ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.55 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) На графике функции $y = x^2$ найдите точку $M$, ближайшую к точке $A(0; 1,5)$.

б) На графике функции $y = \sqrt{x}$ найдите точку $M$, ближайшую к точке $A(4,5; 0)$.

а) $y = x^2$ и $A(0; 1,5)$;

Пусть $a$ — ордината искомой точки, тогда:

$$y(a) = a^2;$$ $$l(a) = \sqrt{(a — 0)^2 + (a^2 — 1,5)^2} = \sqrt{a^2 + a^4 — 3a^2 + 2,25} = \sqrt{a^4 — 2a^2 + 2,25};$$

Производная функции:

$$l'(a) = \left( \sqrt{a^4 — 2a^2 + 2,25} \right)’ = \frac{4a^3 — 2 \cdot 2a + 0}{2\sqrt{a^4 — 2a^2 + 2,25}} = \frac{2a^3 — 2a}{\sqrt{a^4 — 2a^2 + 2,25}};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{2a^3 — 2a}{\sqrt{a^4 — 2a^2 + 2,25}} \geq 0;$$ $$2a^3 — 2a \geq 0;$$ $$2a(a^2 — 1) \geq 0;$$ $$2a(a — 1)(a + 1) \geq 0;$$ $$-1 \leq a \leq 0 \text{ или } a \geq 1;$$

Точки минимума:

$$a = -1 \text{ и } y = (-1)^2 = 1;$$ $$a = 1 \text{ и } y = 1^2 = 1;$$

Ответ: $(-1; 1)$; $(1; 1)$.

б) $y = \sqrt{x}$ и $A(4,5; 0)$;

Пусть $a$ — абсцисса искомой точки, тогда:

$$y(a) = \sqrt{a};$$ $$l(a) = \sqrt{(a — 4,5)^2 + (\sqrt{a} — 0)^2} = \sqrt{a^2 — 9a + 20,25 + a} = \sqrt{a^2 — 8a + 20,25};$$

Производная функции:

$$l'(a) = \left( \sqrt{a^2 — 8a + 20,25} \right)’ = \frac{2a — 8}{2\sqrt{a^2 — 8a + 20,25}} = \frac{a — 4}{\sqrt{a^2 — 8a + 20,25}};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{a — 4}{\sqrt{a^2 — 8a + 20,25}} \geq 0;$$ $$a — 4 \geq 0, \text{ отсюда } a \geq 4;$$

Точка минимума:

$$a = 4 \text{ и } y = \sqrt{4} = 2;$$

Ответ: $(4; 2)$.

а) $y = x^2$ и точка $A(0; 1,5)$

1) Формулировка задачи:

Нужно найти точку на графике функции $y = x^2$, которая будет наиболее близка к точке $A(0; 1,5)$.

Пусть эта точка на графике функции имеет абсциссу $a$, тогда её ордината будет $y(a) = a^2$. Точка на графике будет иметь координаты $M(a; a^2)$.

2) Расстояние между точкой $A(0; 1,5)$ и точкой $M(a; a^2)$:

Для того, чтобы найти точку $M$, которая наиболее близка к точке $A$, нам нужно минимизировать расстояние между ними. Расстояние между двумя точками в пространстве вычисляется по формуле:

$$l(a) = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2},$$

где $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ — координаты двух точек.

В нашем случае:

• $A(0; 1,5)$ — это точка с координатами $(0, 1,5)$,
• $M(a; a^2)$ — точка на графике функции, где абсцисса равна $a$.

Подставляем в формулу:

$$l(a) = \sqrt{(a — 0)^2 + (a^2 — 1,5)^2} = \sqrt{a^2 + (a^2 — 1,5)^2}.$$

Раскрываем квадрат:

$$l(a) = \sqrt{a^2 + (a^4 — 3a^2 + 2,25)} = \sqrt{a^4 — 2a^2 + 2,25}.$$

Теперь нужно минимизировать функцию $l(a)$.

