ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.53 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) В арифметической прогрессии с разностью $d$ девятый член равен 1. При каком значении $d$ произведение четвёртого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет наибольшим?

б) В арифметической прогрессии с разностью $d$ второй член равен 6. При каком значении $d$ произведение первого, третьего и шестого членов будет наименьшим?

а) Пусть $(a_n)$ — данная арифметическая прогрессия, тогда:
$a_9 = a_1 + 8d, \text{ отсюда } a_1 = a_9 — 8d = 1 — 8d;$
$a_4 = a_1 + 3d = 1 — 8d + 3d = 1 — 5d;$
$a_7 = a_1 + 6d = 1 — 8d + 6d = 1 — 2d;$
$a_8 = a_1 + 7d = 1 — 8d + 7d = 1 — d;$

Произведение четвертого, седьмого и восьмого членов:
$f(d) = a_4 \cdot a_7 \cdot a_8 = (1 — 5d)(1 — 2d)(1 — d);$
$f(d) = (1 — 2d — 5d + 10d^2)(1 — d) = (1 — 7d + 10d^2)(1 — d);$
$f(d) = 1 — 7d + 10d^2 — d + 7d^2 — 10d^3 = 17d^2 — 10d^3 — 8d + 1;$

Производная функции:
$f'(d) = (17d^2)’ — 10(d^3)’ — (8d — 1)’;$
$f'(d) = 17 \cdot 2d — 10 \cdot 3d^2 — 8 = 34d — 30d^2 — 8;$

Промежуток возрастания:
$34d — 30d^2 — 8 = 0;$
$15d^2 — 17d + 4 = 0;$
$D = 17^2 — 4 \cdot 15 \cdot 4 = 289 — 240 = 49, \text{ тогда: }$
$d_1 = \frac{17 — 7}{2 \cdot 15} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \text{ и } d_2 = \frac{17 + 7}{2 \cdot 15} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5};$
$-30\left(d — \frac{1}{3}\right)\left(d — \frac{4}{5}\right) \geq 0;$
$\frac{1}{3} \leq d \leq \frac{4}{5};$

Точка максимума: $d = \frac{4}{5};$

Ответ: $d = \frac{4}{5}.$

б) Пусть $(a_n)$ — данная арифметическая прогрессия, тогда:
$a_2 = a_1 + d, \text{ отсюда } a_1 = a_2 — d = 6 — d;$
$a_3 = a_1 + 2d = 6 — d + 2d = 6 + d;$
$a_6 = a_1 + 5d = 6 — d + 5d = 6 + 4d;$

Произведение первого, третьего и шестого членов:
$f(d) = a_1 \cdot a_3 \cdot a_6 = (6 — d)(6 + d)(6 + 4d);$
$f(d) = (36 — d^2)(6 + 4d) = 216 + 144d — 6d^2 — 4d^3;$

Производная функции:
$f'(d) = (216 + 144d)’ — 6(d^2)’ — 4(d^3)’;$
$f'(d) = 144 — 6 \cdot 2d — 4 \cdot 3d^2 = 144 — 12d — 12d^2;$

Промежуток возрастания:
$144 — 12d — 12d^2 = 0;$
$d^2 + d — 12 = 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49, \text{ тогда: }$
$d_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \text{ и } d_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3;$
$-12(d + 4)(d — 3) \geq 0;$
$-4 \leq d \leq 3;$

Точка минимума: $d = -4;$

Ответ: $d = -4.$

Задача а)

Условие задачи:
В арифметической прогрессии с разностью $d$ девятый член равен 1. При каком значении $d$ произведение четвёртого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет наибольшим?

Шаг 1: Выражения для членов прогрессии

Рассмотрим общую формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — номер члена прогрессии.

Для девятого члена прогрессии:

$$a_9 = a_1 + 8d$$

Из условия задачи нам известно, что $a_9 = 1$, то есть:

$$1 = a_1 + 8d$$

Тогда из этого выражения мы можем найти $a_1$:

$$a_1 = 1 — 8d$$

Теперь подставим выражение для $a_1$ в формулы для других членов прогрессии.

Для четвёртого члена:

$$a_4 = a_1 + 3d = (1 — 8d) + 3d = 1 — 5d$$

Для седьмого члена:

$$a_7 = a_1 + 6d = (1 — 8d) + 6d = 1 — 2d$$

Для восьмого члена:

$$a_8 = a_1 + 7d = (1 — 8d) + 7d = 1 — d$$

Шаг 2: Произведение членов

Нам нужно найти значение $d$, при котором произведение четвёртого, седьмого и восьмого членов будет наибольшим. Составим выражение для произведения:

$$f(d) = a_4 \cdot a_7 \cdot a_8 = (1 — 5d)(1 — 2d)(1 — d)$$

Теперь раскроем скобки и упростим выражение.

