ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке без помощи производной:

а) $y = 2 — 3 \sin x + 4 \cos x$;

б) $y = 3 \sin x — 4 \cos x + 1$

а) $y = 2 — 3 \sin x + 4 \cos x$;

$$y = 2 + \sqrt{(-3)^2 + 4^2} \cdot \cos(x + t);$$ $$y = 2 + \sqrt{25} \cdot \cos(x + t);$$ $$y = 2 + 5 \cos(x + t), \quad \text{где} \quad t = \arccos \frac{4}{5};$$ $$-1 \leq \cos(x + t) \leq 1;$$ $$-5 \leq 5 \cos(x + t) \leq 5;$$ $$-3 \leq 2 + 5 \cos(x + t) \leq 7;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -3$; $y_{\text{max}} = 7$.

б) $y = 3 \sin x — 4 \cos x + 1$;

$$y = \sqrt{3^2 + (-4)^2} \cdot \sin(x + t) + 1;$$ $$y = \sqrt{25} \cdot \sin(x — t) + 1;$$ $$y = 5 \sin(x — t) + 1, \quad \text{где} \quad t = \arccos \frac{3}{5};$$ $$-1 \leq \sin(x — t) \leq 1;$$ $$-5 \leq 5 \sin(x — t) < 5;$$ $$-4 \leq 5 \sin(x — t) + 1 \leq 6;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -4$; $y_{\text{max}} = 6$.

а) $y = 2 — 3 \sin x + 4 \cos x$;

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = 2 — 3 \sin x + 4 \cos x$.

1. Приводим к стандартному виду:

Запишем $y = 2 — 3 \sin x + 4 \cos x$ в виде $y = A \cos(x + t) + B$, используя метод амплитуды для выражений с синусами и косинусами.

Рассмотрим сумму с коэффициентами $-3$ и $4$. Мы можем записать это как выражение вида $R \cos(x + t)$, где:

$$R = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Теперь, для определения угла $t$, используем формулу:

$$\tg t = \frac{-3}{4}$$

Таким образом, угловой коэффициент для $t$ равен:

$$t = \arctg \left( \frac{-3}{4} \right)$$

Мы знаем, что амплитуда будет равна 5, и следовательно, можем переписать исходное уравнение:

$$y = 2 + 5 \cos(x + t)$$

2. Найдем наименьшее и наибольшее значение $y$:

• Так как $-1 \leq \cos(x + t) \leq 1$, умножая это на 5, получаем:

$$-5 \leq 5 \cos(x + t) \leq 5$$

• Добавляем 2 к обеим частям неравенства:

$$-5 + 2 \leq 5 \cos(x + t) + 2 \leq 5 + 2$$ $$-3 \leq 2 + 5 \cos(x + t) \leq 7$$

Ответ:

• $y_{\text{min}} = -3$
• $y_{\text{max}} = 7$

б) $y = 3 \sin x — 4 \cos x + 1$;

Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значение функции $y = 3 \sin x — 4 \cos x + 1$.

1. Приводим к стандартному виду:

Запишем $y = 3 \sin x — 4 \cos x + 1$ в виде $y = A \sin(x — t) + B$, используя аналогичный метод амплитуды для синусов и косинусов.

Рассмотрим сумму с коэффициентами $3$ и $-4$. Мы можем записать это как выражение вида $R \sin(x — t)$, где:

$$R = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Теперь для угла $t$:

$$\tg t = \frac{3}{4}$$

Таким образом, угловой коэффициент для $t$ равен:

$$t = \arctg \left( \frac{3}{4} \right)$$

Теперь перепишем исходное уравнение:

$$y = 5 \sin(x — t) + 1$$

2. Найдем наименьшее и наибольшее значение $y$:

• Поскольку $-1 \leq \sin(x — t) \leq 1$, умножая это на 5, получаем:

$$-5 \leq 5 \sin(x — t) \leq 5$$

• Добавляем 1 к обеим частям неравенства:

$$-5 + 1 \leq 5 \sin(x — t) + 1 \leq 5 + 1$$ $$-4 \leq 5 \sin(x — t) + 1 \leq 6$$

Ответ:

• $y_{\text{min}} = -4$
• $y_{\text{max}} = 6$

Ответы для всех пунктов:

а) $y_{\text{min}} = -3$; $y_{\text{max}} = 7$.

б) $y_{\text{min}} = -4$; $y_{\text{max}} = 6$.