3) Производная расстояния:

Для того чтобы минимизировать расстояние, нужно найти производную функции $l(a)$. Однако проще работать с функцией, внутри которой находится квадратный корень. Таким образом, для удобства, будем минимизировать $l^2(a)$, поскольку квадратный корень является монотонной функцией, и минимизация $l(a)$ будет эквивалентна минимизации $l^2(a)$.

Функция для минимизации:

$$l^2(a) = a^4 — 2a^2 + 2,25.$$

Найдем производную функции $l^2(a)$ по $a$:

$$\frac{d}{da}(a^4 — 2a^2 + 2,25) = 4a^3 — 4a.$$

Для нахождения точек минимума приравняем производную к нулю:

$$4a^3 — 4a = 0.$$

Вынесем общий множитель:

$$4a(a^2 — 1) = 0.$$

Это уравнение имеет два корня:

$$a = 0 \quad \text{или} \quad a^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \pm 1.$$

Значит, $a = -1$, $a = 0$, $a = 1$.

4) Признак минимума:

Теперь необходимо определить, какие из этих точек являются точками минимума, а какие — максимумами. Для этого проверим знак второй производной.

Вторая производная $l^2(a)$:

$$\frac{d^2}{da^2}(a^4 — 2a^2 + 2,25) = 12a^2 — 4.$$

• Для $a = 0$:

$$12(0)^2 — 4 = -4 \quad (\text{отрицательное значение, максимум}).$$

• Для $a = 1$:

$$12(1)^2 — 4 = 8 \quad (\text{положительное значение, минимум}).$$

• Для $a = -1$:

$$12(-1)^2 — 4 = 8 \quad (\text{положительное значение, минимум}).$$

Таким образом, точки $a = 1$ и $a = -1$ являются точками минимума.

5) Координаты точек минимума:

Для $a = 1$ и $a = -1$ на графике функции $y = x^2$ ордината будет равна:

$$y = 1^2 = 1 \quad \text{и} \quad y = (-1)^2 = 1.$$

Итак, координаты точек минимума:

$$M_1(-1; 1), \quad M_2(1; 1).$$

Ответ: $M_1(-1; 1)$ и $M_2(1; 1)$.

б) $y = \sqrt{x}$ и точка $A(4,5; 0)$

1) Формулировка задачи:

Нужно найти точку на графике функции $y = \sqrt{x}$, которая будет наиболее близка к точке $A(4,5; 0)$.

Пусть эта точка на графике функции имеет абсциссу $a$, тогда её ордината будет $y(a) = \sqrt{a}$. Точка на графике будет иметь координаты $M(a; \sqrt{a})$.

2) Расстояние между точкой $A(4,5; 0)$ и точкой $M(a; \sqrt{a})$:

Для минимизации расстояния используем ту же формулу для расстояния между двумя точками:

$$l(a) = \sqrt{(a — 4,5)^2 + (\sqrt{a} — 0)^2} = \sqrt{(a — 4,5)^2 + a}.$$

Раскроем квадрат:

$$l(a) = \sqrt{a^2 — 9a + 20,25 + a} = \sqrt{a^2 — 8a + 20,25}.$$

Теперь нужно минимизировать функцию $l(a)$.

3) Производная расстояния:

Минимизируем квадрат расстояния $l^2(a) = a^2 — 8a + 20,25$.

Найдем производную:

$$\frac{d}{da}(a^2 — 8a + 20,25) = 2a — 8.$$

Приравняем производную к нулю:

$$2a — 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 4.$$

4) Проверка минимальности:

Вторая производная:

$$\frac{d^2}{da^2}(a^2 — 8a + 20,25) = 2.$$

Так как вторая производная положительная, точка $a = 4$ является точкой минимума.

5) Координаты точки минимума:

Для $a = 4$ ордината будет:

$$y = \sqrt{4} = 2.$$

Итак, координаты точки минимума:

$$M(4; 2).$$

Ответ: $M(4; 2)$.