = 4 \text{ и } y = \frac{16}{4} = 4;$

Ответ: $4 \, \text{см} \times 4 \, \text{см}.$

б) Пусть стороны равны $x$ см и $y$ см, тогда:

$S = x \cdot y = 64, \text{ отсюда } y = \frac{64}{x};$

$P(x) = x + y = x + \frac{64}{x};$

Производная функции:
$P'(x) = (x)’ + 64 \left( \frac{1}{x} \right)’ = 1 — \frac{64}{x^2};$

Промежуток возрастания:
$1 — \frac{64}{x^2} \geq 0;$
$x^2 — 64 \geq 0;$
$x^2 \geq 64;$
$x \leq -8 \text{ или } x \geq 8;$

Точка минимума:
$x = 8 \text{ и } y = \frac{64}{8} = 8;$

Ответ: $8 \, \text{см} \times 8 \, \text{см}.$

Задача а)

Площадь прямоугольника составляет $16 \, \text{см}^2$. Необходимо найти его размеры так, чтобы периметр был минимальным.

Обозначим стороны прямоугольника:
Пусть одна сторона прямоугольника равна $x$ см, а другая сторона — $y$ см. Тогда площадь прямоугольника $S$ выражается как:

$$S = x \cdot y$$

Из условия задачи известно, что $S = 16 \, \text{см}^2$, поэтому:

$$x \cdot y = 16 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{16}{x}$$

Выражаем периметр прямоугольника:
Периметр прямоугольника $P$ равен:

$$P = 2(x + y)$$

Подставляем выражение для $y$ из предыдущего шага:

$$P(x) = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$$

Теперь нужно минимизировать функцию периметра $P(x)$.

Находим производную периметра по $x$:
Для нахождения экстремума функции нужно вычислить её производную:

$$P'(x) = \frac{d}{dx}\left( 2\left(x + \frac{16}{x}\right) \right)$$

Для этого применим правила дифференцирования:

$$P'(x) = 2 \cdot \left( 1 — \frac{16}{x^2} \right)$$

Решаем уравнение для нахождения критических точек:
Чтобы найти точки, где функция может иметь экстремумы, приравняем производную к нулю:

$$P'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 1 — \frac{16}{x^2} = 0$$

Решаем это уравнение:

$$\frac{16}{x^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 4$$

Поскольку длина стороны прямоугольника не может быть отрицательной, то $x = 4$ см.

Проверяем, является ли эта точка минимумом:
Для этого исследуем знак второй производной:

$$P»(x) = \frac{d}{dx}\left( 2 \left(1 — \frac{16}{x^2}\right)\right)$$

Дифференцируем:

$$P»(x) = 2 \cdot \left( \frac{32}{x^3} \right)$$

Подставляем $x = 4$:

$$P»(4) = 2 \cdot \frac{32}{4^3} = 2 \cdot \frac{32}{64} = 1$$

Поскольку $P»(4) > 0$, точка $x = 4$ является точкой минимума.

Находим значение $y$:
Подставляем $x = 4$ в выражение для $y$:

$$y = \frac{16}{x} = \frac{16}{4} = 4$$

Ответ:
Таким образом, чтобы периметр прямоугольника был минимальным, его стороны должны быть равны $4 \, \text{см} \times 4 \, \text{см}$.

Задача б)

Площадь прямоугольника составляет $64 \, \text{см}^2$. Необходимо найти его размеры так, чтобы периметр был минимальным.

Обозначим стороны прямоугольника:
Пусть одна сторона прямоугольника равна $x$ см, а другая сторона — $y$ см. Тогда площадь прямоугольника $S$ выражается как:

$$S = x \cdot y$$

Из условия задачи известно, что $S = 64 \, \text{см}^2$, поэтому:

$$x \cdot y = 64 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{64}{x}$$

Выражаем периметр прямоугольника:
Периметр прямоугольника $P$ равен:

$$P = 2(x + y)$$

Подставляем выражение для $y$ из предыдущего шага:

$$P(x) = 2\left(x + \frac{64}{x}\right)$$

Теперь нужно минимизировать функцию периметра $P(x)$.

Находим производную периметра по $x$:
Для нахождения экстремума функции нужно вычислить её производную:

$$P'(x) = \frac{d}{dx}\left( 2\left(x + \frac{64}{x}\right) \right)$$

Для этого применим правила дифференцирования:

$$P'(x) = 2 \cdot \left( 1 — \frac{64}{x^2} \right)$$

Решаем уравнение для нахождения критических точек:
Чтобы найти точки, где функция может иметь экстремумы, приравняем производную к нулю:

$$P'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 1 — \frac{64}{x^2} = 0$$

Решаем это уравнение:

$$\frac{64}{x^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 64 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 8$$

Поскольку длина стороны прямоугольника не может быть отрицательной, то $x = 8$ см.

Проверяем, является ли эта точка минимумом:
Для этого исследуем знак второй производной:

$$P»(x) = \frac{d}{dx}\left( 2 \left(1 — \frac{64}{x^2}\right)\right)$$

Дифференцируем:

$$P»(x) = 2 \cdot \left( \frac{128}{x^3} \right)$$

Подставляем $x = 8$:

$$P»(8) = 2 \cdot \frac{128}{8^3} = 2 \cdot \frac{128}{512} = 0.5$$

Поскольку $P»(8) > 0$, точка $x = 8$ является точкой минимума.

Находим значение $y$:
Подставляем $x = 8$ в выражение для $y$:

$$y = \frac{64}{x} = \frac{64}{8} = 8$$

Ответ:
Таким образом, чтобы периметр прямоугольника был минимальным, его стороны должны быть равны $8 \, \text{см} \times 8 \, \text{см}$.