ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 46.60 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идёт со скоростью 5 км/ч, а по лесу — 3 км/ч. За какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции?

Отобразим условие задачи:

$v_1 = 5 \, \text{км/ч}$ — скорость пешехода по дороге;

$v_2 = 3 \, \text{км/ч}$ — скорость пешехода по лесу;

Решение:

Пусть точка $B$ — база, точка $D$ — станция и прямая $DH$ — дорога, где точка $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$.
$BH = 5 \, \text{км}$ и $BD = 13 \, \text{км}$;

$$DH = \sqrt{BD^2 — BH^2} = \sqrt{13^2 — 5^2} = \sqrt{169 — 25} = \sqrt{144} = 12 \, \text{км};$$

Пусть пешеход вышел на дорогу в точке $E$ и $ED = x$, тогда:

$$HE = DH — ED = 12 — x;$$ $$BE = \sqrt{BH^2 + HE^2} = \sqrt{5^2 + (12 — x)^2} = \sqrt{169 — 24x + x^2};$$

Время, затраченное пешеходом на весь путь:

$$t(x) = \frac{ED}{v_1} + \frac{BE}{v_2} = \frac{x}{5} + \frac{\sqrt{169 — 24x + x^2}}{3};$$

Производная функции:

$$t'(x) = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2x — 24}{2\sqrt{169 — 24x + x^2}} = \frac{1}{5} + \frac{x — 12}{3\sqrt{169 — 24x + x^2}};$$ $$t'(x) = \frac{3\sqrt{169 — 24x + x^2} + 5(x — 12)}{15\sqrt{169 — 24x + x^2}} \geq 0;$$

Промежуток возрастания:

$$3\sqrt{169 — 24x + x^2} + 5(x — 12) \geq 0;$$ $$9(169 — 24x + x^2) — 25(x^2 — 24x + 144) \geq 0;$$ $$1521 — 216x + 9x^2 — 25x^2 + 600x — 3600 \geq 0;$$ $$-16x^2 + 384x — 2079 \geq 0;$$ $$D = 384^2 — 4 \cdot 16 \cdot 2079 = 147456 — 133056 = 14400 = 120^2;$$ $$x_1 = \frac{-384 — 120}{2 \cdot (-16)} = \frac{504}{32} = \frac{63}{4} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-384 + 120}{2 \cdot (-16)} = \frac{264}{32} = \frac{33}{4};$$ $$-16\left(x — \frac{63}{4}\right)\left(x — \frac{33}{4}\right) \geq 0;$$ $$\frac{33}{4} \leq x \leq \frac{63}{4};$$

Наименьшее значение:

$$t\left(\frac{33}{4}\right) = \frac{\frac{33}{4}}{5} + \frac{\sqrt{169 — 24 \cdot \frac{33}{4} + \left(\frac{33}{4}\right)^2}}{3} = \frac{33}{20} + \frac{\sqrt{169 — 198 + \frac{1089}{16}}}{3};$$ $$t = \frac{33}{20} + \frac{\sqrt{\frac{1089}{16} — \frac{464}{16}}}{3} = \frac{33}{20} + \frac{\sqrt{\frac{625}{16}}}{3} = \frac{33}{20} + \frac{25}{4 \cdot 3} = \frac{33}{20} + \frac{25}{12};$$ $$t = \frac{99 + 125}{60} = \frac{224}{60} = 3 \frac{44}{60} \, \text{ч};$$

Ответ:

$$\boxed{3 \, \text{часа} \, 44 \, \text{минуты}}$$

Условие задачи:

• База находится в лесу на расстоянии 5 км от дороги, а станция — на дороге, в 13 км от базы.
• Пешеход может идти по дороге со скоростью $v_1 = 5 \, \text{км/ч}$, а по лесу — со скоростью $v_2 = 3 \, \text{км/ч}$.
• Нужно найти минимальное время, которое потребуется пешеходу для того, чтобы добраться от базы до станции.

Решение:

1. Геометрическая интерпретация задачи:

Мы можем изобразить ситуацию на координатной плоскости.

• Пусть точка $B$ — это база.
• Пусть точка $D$ — это станция.
• Пусть прямая $DH$ — это дорога, на которой находится станция, а точка $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на эту дорогу.

Заданы следующие данные:

• Расстояние от базы $B$ до дороги $DH$ равно $BH = 5 \, \text{км}$.
• Расстояние от базы $B$ до станции $D$ равно $BD = 13 \, \text{км}$.

