ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.51 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы площадью 2500 м². Каковы должны быть её размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки-рабицы?

Пусть стороны равны $x$ м и $y$ м, тогда
$S = x \cdot y = 2500$, отсюда $y = \frac{2500}{x}$;
$P(x) = x + y = x + \frac{2500}{x}$;

Производная функции:
$P'(x) = (x)’ + 2500 \left( \frac{1}{x} \right)’ = 1 — \frac{2500}{x^2}$;

Промежуток возрастания:
$1 — \frac{2500}{x^2} \geq 0$;
$x^2 — 2500 \geq 0$;
$x^2 \geq 2500$;
$x \leq -50$ или $x \geq 50$;

Точка минимума:
$x = 50$ и $y = \frac{2500}{50} = 50$;

Ответ: $50 \, \text{м} \times 50 \, \text{м}$.

Площадь прямоугольной площадки $S = 2500 \, \text{м}^2$. Нужно найти такие размеры прямоугольника $x$ и $y$, чтобы минимизировать периметр $P$.

Обозначения:
Пусть $x$ и $y$ — длины сторон прямоугольной площадки в метрах.

Формула для площади прямоугольника:
Площадь прямоугольника выражается как произведение его сторон:

$$S = x \cdot y$$

Так как площадь известна и равна 2500 м², можем записать:

$$x \cdot y = 2500$$

Отсюда, выражаем одну сторону через другую:

$$y = \frac{2500}{x}$$

Это важное выражение, которое нам пригодится в дальнейшем.

Периметр прямоугольника:
Периметр прямоугольника выражается как сумма всех его сторон:

$$P = 2x + 2y$$

Подставляем выражение для $y$:

$$P(x) = 2x + 2 \cdot \frac{2500}{x}$$

Это выражение для периметра в зависимости от длины стороны $x$.

Шаг 2. Нахождение минимального периметра

Нам нужно минимизировать функцию периметра $P(x)$. Для этого возьмем производную этой функции по $x$.

Вычисление производной:
Запишем периметр:

$$P(x) = 2x + \frac{5000}{x}$$

Теперь найдем производную функции $P(x)$:

$$P'(x) = \frac{d}{dx} \left( 2x + \frac{5000}{x} \right)$$

Производная от $2x$ — это просто 2, а производная от $\frac{5000}{x}$ — это $-\frac{5000}{x^2}$. Получаем:

$$P'(x) = 2 — \frac{5000}{x^2}$$

Нахождение критических точек:
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

$$2 — \frac{5000}{x^2} = 0$$

Решим это уравнение:

$$\frac{5000}{x^2} = 2$$ $$x^2 = \frac{5000}{2} = 2500$$ $$x = \pm 50$$

Поскольку длина стороны $x$ не может быть отрицательной, получаем:

$$x = 50$$

Нахождение соответствующего значения $y$:
Используя выражение для $y$, подставим найденное значение $x = 50$:

$$y = \frac{2500}{x} = \frac{2500}{50} = 50$$

То есть, при минимальном периметре, $x = 50 \, \text{м}$ и $y = 50 \, \text{м}$.

Шаг 3. Проверка минимальности

Проверка второго порядка:
Для проверки, что найденная точка является точкой минимума, вычислим вторую производную $P»(x)$:

$$P»(x) = \frac{d}{dx} \left( 2 — \frac{5000}{x^2} \right) = \frac{10000}{x^3}$$

Подставим $x = 50$:

$$P»(50) = \frac{10000}{50^3} = \frac{10000}{125000} = 0.08 > 0$$

Поскольку вторая производная положительна, точка $x = 50$ является точкой минимума.

Шаг 4. Ответ

Таким образом, минимальный периметр достигается, когда $x = 50$ м и $y = 50$ м.

Ответ на задачу: Размеры прямоугольной площадки: 50 м × 50 м.