ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.54 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Найдите длину отрезка наибольшей длины, который заключён между графиками функций $y = 2x^2$ (снизу), $y = 4x$ (сверху) и параллелен оси $y$.

б) Найдите длину отрезка наибольшей длины, который заключён между графиками функций $y = x^2$ (снизу), $y = -2x$ (сверху) и параллелен оси $y$.

а) Даны функции $y = 4x$ (сверху) и $y = 2x^2$ (снизу), тогда:

$l(x) = 4x — 2x^2;$

Производная функции:
$l'(x) = (4x)’ — 2(x^2)’ = 4 — 2 \cdot 2x = 4 — 4x;$

Промежуток возрастания:
$4 — 4x \geq 0;$
$4 \geq 4x, \text{ отсюда } x \leq 1;$

Наибольшее значение:
$l(1) = 4 \cdot 1 — 2 \cdot 1^2 = 4 — 2 = 2;$

Ответ: $2$.

б) Даны функции $y = -2x$ (сверху) и $y = x^2$ (снизу), тогда:

$l(x) = -2x — x^2;$

Производная функции:
$l'(x) = (-2x)’ — (x^2)’ = -2 — 2x;$

Промежуток возрастания:
$-2 — 2x \geq 0;$
$-2 \geq 2x, \text{ отсюда } x \leq -1;$

Наибольшее значение:
$l(-1) = -2 \cdot (-1) — (-1)^2 = 2 — 1 = 1;$

Ответ: $1$.

а) Даны функции $y = 4x$ (сверху) и $y = 2x^2$ (снизу), тогда:

Шаг 1: Определим выражение для длины отрезка.

Длина отрезка, заключенного между графиками этих функций, будет равна разности значений функции $y = 4x$ и $y = 2x^2$ при некотором значении $x$. То есть:

$$l(x) = 4x — 2x^2$$

Шаг 2: Найдем производную функции $l(x)$.

Чтобы найти, где функция $l(x)$ достигает максимума или минимума, нужно вычислить её производную и найти критические точки (где производная равна нулю или не существует).

Производная функции $l(x) = 4x — 2x^2$ будет:

$$l'(x) = \frac{d}{dx}(4x) — \frac{d}{dx}(2x^2) = 4 — 4x$$

Шаг 3: Найдем критические точки.

Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение:

$$l'(x) = 4 — 4x = 0$$

Решение:

$$4 = 4x \quad \Rightarrow \quad x = 1$$

Таким образом, критическая точка $x = 1$.

Шаг 4: Проверим, является ли это максимумом или минимумом.

Для того чтобы убедиться, что $x = 1$ — это точка максимума, можно вычислить вторую производную функции $l(x)$.

Вторая производная:

$$l»(x) = \frac{d}{dx}(4 — 4x) = -4$$

Поскольку вторая производная $l»(x) = -4$ отрицательная, это означает, что $x = 1$ — точка максимума.

Шаг 5: Найдем значение функции в точке $x = 1$.

Теперь, чтобы найти максимальное значение длины отрезка, подставим $x = 1$ в исходную функцию $l(x) = 4x — 2x^2$:

$$l(1) = 4 \cdot 1 — 2 \cdot 1^2 = 4 — 2 = 2$$

Ответ: максимальная длина отрезка равна $2$.

б) Даны функции $y = -2x$ (сверху) и $y = x^2$ (снизу), тогда:

Шаг 1: Определим выражение для длины отрезка.

Длина отрезка, заключенного между графиками этих функций, будет равна разности значений функции $y = -2x$ и $y = x^2$ при некотором значении $x$. То есть:

$$l(x) = -2x — x^2$$

Шаг 2: Найдем производную функции $l(x)$.

Для того чтобы найти, где функция $l(x)$ достигает максимума или минимума, вычислим её производную и найдем критические точки.

Производная функции $l(x) = -2x — x^2$ будет:

$$l'(x) = \frac{d}{dx}(-2x) — \frac{d}{dx}(x^2) = -2 — 2x$$

Шаг 3: Найдем критические точки.

Приравняем производную к нулю:

$$l'(x) = -2 — 2x = 0$$

Решение:

$$-2 = 2x \quad \Rightarrow \quad x = -1$$

Таким образом, критическая точка $x = -1$.

Шаг 4: Проверим, является ли это максимумом или минимумом.

Для того чтобы удостовериться, что $x = -1$ — это точка максимума, можно вычислить вторую производную функции $l(x)$.

Вторая производная:

$$l»(x) = \frac{d}{dx}(-2 — 2x) = -2$$

Поскольку вторая производная $l»(x) = -2$ отрицательная, это означает, что $x = -1$ — точка максимума.

Шаг 5: Найдем значение функции в точке $x = -1$.

Теперь, чтобы найти максимальное значение длины отрезка, подставим $x = -1$ в исходную функцию $l(x) = -2x — x^2$:

$$l(-1) = -2 \cdot (-1) — (-1)^2 = 2 — 1 = 1$$

Ответ: максимальная длина отрезка равна $1$.