Теперь найдем расстояние $DH$, которое равно гипотенузе прямоугольного треугольника $BDH$, где $BH$ — один катет, а $BD$ — гипотенуза.

2. Находим расстояние $DH$:

Используем теорему Пифагора:

$$DH = \sqrt{BD^2 — BH^2} = \sqrt{13^2 — 5^2} = \sqrt{169 — 25} = \sqrt{144} = 12 \, \text{км}.$$

Таким образом, расстояние от точки $B$ до дороги $DH$ равно 12 км.

3. Пусть пешеход выйдет на дорогу в точке $E$:

Пусть пешеход выходит на дорогу в точке $E$, при этом расстояние от точки $E$ до станции $D$ равно $ED = x$. Тогда точка $E$ находит на дороге $DH$, а точка $H$ — это перпендикулярное основание от базы $B$.

Расстояние $HE$ между точками $H$ и $E$ можно выразить как:

$$HE = DH — ED = 12 — x.$$

Теперь нам нужно найти расстояние $BE$, которое является гипотенузой прямоугольного треугольника $BHE$. По теореме Пифагора имеем:

$$BE = \sqrt{BH^2 + HE^2} = \sqrt{5^2 + (12 — x)^2} = \sqrt{25 + (12 — x)^2} = \sqrt{169 — 24x + x^2}.$$

4. Время, затраченное пешеходом на весь путь:

Время, которое пешеход тратит на путь от базы до станции, состоит из двух частей:

1. Время на прохождение от точки $B$ до точки $E$ через лес (скорость по лесу $v_2 = 3 \, \text{км/ч}$).
2. Время на прохождение от точки $E$ до станции $D$ по дороге (скорость по дороге $v_1 = 5 \, \text{км/ч}$).

Пусть $t(x)$ — это общее время. Тогда оно равно:

$$t(x) = \frac{ED}{v_1} + \frac{BE}{v_2} = \frac{x}{5} + \frac{\sqrt{169 — 24x + x^2}}{3}.$$

5. Минимизация времени:

Нам нужно найти $x$, при котором время $t(x)$ минимально. Для этого найдем производную функции $t(x)$.

$$t'(x) = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2x — 24}{2\sqrt{169 — 24x + x^2}} = \frac{1}{5} + \frac{x — 12}{3\sqrt{169 — 24x + x^2}}.$$

Приведем к общему знаменателю:

$$t'(x) = \frac{3\sqrt{169 — 24x + x^2} + 5(x — 12)}{15\sqrt{169 — 24x + x^2}}.$$

Для минимизации времени нам нужно, чтобы производная $t'(x)$ равнялась нулю:

$$3\sqrt{169 — 24x + x^2} + 5(x — 12) = 0.$$

6. Решение неравенства:

Разворачиваем это уравнение:

$$3\sqrt{169 — 24x + x^2} = 5(12 — x),$$ $$\sqrt{169 — 24x + x^2} = \frac{5(12 — x)}{3}.$$

Возводим обе части в квадрат:

$$169 — 24x + x^2 = \left( \frac{5(12 — x)}{3} \right)^2.$$

Выполнив алгебраические преобразования и решения квадратного уравнения, получаем два значения для $x$:

$$x_1 = \frac{63}{4} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{33}{4}.$$

7. Нахождение минимального времени:

Теперь находим минимальное время, подставив значение $x_2 = \frac{33}{4}$ в формулу для времени:

$$t\left(\frac{33}{4}\right) = \frac{\frac{33}{4}}{5} + \frac{\sqrt{169 — 24 \cdot \frac{33}{4} + \left(\frac{33}{4}\right)^2}}{3}.$$

Выполняем вычисления:

$$t = \frac{33}{20} + \frac{\sqrt{\frac{1089}{16} — \frac{464}{16}}}{3} = \frac{33}{20} + \frac{\sqrt{\frac{625}{16}}}{3} = \frac{33}{20} + \frac{25}{12}.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$t = \frac{99 + 125}{60} = \frac{224}{60} = 3 \frac{44}{60} \, \text{ч}.$$

Ответ:

Минимальное время, которое потребуется пешеходу для того, чтобы добраться от базы до станции, составляет:

$$\boxed{3 \, \text{часа} \, 44 \, \text{минуты}}.$$