Сначала умножим первые два множителя:

$$(1 — 5d)(1 — 2d) = 1 — 2d — 5d + 10d^2 = 1 — 7d + 10d^2$$

Теперь умножим это выражение на третий множитель:

$$(1 — 7d + 10d^2)(1 — d) = 1 — d — 7d + 7d^2 + 10d^2 — 10d^3$$ $$= 1 — 8d + 17d^2 — 10d^3$$

Таким образом, произведение становится:

$$f(d) = -10d^3 + 17d^2 — 8d + 1$$

Шаг 3: Нахождение максимума функции

Чтобы найти точку максимума функции, найдём её производную:

$$f'(d) = \frac{d}{dd}(-10d^3 + 17d^2 — 8d + 1)$$ $$f'(d) = -30d^2 + 34d — 8$$

Теперь решим уравнение $f'(d) = 0$, чтобы найти критические точки:

$$-30d^2 + 34d — 8 = 0$$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac = 34^2 — 4 \cdot (-30) \cdot (-8) = 1156 — 960 = 196$$

Теперь найдём корни уравнения:

$$d = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-34 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot (-30)} = \frac{-34 \pm 14}{-60}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$d_1 = \frac{-34 + 14}{-60} = \frac{-20}{-60} = \frac{1}{3}$$ $$d_2 = \frac{-34 — 14}{-60} = \frac{-48}{-60} = \frac{4}{5}$$

Шаг 4: Промежуток возрастания и убывания

Чтобы определить, при каком значении $d$ функция $f(d)$ достигает максимума, рассмотрим знаки производной $f'(d)$ на интервалах, определённых корнями $d_1 = \frac{1}{3}$ и $d_2 = \frac{4}{5}$. Мы должны проверить, на каком интервале функция возрастает, а на каком — убывает.

Функция $f'(d)$ меняет знак на интервале $\left[\frac{1}{3}, \frac{4}{5}\right]$, так как это промежуток между корнями. Для $d = \frac{4}{5}$ функция достигает максимума.

Ответ:

При $d = \frac{4}{5}$ произведение четвёртого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет наибольшим.

Задача б)

Условие задачи:
В арифметической прогрессии с разностью $d$ второй член равен 6. При каком значении $d$ произведение первого, третьего и шестого членов будет наименьшим?

Шаг 1: Выражения для членов прогрессии

Для второй прогрессии:

$$a_2 = a_1 + d$$

Из условия задачи нам известно, что $a_2 = 6$, то есть:

$$6 = a_1 + d$$

Тогда $a_1 = 6 — d$.

Теперь подставим выражение для $a_1$ в формулы для других членов прогрессии.

Для третьего члена:

$$a_3 = a_1 + 2d = (6 — d) + 2d = 6 + d$$

Для шестого члена:

$$a_6 = a_1 + 5d = (6 — d) + 5d = 6 + 4d$$

Шаг 2: Произведение членов

Нам нужно найти значение $d$, при котором произведение первого, третьего и шестого членов будет наименьшим. Составим выражение для произведения:

$$f(d) = a_1 \cdot a_3 \cdot a_6 = (6 — d)(6 + d)(6 + 4d)$$

Раскроем скобки и упростим выражение.

Сначала умножим первые два множителя:

$$(6 — d)(6 + d) = 36 — d^2$$

Теперь умножим это выражение на третий множитель:

$$(36 — d^2)(6 + 4d) = 216 + 144d — 6d^2 — 4d^3$$

Таким образом, произведение становится:

$$f(d) = -4d^3 — 6d^2 + 144d + 216$$

Шаг 3: Нахождение минимума функции

Чтобы найти точку минимума функции, найдём её производную:

$$f'(d) = \frac{d}{dd}(-4d^3 — 6d^2 + 144d + 216)$$ $$f'(d) = -12d^2 — 12d + 144$$

Теперь решим уравнение $f'(d) = 0$, чтобы найти критические точки:

$$-12d^2 — 12d + 144 = 0$$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

$$D = (-12)^2 — 4 \cdot (-12) \cdot 144 = 144 + 6912 = 7056$$

Теперь найдём корни уравнения:

$$d = \frac{-(-12) \pm \sqrt{7056}}{2 \cdot (-12)} = \frac{12 \pm 84}{-24}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$d_1 = \frac{12 — 84}{-24} = \frac{-72}{-24} = 3$$ $$d_2 = \frac{12 + 84}{-24} = \frac{96}{-24} = -4$$

Шаг 4: Промежуток возрастания и убывания

Функция $f'(d) = -12d^2 — 12d + 144$ меняет знак на интервале $[-4, 3]$. Для $d = -4$ функция достигает минимума.

Ответ:

При $d = -4$ произведение первого, третьего и шестого членов прогрессии будет наименьшим.